74
Berbeda dengan solusi , untuk nilai awal
diperoleh populasi akan bergerak menjauhi nol. Jadi,
adalah solusi yang tidak stabil.
B. BeberapaPengembangan Model Pertumbuhan Populasi Verhulst
1. Model Verhulst dengan Batas Bawah Threshold Efek Allee
Model Verhulst dengan batas bawah merupakan salah satu pengembangan model Verhulst. Ide dari munculnya model ini yaitu
karena pada dunia nyata, sering kali populasi terancam punah jika banyaknya individu di dalam populasi terlalu sedikit. Kasus seperti
predasi atau kompetisi menjadi faktor alam yang dapat menyebabkan penurunan jumlah populasi suatu spesies. Akibatnya, proses repro-
duksi menjadi sulit dan kekurangan variasi genetik. Seperti yang terja- di pada populasi burung merpati penumpang passenger pigeon di
Amerika Serikat. Jumlahnya yang sangat banyak menyebabkan burung tersebut menjadi incaran para pemburu untuk dijadikan
makanan dan peliharaan. Akibatnya jumlah burung merpati penum- pang menurun drastis pada akhir abad ke-XIX. Burung yang akan
sukses berkembangbiak saat populasinya besar berkaitan dengan batas bawah
yang relatif tinggi. Meskipun masih terdapat cukup banyak burung merpati jenis ini pada tahun 1880an, namun jumlah tersebut
tidak cukup baginya untuk ber-kembangbiak dengan baik. Pada akhirnya populasi burung tersebut dengan cepat menurun hingga
75
punah pada tahun 1914. Hal semacam ini juga disebut sebagai efek Allee, karena diperkenalkan oleh seorang ahli ekologi asal Amerika
bernama Warder Clyde Allee. Model Verhulst dengan batas bawah pada dasarnya
menyatakan bahwa terdapat T yaitu batas bawah banyaknya individu dalam suatu populasi yang menyebabkan populasi tersebut tidak
punah. Dengan kata lain, jika banyaknya individu dalam populasi kurang dari T, maka populasi tersebut perlahan-lahan akan punah.
Dengan mengkonstruksi laju pertumbuhan per kapita menjadi negatif, hal tersebut akan memberikan hasil bahwa suatu populasi akan punah
jika banyaknya populasi awal terlalu sedikit di bawah nilai . Model
Verhulst dengan batas bawah yaitu:
3.21
dengan t adalah variabel waktu, r adalah konstanta laju pertumbuhan, adalah banyaknya individu dalam populasi pada waktu t, K adalah
kapasitas ambang atau kemampuan maksimum alam untuk menghidupi populasi, dan T adalah batas bawah banyaknya individu agar populasi
tidak punah. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
a. Penyelesaian
Model Verhulst dengan batas bawah 3.21 dapat ditulis menjadi:
3.22
Dengan menggunakan metode pecahan parsial, ruas kiri persamaan 3.22 dapat ditulis:
3.23
Akan dicari nilai yang memenuhi 3.23
Dari persamaan di atas diperoleh: 3.24
77
dan
Karena , maka:
3.25 dan
Karena dan , maka:
3.26 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Substitusikan persamaan 3.26 ke 3.25, diperoleh:
3.27 Substitusikan nilai
pada persamaan 3.24, 3.26 dan 3.27 ke 3.23, diperoleh:
Persamaan 3.22 menjadi:
3.28 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Integralkan kedua ruas persamaan 3.28: ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
⁄
⁄ untuk suatu
. Selanjutnya, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Misal , maka:
3.29
Substitusikan nilai awal ke persamaan 3.29 untuk men-
dapatkan nilai yang memenuhi:
3.30
Substitusi persamaan 3.30 ke persamaan 3.29, diperoleh:
b. Analisa Kualitatif
1 Analisa Penyelesaian Model Verhulst dengan Batas Bawah
Penyelesaian model Verhulst dengan batas bawah berupa fungsi implisit sebagai berikut:
3.31 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
Misalkan
maka
atau
Dengan demikian, dalam waktu yang lama solusinya menuju nol atau
. Akan dicari titik ekuilibrium model Verhulst dengan batas bawah,
yaitu
Sehingga kita memperoleh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
atau atau
Diperoleh ⁄
saat dan
⁄ saat
atau . Sehingga, grafik naik pada interval dan turun pada interval atau . Akan diselidiki
perilaku penyelesaian model Verhulst dengan batas bawah pada interval
atau . Untuk menyelidiki kasus di atas, kita perlu informasi dari turunan
kedua. Model Verhulst dengan batas bawah dapat ditulis sebagai berikut:
dan memiliki turunan kedua yang berbentuk:
Persamaan di atas harus memenuhi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
sehingga diperoleh:
Kita memperoleh
atau atau
atau
√
√
√
√ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
√
√
√
√
Akan ditunjukkan .
Persamaan dapat ditulis:
Karena , maka
dan . Jadi terbukti .
Diperoleh: √
dan √
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa dan
. Pertama, akan ditunjukkan bahwa:
√ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
Andaikan , maka:
√ √
√
Kontradiksi dengan kondisi .
Kedua, jelas bahwa: √
sebab dan √
. Ketiga, akan ditunjukkan
. Andaikan
, maka: √
√ √
Kontradiksi dengan kondisi .
Keempat, akan ditunjukkan .
86
Andaikan , maka:
√ √
√
Kontradiksi dengan kondisi .
Diperoleh ⁄
saat atau
atau dan
⁄ saat
atau . Grafik cekung ke atas pada
interval atau
atau dan grafik cekung
ke bawah pada interval atau
. Terjadi perubahan kecekungan pada saat
dan .
Berdasarkan informasi turunan kedua di atas, dapat disimpulkan bahwa pada interval
grafik turun menuju nol, sedangkan pada interval
grafik turun menuju kapasitas ambang
. Sehingga diperoleh grafik penyelesaian model Verhulst dengan batas bawah jika diberikan beberapa nilai awal, yaitu
seperti di bawah ini: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
Gambar 3.6
Grafik Penyelesaian Model Verhulst dengan Batas Bawah dengan
, , dan .
2 Analisa Kestabilan Titik Ekuilibrium Model Verhulst dengan Batas
Bawah Syarat ekuilibrium yaitu
Sehingga kita memperoleh
atau atau
Berdasarkan informasi titik-titik ekuilibrium yang diperoleh pada perhitungan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa
merupakan titik ekuilibrium yang tidak stabil, sebab untuk seba- PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
rang solusinya menjauhi
. Sedangkan untuk dan merupakan titik ekuilibrium yang stabil,
sebab untuk sebarang yang cukup dekat dengan nol
maupun , penyelesaiannya menuju nol atau kapasitas ambang .
2. Model Pemanenan Schaefer
