Fungsi Konkaf Masalah Kontrol Optimum Prinsip Maksimum Pontryagin

waktu t , , maka disebut proses poisson tak homogen. Misalkan X adalah proses poisson homogen dan B adalah suatu selang bilangan nyata. Jika X adalah proses poisson homogen maka [ ] = . Dengan adalah panjang selang B, serta menyatakan banyaknya kejadian dari proses poisson pada selang B. Ross 1996

2.3 Fungsi Konkaf

Sebelum membahas fungsi konkaf, terlebih dahulu akan dibahas himpunan konveks yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 20 Himpunan Konveks Himpunan ⊂ dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap dan di , maka ruas garis yang menghubungkan dan juga terletak di . Dengan kata lain himpunan ⊂ dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap dan di dan untuk setiap dengan 1, maka vektor + 1 − juga terletak di . Peressini et al. 1988 Definisi 21 Fungsi Konkaf dan Konkaf Sempurna Misalkan adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan konveks di , maka: 1. Fungsi dikatakan konkaf di jika + 1 − + 1 − , untuk setiap , di dan untuk setiap dengan 1. 2. Fungsi f dikatakan konkaf sempurnadi jika + 1 − + 1 − , untuk setiap , di dan untuk setiap dengan 1. Peressini et al. 1988 Teorema 1 Jika fungsi terdiferensialkan dua kali pada suatu selang I, maka fungsi konkaf pada I jika dan hanya jika 0, untuk setiap ∈ . Jika 0 untuk setiap ∈ maka dikatakan fungsi konkaf sempurna. Peressini et al. 1988

2.4 Masalah Kontrol Optimum

Misalkan U menyatakan himpunan dari semua fungsi yang kontinu sepotong-sepotong piecewise. Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan fungsi kontrol ∗ diantara fungsi admissible ∈ yang membawa sistem dari state awal kepada state akhir yang memenuhi kondisi akhir T, melalui sistem = , , sehingga fungsional J mencapai nilai maksimum. Dengan kata lain, masalah kontrol optimum adalah masalah memaksimumkan fungsional objektif max ∈ [ ] = , + , , terhadap kendala: = , , = , ∈ dengan variabel state state variable dan , yang didefinisikan sebagai fungsi scrap. Tu 1993

2.5 Prinsip Maksimum Pontryagin

Prinsip maksimum merupakan salah satu metode penyelesaian masalah kontrol optimum yang ditemukan Pontryagin, yang kemudian dikenal sebagai Prinsip Maksimum Pontryagin. Prinsip ini diuraikan dalam teorema Pontryagin sebagai berikut: Teorema 2 Pontryagin Misalkan ∗ sebagai kontrol admisible yang membawa state awal [ , ] kepada state akhir [ , ], dengan dan secara umum tidak ditentukan. Misalkan ∗ merupakan trajektori dari sistem yang berkaitan dengan ∗ . Supaya kontrol ∗ merupakan kontrol optimum, maka perlu terdapat fungsi vektor ∗ ≠ 0, dan konstanta sedemikian rupa sehingga: 1. ∗ dan ∗ merupakan solusi dari sistem kanonik: ∗ = ∗ , ∗ , ∗ , , ∗ = − ∗ , ∗ , ∗ , , dengan fungsi Hamiltonian H diberikan oleh , , , = , , + , , , dengan ≡ 1. 2. ∗ , ∗ , ∗ , , , , . 3. Semua syarat batas dipenuhi. ∗ , ∗ , ∗ , , , , disebut dengan Prinsip Maksimum Pontryagin. Kondisi ini dipenuhi oleh = 0 dan 0. Jika ∈ dan himpunan tertutup, maka = 0 tidak memiliki arti, kecuali maksimum dari diberikan oleh bagian dalam interior himpunan . Kondisi ∗ , ∗ , ∗ , , , , ini juga mencakup syarat cukup dari masalah ini. Jika H fungsi monoton naik dalam peubah u dan U tertutup, maka kontrol optimum adalah � � untuk masalah memaksimum- kan dan � � untuk masalah meminimumkan. Jika fungsi monoton turun, maka kontrol optimum adalah � � untuk masalah memaksimumkan dan � � untuk masalah meminimumkan. Hal ini juga berlaku apabila H adalah fungsi linear dalam u. Sehingga peubah kontrol optimum � adalah kontinu bagian dan loncat dari suatu verteks ke verteks lainnya. Hal ini merupakan kasus dari kontrol bang-bang. Vektor p disebut juga vektor adjoin, memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi dinamis, peubah atau vektor adjoin, merupakan shadow price. Nilai marginal dari vektor atau peubah x, menunjukkan jumlah kenaikan atau penurun- an dalam nilai x pada waktu t yang berkontribusi terhadap fungsional objektif optimum J sedangkan mengindikasikan tingkat kenaikan apresiasi untuk 0 atau penurunan depresiasi untuk 0 dalam nilai dari tiap unit modal. Nilai dari suatu = . Sementara itu syarat perlu untuk masalah ini diberikan oleh persamaan = − , = 0, = . Syarat batas diberikan oleh persamaan − | = = + + | = = = 0. Apabila fungsi scrap = 0, maka persamaan tersebut menjadi − | = = + | = = = 0. Khususnya pada waktu awal dan telah ditentukan, sedangkan T dan xT belum ditentukan, maka syarat batas menjadi – + = 0. Bukti: lihat Lampiran 1 Tu 1993

2.6 Current-Value Hamiltonian