64
2 Analisa Kestabilan Titik Ekuilibrium Model Gompertz
Syarat ekuilibrium yaitu
Sehingga model Gompertz menjadi:
Jelas bahwa titik ekuilibrium tersebut tidak stabil sebab untuk sebarang nilai awal penyelesaiannya bergerak menjauhi nol ketika
. Selanjutnya, model Malthus dikembangkan lagi oleh seorang matemati-
kawan Belgia bernama Pierre-François Verhulst 1838 dan modelnya disebut model Verhulst atau model logistik. Model ini dinamakan logistik sebab pada
model Verhulst sudah mempertimbangkan aspek logistik yaitu keterbatasan kapasitas alam untuk menghidupi populasi. Berikut akan dibahas penyelesai-
an sekaligus analisa model Verhulst dan beberapa pengembangannya.
A. Model Pertumbuhan Populasi Verhulst
Model Verhulst merupakan salah satu modifikasi dari model Malthus. Inspirasi munculnya model Verhulst yakni karena solusi pada model Malthus
tidak realistik, yaitu naik atau turun secara eksponensial. Sebagai contoh, untuk populasi manusia pada suatu negara, tidak mungkin dalam jangka
waktu yang lama, banyaknya populasi manusia mendekati tak hingga, sebab alam memiliki keterbatasan ruang, makanan ataupun daya dukung lainnya.
Model Verhulst juga disebut sebagai model logistik, yaitu: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
3.10
dengan t adalah variabel waktu, r adalah konstanta laju pertumbuhan, adalah banyaknya individu dalam populasi pada waktu t, dan K adalah
kapasitas ambang atau kemampuan maksimum alam untuk menghidupi populasi.
1. Penyelesaian Model Verhulst
Model Verhulst 3.10 dapat ditulis menjadi:
3.11
Dengan menggunakan metode pecahan parsial, ruas kiri persamaan 3.11 dapat ditulis:
3.12
Akan dicari nilai dan yang memenuhi 3.12.
66
Dari persamaan di atas diperoleh: 3.13
dan
Karena , maka:
3.14 Substitusikan 3.13 dan 3.14 ke 3.12:
3.15
Persamaan 3.11 menjadi:
3.16
Integralkan kedua ruas persamaan 3.16:
∫ ∫
∫ ∫
∫ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
untuk suatu .
Misal , maka
Kalikan kedua ruas dengan , diperoleh:
3.17 Subtitusikan nilai awal
ke persamaan 3.17 untuk mendapat- kan nilai
yang memenuhi: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
3.18 Substitusikan persamaan 3.18 ke persamaan 3.17 untuk memperoleh
69
2. Analisa Kualitatif Model Verhulst
a. Analisa Penyelesaian Model Verhulst
Dari perhitungan di atas kita memperoleh penyelesaian model Verhulst adalah
3.19
Penyelesaian tersebut lebih realistis dibandingkan dengan penyelesai- an model Malthus, sebab jika diambil nilai t menuju tak hingga, maka
diperoleh:
Hal ini berarti populasi akan bertumbuh secara asimtotik ke K saat t menuju tak hingga.
Akan dicari titik ekuilibrium dari model Verhulst, yaitu:
Kita memperoleh
atau PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Diperoleh ⁄
saat dan
⁄ saat
. Sehingga, grafik naik pada interval dan turun pada interval
. Selanjutnya, jika
maka
atau atau
Diperoleh ⁄
saat atau dan
⁄ saat
atau ⁄ . Karena
pertumbuhan populasi menandakan bahwa besarnya populasi tak ne- gatif, maka grafik cekung ke atas pada interval
atau dan grafik cekung ke bawah pada interval
. Terjadi peruba- han kecekungan pada saat
. Selanjutnya, substitusikan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
ke persamaan 3.19 untuk mencari nilai di mana terja- dinya titik belok, yaitu:
3.20 Sekarang akan ditunjukan bahwa
pada persamaan 3.20 merupakan suatu bilangan positif. Karena
, maka ⁄ . Sehingga cu-
kup dibuktikan bahwa: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Jelas bahwa:
Sebab . Sehingga, cukup dibuktikan bahwa:
Andaikan:
maka:
Kontradiksi dengan kondisi yang seharusnya kurang dari
. Jadi, terbukti
pada persamaan 3.20 adalah suatu bilangan potitif. Sehingga, diperoleh titik belok dari grafik penyelesaian model Ver-
hulst yaitu:
Sehingga diperoleh grafik penyelesaian model Verhulst jika diberikan beberapa beberapa nilai awal, yaitu seperti di bawah ini:
73
Gambar 3.5
Grafik Penyelesaian Model Verhulst dengan dan
. b.
Analisa Kestabilan Titik Ekuilibrium Model Verhulst Syarat titik ekuilibrium yaitu
Sehingga kita peroleh
atau
Karena untuk setiap berlaku
maka dikatakan solusi adalah solusi yang stabil asimtotik.
74
Berbeda dengan solusi , untuk nilai awal
diperoleh populasi akan bergerak menjauhi nol. Jadi,
adalah solusi yang tidak stabil.
B. BeberapaPengembangan Model Pertumbuhan Populasi Verhulst
