Teori Peluang Persamaan Diferensial Stokastik

17 berasal dari gerak Brown, yaitu unsur acak atau gangguan yang memiliki variansi yang tak terbatas.

1. Teori Peluang

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial stokastik kita perlu mem- pelajari kalkulus Itô. Pertama, kita harus mengingat konsep dasar teori peluang. Definisi 2.6 Percobaan Acak Random Experiment Sebuah percobaan dikatakan acak apabila hasil dari percobaan tidak dapat diprediksi sebelumnya. Definisi 2.7 Ruang Sampel Sample Space dan Titik Sampel Sample Point Himpunan , yaitu semua kemungkinan hasil dari percobaan acak dinamakan ruang sampel . Suatu anggota dinamakan titik sampel. Contoh 2.4 Pada sebuah percobaan pelemparan koin, kemungkinan hasil yang muncul adalah “angka” dan “gambar . Jadi . dan disebut titik sampel. Definisi 2.8 Kejadian Event Sebuah kejadian adalah suatu koleksi dari hasil percobaan yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. Definisi 2.9 Jika dan adalah kejadian dari ruang sampel , maka i. Gabungan dari dua kejadian dapat ditulis sebagai berikut 18 ii. Irisan dari dua kejadian dapat ditulis sebagai berikut iii. Komplemen suatu kejadian dapat ditulis sebagai berikut iv. Selisih suatu kejadian dapat ditulis sebagai berikut Definisi 2.10 Kejadian Saling Asing Disjoint Sepasang kejadian dan dikatakan saling asing jika Definisi 2.11 Peluang Probability Misal adalah kejadian pada ruang sampel berhingga, notasi peluang menyatakan peluang kejadian akan terjadi dan diberikan oleh: Definisi 2.12 Aljabar- -Algebra Misal himpunan tak kosong. Aljabar- pada adalah koleksi himpunan bagian dari yang memenuhi: i. ii. jika , maka iii. jika , maka ⋃ . Contoh 2.5 Koleksi berikut merupakan aljabar- dari himpunan bagian : 1. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 19 2. untuk suatu dan 3. merupakan aljabar- terkecil pada , dan himpunan kuasa dari merupakan aljabar- terbesar yang memuat semua himpunan bagian yang mungkin dari . Sedangkan untuk suatu dan bukan merupakan aljabar- , karena . Definisi 2.13 Ukuran Peluang Probability Measure M aljabar- pada himpunan tak kosong . Fungsi disebut ukuran peluang jika memenuhi: i. Untuk sebarang kejadian , . ii. . iii. Jika , maka ⋃ ∑ Kesamaan berlaku jika adalah barisan himpunan yang saling asing. Definisi 2.14 Misal adalah aljabar- pada himpunan tak kosong dan ukuran peluang pada . i. disebut ruang terukur measurable space ii. Tripel disebut ruang peluang probability space 20 Teorema 2.1 Jika dan adalah kejadian dan adalah ruang sampel, maka i. . ii. . iii. Jika , maka . iv. . Lebih lanjut, jika dan saling asing maka Bukti: i. Karena maka . ii. Karena maka . iii. Karena dan , maka dan karena , maka diperoleh . iv. Kita punya dan himpunan-himpunan pada sisi kanan saling asing. Sehingga PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 21 Maka Jadi . Jika dan saling asing, maka . Kita memperoleh ■ Contoh 2.6 Dari 52 kartu remi diambil sebuah kartu secara acak. Berapa peluang teram- bilnya sebuah kartu berbentuk hati atau As. Jawab: Misal adalah ruang sampel dengan , adalah kejadian terambil- nya kartu hati dengan , dan adalah kejadian terambilnya kartu As dengan . Kejadian menyatakan kejadian kartu As berben- tuk hati. Karena hanya ada satu kartu As yang berbentuk hati, maka . Kita akan mencari peluang terambilnya sebuah kartu berbentuk hati atau As yaitu . Kita tahu bahwa satu dari kartu As berbentuk hati, maka . Dari teorema 2.1 iv, kita dapatkan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 22 Definisi 2.15 Kejadian Saling Bebas Independent Dua kejadian dan dikatakan saling bebas jika Definisi 2.16 Variabel Acak Random Variable Misal adalah ruang sampel, fungsi disebut variabel acak. Sebuah variabel acak dikatakan diskrit apabila atau terhitung artinya terdapat fungsi bijektif . Sedangkan jika tidak terhitung maka variabel acak dikatakan kontinu. Contoh 2.7 Pada sebuah percobaan pelemparan koin, kita tulis “1” untuk “angka” dan “0” untuk “gambar. Jadi kita peroleh variabel acak untuk . Dengan kata lain adalah sebuah variabel acak diskrit. Definisi 2.17 Variabel Acak Saling Bebas Independent Dua variabel acak dan dikatakan saling bebas jika untuk setiap himpunan bagian yang mungkin dan dari . Hal ini berarti kejadian dan saling bebas. Dalam hal ini adalah notasi singkat untuk . 23 Definisi 2.18 Fungsi Densitas Peluang Probability Density Function Fungsi disebut fungsi densitas peluang dari variabel acak pada ruang peluang jika i. , ; ii. ∫ untuk sebarang sedemikian sehingga ; iii. ∫ . Berikut adalah ilustrasi grafik dari fungsi densitas peluang . i ditunjukkan dengan kurva yang selalu berada di atas sumbu horizontal, ii dtunjukkan oleh daerah yang diarsir dan iii merupakan luas total area di bawah kurva. Gambar 2.1 Ilustrasi Grafik Fungsi Densitas Peluang. Definisi 2.19 Nilai Harapan Expectation Mean Expectation Value Nilai harapan dari sebuah variabel acak kontinu diberikan oleh: ∫ dimana adalah fungsi densitas peluang. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 24 Nilai harapan dapat diintepretasikan sebagai rata-rata berbobot weighted average dari nilai pada ruang sampelnya. Teorema 2.2 Nilai Harapan Perkalian Dua Variabel Acak yang Saling Bebas Misal adalah dua variabel acak yang saling bebas, maka Bukti: Menurut definisi nilai harapan. ∫ ∫ Karena dan saling bebas maka dapat ditulis ∫ ∫ ■ Definisi 2.20 Variansi Variance Misalkan adalah variabel acak kontinu, variansi dinotasikan dengan atau menyatakan ukuran dari variasi atau penyebaran distribusi peluang dari variabel acak dan didefinisikan oleh ∫ Akar dari variansi disebut standar deviasi dari , yaitu √ 25 Definisi 2.21 Fungsi Distribusi Distribution Function Didefinisikan fungsi distribusi sebagai peluang variabel acak berni- lai kurang dari atau sama dengan , yaitu ∫ Persamaan di atas mengakibatkan saat dan ∫ Definisi 2.22 Momen ke- Momen ke- suatu variabel acak yaitu . Definisi 2.23 Fungsi Pembangkit Momen Moment-Generating Function Fungsi pembangkit momen untuk suatu variabel acak didefinisikan sebagai berikut Fungsi pembangkit momen dikatakan ada jika terdapat konstanta positif sedemikian sehingga hingga untuk . Teorema 2.3 Jika ada, maka untuk sebarang bilangan bulat positif | Bukti Teorema 2.2 dapat dilihat pada buku “Mathematical Statistics with Applications” karangan Dennis D. Wackerly, dkk, tahun 2008 halaman 139 Teorema 3.12. 26 Definisi 2.24 Distribusi Normal Normal Distribution Suatu variabel acak dikatakan berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi notasi: jika memiliki fungsi densitas peluang berbentuk √ Teorema 2.4 Misal adalah variabel acak berdistribusi normal, maka ∫ dan ∫ Bukti: Pertama kita cari fungsi pembangkit momen dari variabel acak yang berdistribusi normal, yaitu ∫ √ √ ∫ √ ∫ √ ∫ [ ] √ ∫ [ ] √ ∫ [ ] 27 √ ∫ √ ∫ √ ∫ [ ] √ ∫ ∫ √ Fungsi √ merupakan fungsi densitas peluang distribusi nor- mal dengan rata-rata dan variansi , dan menurut definisi fungsi densitas peluang, maka ∫ √ Sehingga kita peroleh fungsi pembangkit momen distribusi normal yaitu Dengan menggunakan teorema 2.3, kita memperoleh | | 28 dan | | Selanjutnya akan ditunjukkan . ■ Catatan: Jika suatu variabel acak berdistribusi normal memiliki rata-rata dan variansi maka variabel acak dikatakan berdistribusi normal standar dan dinotasikan oleh . Definisi 2.25 Proses Stokastik Stochastic Process Proses stokastik , dengan adalah koleksi dari variabel acak yang terdefinisi pada ruang peluang yang terindeks dengan parameter . 29 Definisi 2.26 Lintasan Sampel Sample Path Untuk suatu , koleksi dinamakan lintasan sampel dari pada . Definisi 2.27 Aljabar- yang dibangkitkan oleh proses stokastik Untuk sebuah proses stokastik , aljabar- adalah aljabar- terkecil yang memuat semua himpunan yang berbentuk untuk setiap himpunan yang mungkin dari fungsi pada . Maka disebut aljabar- yang dibangkitkan oleh . Definisi 2.28 Proses stokastik dan pada ruang peluang dikatakan ekuivalen jika: untuk setiap . Kita katakan adalah versi dari , dan sebaliknya. Definisi 2.29 Filtrasi Filtration Filtrasi pada ruang terukur adalah koleksi aljabar- pada yang memenuhi: untuk setiap . Definisi 2.30 Proses stokastik dikatakan teradaptasi terhadap filtrasi adapted to the filtration jika: 30 untuk setiap . Fungsi disebut -terukur. Proses stokastik selalu teradaptasi terhadap filtrasi natural yang dibangkit- kan oleh : Definisi 2.31 Gerak Brown Brownian Motion Proses stokastik dinamakan gerak Brown atau proses Wiener jika memenuhi kondisi-kondisi berikut: i. . ii. berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi untuk , artinya untuk setiap , dengan berlaku √ ∫ iii. adalah variabel acak-variabel acak yang saling bebas untuk . Dengan kata lain, mempu- nyai kenaikan yang saling bebas independent increments atau untuk setiap , dengan . iv. Mempunyai lintasan sampel yang kontinu, yakni untuk setiap fungsi adalah fungsi kontinu. Berikut adalah contoh lintasan sampel gerak Brown. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 31 Gambar 2.2 Contoh Lintasan Sampel Gerak Brown dengan . Sifat lintasan sampel gerak Brown: i. Kontinu dimana-mana tapi tidak terdiferensial dimana-mana, ii. Memiliki variasi fungsi yang tidak terbatas pada setiap interval kompak. Artinya untuk setiap interval tertutup dan terbatas berlaku ∑| | dengan supremumnya diambil dari semua partisi yang mungkin pada . iii. Gerak Brown selalu teradaptasi terhadap filtrasi naturalnya. Bukti dapat dilihat pada buku “Elementary Stochastic Calculus with Finance in View” karangan Thomas Mikosch tahun 1998 halaman 36. Derau putih white noise didefinisikan sebagai turunan distribusi dari gerak Brown terhadap waktu, yakni PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 32 Pengertian derau putih sebagai turunan distribusi ini akan kita gunakan secara informal. Dari sini diperoleh bahwa derau putih adalah sebuah proses Gauss berdistri-busi normal dengan rata-rata dan variansi . Derau putih sering digunakan sebagai model matematika untuk gangguan acak yang bersifat sa- ling bebas untuk tiap waktu yang berbeda dan memiliki fluktuasi yang besar. 2. Integral Itô Kita telah mengetahui bahwa lintasan sampel gerak Brown tidak terdiferensial dimana-mana dan memiliki variasi yang tak terbatas pada suatu interval kompak. Pada bagian ini akan ditunjukkan bahwa integral yang telah kita kenal yaitu integral Riemann ataupun integral Riemann- Stietjes tidak dapat digunakan untuk mengintegralkan fungsi dengan inte- gratornya merupakan lintasan gerak Brown. Selanjutnya akan didefinisi- kan integral stokastik Itô sebagai alat untuk mengintegralkan fungsi yang memuat lintasan sampel gerak Brown. a. Integral Riemann Integral Riemann tentunya sudah tidak asing lagi bagi kita, karena sudah pernah kita pelajari pada kalkulus dasar. Pada bagian ini akan dijelaskan integral Riemann secara sederhana. Secara geometri, integral Riemann sering diintepretasikan sebagai jumlahan luas area yang dibentuk untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva. Berikut ini adalah ilustrasi secara geometri integral Riemann: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 33 Gambar 2.3 Ilustrasi geometri integral Riemann. Secara matematis, integral Riemann didefinisikan sebagai berikut. Misal adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada interval dan misal dimana adalah partisi pada , kita katakan terintegral Riemann pada interval jika limit berikut ada: ∫ ‖ ‖ ∑ dengan ‖ ‖ dan disebut titik evaluasi tag. Jumlahan ∑ disebut jumlahan Riemann. 34 Catatan: 1. Untuk menentukan jumlah partisi pada interval menjadi subinterval yang sama panjang, gunakan rumus 2. Jika terbatas pada atau berarti dan kontinu di sana kecuali pada sejumlah titik yang berhingga, maka terintegral Riemann pada . Lebih lanjut, jika kontinu pada seluruh interval , maka terintegral Riemann pada . Contoh 2.8 Hitung ∫ Jawab: Bagi dalam buah subinterval yang sama panjang, yaitu ma- sing-masing intervalnya memiliki panjang Kita peroleh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 35 Jadi, , sehingga untuk se- tiap ∑ ∑ ∑ ∑ Berdasarkan kelinieran notasi sigma, kita peroleh ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Berdasarkan rumus jumlah khusus lihat lampiran 2, kita peroleh ∑ [ ] 36 Karena merupakan suatu partisi yang tetap, maka ‖ ‖ setara dengan . Sehingga dapat disimpulkan bahwa ∫ ‖ ‖ ∑ [ ] Ada dua teorema penting penting dalam teori integral Riemann. Teorema 2.5 Teorema Dasar Kalkulus I Jika kontinu pada interval tertutup dan misal adalah sebuah titik pada , maka ∫ Teorema 2.6 Teorema Dasar Kalkulus II Jika kontinu dan terintegral Riemann pada interval dan misal sebarang antiturunan pada pada , maka ∫ Bukti teorema dasar kalkulus pertama dan kedua dapat dilihat pada buku “Calculus 9th Edition” karangan Dale Varberg, dkk tahun 2007 halaman 235 Teorema A dan 243 Teorema A berturut-urut. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 37 Contoh 2.9 Gunakan teorema dasar kalkulus kedua untuk menghitung integral yang diberikan pada contoh sebelumnya Jawab: Pada ∫ kita punya , , dan . Kita hitung dan sebagai berikut: Dengan teorema dasar kalkulus kedua, kita peroleh ∫ b. Integral Riemann-Stieltjes Integral Remann-Stieltjes merupakan integral Riemann yang diperumum. Integral ini melibatkan dua fungsi dan yang terdefinisi pada interval , dinotasikan ∫ . Jika kita ambil , maka kita peroleh integral Riemann ∫ . Definisi integral Riemann-Stieltjes dari terhadap serupa dengan integral Riemann. Misal adalah fungsi kontinu bernilai real yang terdefinisi pada inter- val dan adalah fungsi naik monoton yang terdefinisi pada in- terval . Misal dimana adalah partisi pada , kita katakan dikata- 38 kan terintegral Rieman-Stieltjes pada terhadap fungsi jika limit berikut ada ∫ ‖ ‖ ∑ dengan ‖ ‖ dan disebut titik evaluasi tag. Contoh 2.10 Bagaimana jika kontinu dan naik monoton dengan kontinu, apa- kah ∫ ada? Jawab: Dengan menggunakan integral parsial, kita misalkan dan Kita peroleh: ∫ | ∫ Karena kontinu dan kontinu dan naik monoton, maka ∫ terintegral Riemann-Stieltjes. Contoh 2.11 Jika dan keduanya kontinu pada , apakah ∫ ada? PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 39 Jawab: Belum tentu. Untuk menunjukkan hal ini, kita selidiki kasus , yakni apakah ∫ ada? Misalkan adalah partisi pada . Didefinisikan ∑ 2.5 yaitu jumlah Riemann-Stieltjes dengan titik evaluasi batas kiri. Lihat ilustrasi berikut. Gambar 2.4 Ilustrasi Jumlahan Riemann-Stieltjes . Selanjutnya kita definisikan ∑ 2.6 yaitu jumlah Riemann-Stieltjes dengan titik evaluasi batas kanan. Lihat ilustrasi berikut. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 40 Gambar 2.5 Ilustrasi Jumlahan Riemann-Stieltjes . Misal , cek apakah ‖ ‖ ‖ ‖ ? Dari 2.5 dan 2.6 kita peroleh ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2.7 dan ∑ ∑ ∑ ∑ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 41 ∑ 2.8 Dari persamaan 2.7 dan 2.8, kita memperoleh ∑ [ ∑ ] 2.9 dan ∑ [ ∑ ] 2.10 Perhatikan persamaan 2.7. Nilai ‖ ‖ ∑ disebut variasi kuadratik fungsi pada . Jadi jelas bahwa ‖ ‖ ‖ ‖ jika variasi kuadratik fungsi pada tidak sama dengan nol. Dengan kata lain, integral Riemann-Stieltjes berlaku jika variasi kuadratik fungsi pada sama dengan nol. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 42 Bagaimana jika yaitu gerak Brown , apakah inte- gral Riemann-Stieltjes memungkinkan untuk mencari ∫ ? Berikut adalah sifat-sifat dasar dari gerak Brown. 1. Kontinu dimana-mana tetapi tidak terdiferensial dimana-mana. 2. Untuk sebarang , berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi . Untuk sebarang , . Bukti: Asumsikan , karena berdistribusi normal dan memiliki kenaikan yang saling bebas, maka Sifat distributif Kelinieran nilai harapan Definisi gerak Brown Definisi gerak Brown yang berarti sama dengan . 3. Untuk yang tetap, proses stokastik ̃ juga merupakan gerak Brown. 4. Untuk sebarang bilangan real , proses stokastik ̃ √ juga merupakan gerak Brown. 5. Variasi kuadratik pada setiap interval adalah . Untuk melihat hal ini, perhatikan teorema berikut: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 43 Teorema 2.7 Misal adalah partisi dari interval kompak . Maka: ∑ 2.11 pada dengan ‖ ‖ . Dengan Bukti: Ingat bahwa ∑ dan misalkan ∑ ∑ 2.12 dengan . Maka: ∑ 2.13 untuk , dan karena mempunyai kenaikan yang saling bebas dan . Di sisi lain, lihat lampiran 3 dan untuk pada persamaan 2.13, diperoleh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 44 Sehingga, dari persamaan 2.13 kita memperoleh ∑ ‖ ‖ ∑ ‖ ‖ saat ‖ ‖ . Hal ini menunjukkan bahwa konvergen ke 0 di . Dan dari persamaan 2.12, mengakibatkan persamaan 2.11 terpenuhi. ■ Pada gerak Brown, kita mempunyai ∑ dan ∑ dengan titik evaluasi untuk yaitu pada dan pada . Kita mempunyai ∑ ∑ ∑ dan ∑ ∑ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 45 ∑ Kita memperoleh [ ∑ ] dan [ ∑ ] Menggunakan teorema 2.7, kita peroleh ‖ ‖ [ ] dan ‖ ‖ [ ] Sehingga kita dapatkan variasi kuadratik dari gerak Brown yaitu ‖ ‖ [ ] [ ] Jadi integral Riemann-Stieltjes tidak bisa dipakai untuk mendefinsi- kan integral fungsi terhadap gerak Brown ∫ . Oleh karena itu muncullah teori integral stokastik yang pertama kali diperkenalkan oleh matematikawan Jepang Kiyoshi Itô pada tahun 1946. Tujuannya ialah jika diberikan sebarang proses stokastik dengan 46 sifat-sifat tertentu dan diberikan gerak Brown , kita ingin mendefinisikan integral stokastik ∫ dengan . Integral tersebut selanjutnya dikenal de- ngan nama integral Itô. c. Integral Itô Persamaan diferensial yang memuat derau: dengan merupakan suatu fungsi dan diinte- pretasikan sebagai turunan dari gerak Brown yaitu . Persamaan tersebut dapat kita tulis atau jika ditulis dalam bentuk diferensial kita peroleh persamaan dife- rensial stokastik: Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk persamaan integral sebagai berikut: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 47 Disini ∫ merupakan bentuk integral Riemann, sedangkan ∫ merupakan bentuk integral Itô yang didefinisikan sebagai integral se- buah fungsi dari proses stokastik terhadap gerak Brown. Selanjutnya, akan dikonstruksikan integral Itô. Definisi 2.32 Misal merupakan aljabar- yang dibangkitkan oleh variabel acak . Untuk , didefinisikan kelas dari fungsi yang memenuhi i. teradaptasi- . ii. ∫ . Misal menotasikan semua himpunan dari fungsi tangga di , yaitu fungsi yang berbentuk dengan , untuk partisi . Didefinisikan integral Itô untuk fungsi tangga sebagai berikut ∫ ∑ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 48 Lemma 2.1 Sifat-Sifat Integral Itô Untuk sebarang dan , integral Itô memenuhi i. bersifat terukur- , ii. iii. ∫ , iv. . Lemma 2.2 Ruang padat di . Artinya yaitu untuk setiap terdapat barisan di dalam sehingga . Bukti Lemma 2.1 dan 2.2 dapat dilihat di Lecture Notes “Stochastic Diffe- renti al Equations” karangan Thomas Önskog tahun 2009 pada halaman 21 Lemma 3.4 dan 22 Lemma 3.5 berturut-urut. Definisi 2.33 Itô integral dari didefinisikan oleh ∫ ∫ dengan limitnya berada di dan adalah barisan dari fung- si di sedemikian sehingga ∫ jika . 49 Contoh 2.12 Hitung integral ∫ . Jawab: Misal adalah partisi dari interval . Pilih ∑ dengan . Maka ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ [ ] ∑ ∫ ∑ [ | ∑ [ ] ∑ ∑ ∑ jika . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 50 Sehingga kita tahu bahwa ∫ ∫ ∑ ∑ dengan . Sekarang perhatikan Dari persamaan di atas, kita memperoleh ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Menurut teorema 2.7 ∑ , sehingga ∑ ∑ ∑ Sehingga kita peroleh ∫ ∑ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 51 Teorema 2.8 Rumus Itô Misal adalah proses Itô yang diberikan oleh: dan yaitu fungsi yang terdiferensial kontinu dua kali pada . Maka, juga merupakan proses Itô, dan berlaku dengan dihitung berdasarkan aturan: Bukti teorema Rumus Itô dapat dilihat pad a buku “Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications ” karangan Bernt Øksendal tahun 2003 halaman 44 Teorema 4.1.2. Bentuk Integral dari Rumus Itô Dengan mengintegralkan rumus Itô terhadap variabel waktu dari sampai kita memperoleh ∫ ∫ Contoh 2.13 Hitung: a. ∫ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 52 b. ∫ Jawab: a. Pilih , maka dan dari rumus Itô kita memperoleh ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Sehingga diperoleh ∫ ∫ ∫ ∫ b. Pilih , maka dan dari rumus Itô diperoleh ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Sehingga kita memperoleh ∫ ∫ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 53 Teorema 2.9 Teorema Fundamental Kalkulus Itô Misal adalah antiderivatif atau integral tak tentu dalam variabel dari fungsi kontinu dengan dan kontinu, maka berlaku: ∫ | ∫ [ ] Khususnya, jika tidak bergantung waktu, yakni , maka ∫ | ∫ Teorema di atas merupakan bentuk lain dari Rumus Itô jika mempunyai antiturunan . Contoh 2.14 Hitung ∫ Jawab: Jika maka dan ∫ ∫ Dengan menggunakan metode integral parsial, kita misalkan dan maka ∫ 54 untuk . Jadi menurut Teorema Fundamental Kalkulus Itô kita memperoleh ∫ | ∫ ∫ | ∫ ∫ ∫ ∫ Berdasarkan contoh 2.12 b, kita memperoleh ∫ ∫ ∫ ∫ Sehingga diperoleh ∫ ∫ ∫

3. Persamaan Diferensial Stokastik