Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial Linier

11

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL

A. Persamaan Diferensial Biasa

1. Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat variabel- variabel tak bebas dan turunan-turunannya terhadap variabel bebas. Secara umum, persamaan diferensial dikategorikan dalam dua ke- las yaitu biasa dan parsial. Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang hanya melibatkan satu variabel bebas. Misal adalah fungsi satu variabel, dengan adalah variabel bebas dan adalah variabel tak bebas, maka suatu persamaan diferensial biasa dapat dinyatakan dalam bentuk: Jika maka persamaan diferensial di atas dinamakan persamaan diferensial homogen . Sementara itu, persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan dua atau lebih variabel bebas. Definisi 2.1 Tingkat Persamaan Diferensial Tingkat atau order dari persamaan diferensial didefinisikan sebagai tingkat dari turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. 12 Contoh 2.1 1. merupakan persamaan diferensial biasa tingkat satu. 2. merupakan persamaan diferensial biasa tingkat dua. 3. merupakan persamaan diferensial parsial tingkat satu. 4. merupakan persamaan diferensial parsial tingkat dua.

2. Persamaan Diferensial Linier

Persamaan diferensial dikatakan linier jika: a tidak ada perkalian antara variabel-variabel tak bebas dengan dirinya sendiri atau dengan turunan-turunannya, b tidak ada fungsi transendental trigonometri, logaritma, eksponensial, siklometri, hiperbolik yang terlibat dari fungsi dalam variabel- variabel tak bebas. Persamaan diferensial yang tidak linier disebut persamaan diferensial tak linier . Sebagai contoh: - merupakan persamaan diferensial yang linier dalam . - merupakan persamaan diferensial yang tak linier dalam karena terdapat perkalian antara variabel tak bebas dengan turunannya, yaitu . - merupakan persamaan diferensial yang tidak linier karena memuat . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 13 - merupakan persamaan diferensial yang tak linier karena terdapat perkalian antara variabel-variabel tak bebasnya, yaitu . Secara umum, persamaan diferensial linier tingkat satu dapat ditulis sebagai berikut: 2.1 dengan adalah fungsi yang kontinu, merupakan interval untuk dan merupakan interval untuk . Definisi 2.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial Fungsi terdiferensial dikatakan penyelesaian persamaan diferensial 2.1 pada sebuah interval dengan syarat untuk , apabila adalah fungsi yang terdiferensial kontinu pada , dan , untuk . Definisi 2.3 Masalah Nilai Awal Intial Value Problem Masalah nilai awal adalah persamaan diferensial yang dilengkapi dengan data pada satu titik awal domain. Definisi 2.4 Penyelesaian Masalah Nilai Awal Misal dan diasumsikan kontinu pada . Kita katakan fungsi adalah penyelesaian masalah nilai awal: { 2.2 14 pada interval dengan syarat , apabila adalah penyele- saian dari persamaan 2.1 pada , dan . Titik dinamakan titik awal untuk masalah nilai awal 2.2 dan dikatakan nilai awal untuk masalah nilai awal 2.2. 3. Persamaan Diferensial Variabel Terpisah Untuk mengidentifikasi persamaan diferensial variabel terpisah, pertama kita tulis persamaan diferensial tingkat satu 2.1 dalam bentuk: 2.3 dengan dan merupakan fungsi yang bergantung pada dan . Jika kita ambil adalah suatu fungsi yang hanya bergantung dan adalah sebuah fungsi yang hanya bergantung , maka persamaan 2.3 menjadi: 2.4 Persamaan 2.4 disebut persamaan diferensial variabel terpisah. Metode yang dipakai untuk menyelesaikan persamaan diferensial variabel terpisah dinamakan metode pemisahan variabel. Penyelesaian persamaan diferensial 2.4 dapat dicari dengan terlebih dahulu menulis- kan dalam bentuk diferensial PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 15 Selanjutnya, integralkan masing-masing sukunya ∫ ∫ untuk suatu . Contoh 2.2 Temukan solusi persamaan diferensial : Jawab: Persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan diferensial variabel terpisah. Misalkan dan . Langkah 1: bagi kedua ruas dengan , diperoleh: Langkah 2: Integralkan masing-masing suku, diperoleh: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Definisi 2.5 Titik Ekuilibrium dari Persamaan Diferensial Diberikan persamaan diferensial sebagai berikut 16 Titik dimana disebut titik ekuilibrium jika untuk seti- ap . Dengan kata lain titik ekuilibrium terjadi saat Contoh 2.3 Diberikan persamaan diferensial sebagai berikut Syarat ekuilibrium yaitu Sehingga, titik ekuilibrium persamaan diferensial di atas yaitu dan .

B. Persamaan Diferensial Stokastik