88
rang solusinya menjauhi
. Sedangkan untuk dan merupakan titik ekuilibrium yang stabil,
sebab untuk sebarang yang cukup dekat dengan nol
maupun , penyelesaiannya menuju nol atau kapasitas ambang .
2. Model Pemanenan Schaefer
Model pemanenan yang akan dibahas ialah model Schaefer, yang pertama kali dikemukakan oleh M. B. Schaefer 1954 pada masalah
pemanenan populasi ikan. Model Schaefer atau model pemanenan berbentuk:
3.32
dengan t adalah variabel waktu, r adalah konstanta laju pertumbuhan populasi normal,
adalah banyaknya individu dalam populasi pada waktu t, K adalah kapasitas ambang atau kemampuan maksimum alam
untuk menghidupi populasi, dan E adalah konstanta positif yang menyatakan laju pemanenan. Model 3.32 juga dapat diinterpretasikan
sebagai sebuah model interaksi dengan adanya predasi pada populasi yang bertumbuh secara logistik dan dalam hal ini,
merupakan laju predasi. a.
Penyelesaian Model Schaefer dapat ditulis sebagai
89
Misal dan
⁄ , maka:
Dengan metode pemisahan variabel, diperoleh: 3.33
Dengan metode pecahan parsial, ruas kiri persamaan 3.33 dapat ditulis:
3.34 Akan dicari nilai
yang memenuhi:
Dari persamaan di atas, diperoleh:
3.35 dan
Karena , maka
90
3.36 Substitusikan 3.35 dan 3.36 ke persamaan 3.34 dan didapatkan
⁄ ⁄
Selanjutnya, kita integralkan kedua ruas: ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
[ ]
⁄
⁄
⁄
91
⁄
Misal , maka:
3.37 Substitusikan nilai awal
ke persamaan 3.37 untuk menda-patkan nilai
yang memenuhi: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
3.38 Substitusikan persamaan 3.38 ke 3.37, diperoleh:
Karena dan
⁄ , maka:
b. Analisa Kualitatif
1 Analisa Penyelesaian Model Schaefer
Penyelesaian model Schaefer, yaitu
3.39
akan dianalisa menurut tiga kasus di bawah ini: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
a Jika , maka
Hal tersebut menandakan bahwa dalam jangka waktu yang lama penyelesaian akan menuju nol.
Grafik penyelesaian model Schaefer saat adalah sebagai
berikut:
Gambar 3.7
Grafik Penyelesaian Model Schaefer saat dan .
b Jika , maka
94
Grafik penyelesaian model Schaefer saat adalah sebagai
berikut:
Gambar 3.8
Grafik Penyelesaian Model Schaefer saat ,
, dan . Grafik tersebut menunjukkan bahwa dalam jangka waktu yang
lama banyaknya individu dalam populasi akan konvergen me- nuju suatu nilai yaitu
, dalam kasus ini yaitu 200. c
Jika , maka PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
Hal ini berarti perilaku jangka panjang penyelesaian model Schaefer saat
akan menuju nol. Perilaku jangka panjang penyelesaian model Schaefer saat
sama dengan saat , yakni keduanya menuju nol, namun terdapat perbedaan perilaku penurunan grafik. Pada saat
grafik turun secara langsung menuju nol, namun pada saat
grafik turun secara eksponensial, seperti tampak pada gambar di bawah ini:
Gambar 3.9
Grafik Penyelesaian Model Schaefer saat ,
, dan .
2 Analisa Kestabilan Titik Ekuilibrium Model Schaefer
Diberikan model Schaefer
Jika , maka
96
berakibat: atau
Titik adalah titik ekuilibrium yang tidak stabil, sebab
untuk sebarang penelesaiannya bergerak menjauhi nol.
Sebaliknya, titik adalah sebagai titik
ekuilibrium yang stabil asimtotik, sebab:
Jika dan , maka titik equilibriumnya yaitu .
Jelas bahwa titik ekuilibrium tersebut stabil, sebab untuk sebarang nilai awal
, penyelesaiannya akan menuju nol.
3. Model Penyebaran Teknologi
