101
Untuk setiap nilai awal, penyelesaian model penyebaran bergerak mendekati
dan , sehingga dapat dikatakan bahwa nol dan
merupakan titik ekuilibrium yang stabil.
4. Model Verhulst dengan Laju Pertumbuhan tidak Konstan
Konstanta menunjukkan bahwa laju dari pertumbuhan populasi
tidak bergantung pada waktu. Hal ini berarti waktu tidak memiliki pengaruh penting untuk menentukan seberapa cepat populasi bertumbuh.
Hal tersebut mungkin saja terjadi, namun secara umum tidak mungkin bahwa laju pertumbuhan populasi tidak dipengaruhi oleh waktu. Spesies
yang berbeda memiliki laju pertumbuhan yang berbeda pula, tergantung periode reproduksi misalnya. Misalnya pada beberapa mamalia memiliki
waktu reproduksi yang berbeda. Mamalia seperti anjing, serigala, dan beruang hanya bereproduksi sekali dalam setahun, sedangkan mamalia
seperti kuda dan domba memiliki siklus reproduksi yang pendek, sehingga dalam setahun bisa bereproduksi lebih dari satu kali. Selain itu,
laju pertumbuhan populasi juga dipengaruhi oleh perubahan cuaca. Oleh karena itu, penting untuk memodifikasi laju pertumbuhan populasi
menjadi suatu fungsi yang bergantung waktu, dengan kata lain laju pertumbuhannya tidak lagi berupa konstanta. Model Verhulst dengan
laju pertumbuhan tidak konstan diberikan oleh masalah nilai awal sebagai berikut:
102
3.40
dengan adalah variabel waktu, adalah fungsi
kontinu yang menyatakan bahwa laju pertumbuhan populasi besarnya bergantung pada waktu,
adalah banyaknya individu dalam populasi pada waktu t, dan K adalah kapasitas ambang atau kemampuan maksi-
mum alam untuk menghidupi populasi. a.
Penyelesaian Dengan metode pemisahan variabel, model 3.40 dapat ditulis
sebagai berikut:
Dengan menggunakan metode pecahan parsial untuk ruas kiri, persa- maan di atas dapat ditulis dalam bentuk
Integralkan kedua ruas, untuk memperoleh ∫
∫ ∫
∫ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
untuk suatu . Jika , maka
∫
∫
∫
Misal , maka:
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
3.45 Substitusikan nilai awal
ke persamaan 3.45 untuk mendapatkan nilai
yang memenuhi: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
∫ ∫
Karena kontinu, maka
3.46 Substitusikan persamaan 3.46 ke persamaan 3.45 dan didapatkan
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
b. Analisa Kualitatif
1 Analisa Penyelesaian Model Verhulst dengan Laju tidak Konstan
Penyelesaian model Verhulst dengan laju tidak konstan yaitu:
∫ ∫
105
Agar populasi tidak bertambah besar atau
untuk suatu , maka paling tidak adalah fungsi yang
terintegral tak wajar pada interval .
Ketika adalah fungsi konstan, persamaan di atas
tereduksi menjadi persamaan 3.19. Untuk melihat hal tersebut, ambil
.
∫ ∫
2 Analisa Kestabilan Titik Ekuilibrium Model Verhulst dengan Laju
tidak Konstan Syarat ekuilibrium model dengan laju pertumbuhan populasi
model Verhulst dengan laju tidak konstan:
atau PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
Kestabilan titik ekuilibrium model Verhulst dengan laju tidak konstan sangat bergantung pada fungsi laju pertumbuhannya.
Akan diberikan beberapa contoh model Verhulst dengan laju
tidak konstan untuk mempermudah pemahaman kita. Contoh 3.2.1
Diberikan model pertumbuhan populasi Verhulst dengan laju tidak konstan sebagai berikut:
a. Carilah penyelesaian dari model di atas jika diberikan ,
, dan .
b. Dengan menggunakan MATLAB, buatlah grafik penyelesaian
model di atas dengan nilai awal , , dan
. Ambil dan . c.
Analisa kestabilan titik ekuilibrium untuk masing-masing .
Jawab:
Penyelesaian model Verhulst dengan laju tidak konstan yaitu:
∫ ∫
a. Akan dicari penyelesaian dari model di atas.
i Untuk maka kita peroleh:
107
∫ ∫
Kita hitung ∫
:
∫ |
Sehingga diperoleh:
ii Untuk kita memperoleh:
∫ ∫
Kita hitung ∫
dengan menggunakan metode integral parsial:
maka diperoleh:
∫ |
∫
∫
Kita hitung ∫
dengan menggunakan metode substitusi. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
Misal:
Jika maka dan jika maka
maka
∫ ∫
∫
|
Sehingga kita peroleh
∫ ∫
Sehingga penyelesaian model awal saat yaitu:
109
iii Untuk
kita memperoleh
∫ ∫
Kita hitung ∫
dengan terlebih dahulu menghitung ∫
: ∫
∫ ∫
untuk suatu .
Maka diperoleh: ∫
|
Sehingga penyelesaian model awal saat yaitu:
b. Grafik penyelesaian model pada soal dengan diberikan nilai awal
, , , , dan ditunjukkan oleh gambar berikut.
110
i Jika , grafik penyelesaiannya diberikan oleh gam-
bar berikut.
Gambar 3.11
Grafik Penyelesaian Model Verhulst Laju tak Konstan dengan
. Interaksi predasi merupakan salah satu contoh yang populasi-
nya bergerak secara periodik. Misalnya pada ekosistem laut terda- pat ikan kecil pemakan plankton sebagai mangsa dan hiu sebagai
pemangsa. Jika nelayan menahan diri untuk tidak memancing ikan kecil pemakan plankton untuk beberapa tahun seperti yang terjadi
selama Perang Dunia I, maka ikan ini jumlahnya akan meningkat dalam waktu yang cepat. Setelah meningkat, hiu akan memiliki
cukup makanan untuk pertumbuhan populasinya, sehingga populasi hiu akan meningkat. Namun hal tersebut menyebabkan berkurang-
nya populasi pada ikan kecil dengan singkat. Akibatnya, hiu keku- rangan makanan dan populasinya menurun. Hal tersebut memung-
111
kinkan ikan kecil untuk memperbesar populasinya kembali. Jika proses ini terus berlanjut tanpa batas, maka baik populasi ikan kecil
maupun populasi hiu akan bergerak secara periodik. ii
Jika , grafik penyelesaiannya diberikan oleh gambar berikut.
Gambar 3.12
Grafik Penyelesaian Model Verhulst Laju tak Konstan dengan
. Pertumbuhan singa laut pada Pulau St. Paul, Alaska merupa-
kan salah satu contoh populasi yang tumbuh secara logistik. iii
Jika , grafik penyelesaiannya diberikan oleh
gambar berikut. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
Gambar 3.13
Grafik Penyelesaian Model Verhulst Laju tak Konstan dengan
. c.
Akan kita analisa kestabilan titik ekuilibrium dari masing-masing . i
Pada , titik ekuilibrium dan merupakan titik ekuilibrium yang tidak stabil sebab untuk sebarang
nilai awal, penyelesaiannya bergerak secara periodik. ii
Pada saat :
Sehingga titik merupakan titik ekuilibrium yang stabil.
iii Pada saat
:
Sehingga titik merupakan titik ekuilibrium yang stabil.
113
BAB IV MODEL VERHULST STOKASTIK
