Current-Value Hamiltonian Model Pertumbuhan Ekonomi dengan Input Sumber Daya Alam Terbarukan

dipenuhi oleh = 0 dan 0. Jika ∈ dan himpunan tertutup, maka = 0 tidak memiliki arti, kecuali maksimum dari diberikan oleh bagian dalam interior himpunan . Kondisi ∗ , ∗ , ∗ , , , , ini juga mencakup syarat cukup dari masalah ini. Jika H fungsi monoton naik dalam peubah u dan U tertutup, maka kontrol optimum adalah � � untuk masalah memaksimum- kan dan � � untuk masalah meminimumkan. Jika fungsi monoton turun, maka kontrol optimum adalah � � untuk masalah memaksimumkan dan � � untuk masalah meminimumkan. Hal ini juga berlaku apabila H adalah fungsi linear dalam u. Sehingga peubah kontrol optimum � adalah kontinu bagian dan loncat dari suatu verteks ke verteks lainnya. Hal ini merupakan kasus dari kontrol bang-bang. Vektor p disebut juga vektor adjoin, memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi dinamis, peubah atau vektor adjoin, merupakan shadow price. Nilai marginal dari vektor atau peubah x, menunjukkan jumlah kenaikan atau penurun- an dalam nilai x pada waktu t yang berkontribusi terhadap fungsional objektif optimum J sedangkan mengindikasikan tingkat kenaikan apresiasi untuk 0 atau penurunan depresiasi untuk 0 dalam nilai dari tiap unit modal. Nilai dari suatu = . Sementara itu syarat perlu untuk masalah ini diberikan oleh persamaan = − , = 0, = . Syarat batas diberikan oleh persamaan − | = = + + | = = = 0. Apabila fungsi scrap = 0, maka persamaan tersebut menjadi − | = = + | = = = 0. Khususnya pada waktu awal dan telah ditentukan, sedangkan T dan xT belum ditentukan, maka syarat batas menjadi – + = 0. Bukti: lihat Lampiran 1 Tu 1993

2.6 Current-Value Hamiltonian

Dalam penggunaan teori kontrol optimum. Pada masalah ekonomi, fungsi integran sering memuat faktor diskon − . Dengan demikian, fungsi integran secara umum dapat dituliskan menjadi , , = , , − Sehingga masalah kontrol optimum menjadi memaksimumkan fungsi nilai max = , , − terhadap kendala = , , ditambah dengan syarat batas. Dengan definisi standar, fungsi Hamilton dapat dituliskan dalam bentuk , , , = , , − + , , . Akan tetapi, karena prinsip maksimum menggunakan turunan fungsi Hamilton terhadap x dan u, dengan hadirnya faktor diskon akan menambah kerumitan penentuan turunan tersebut. Untuk itu, dikenalkan fungsi hamilton baru yang sering disebut dengan current-value Hamiltonian. Untuk menerap- kan konsep current-value Hamiltonian, diper- lukan konsep current-value adjoin. Misalkan menyatakan current-value fungsi adjoin, yang didefinisikan = yang berimplikasi = − . Sehingga fungsi current-value Hamiltonian yang dinotasikan dengan , dapat dituliskan menjadi ≡ = , , + , , . Perhatikan bahwa , sebagaimana yang diinginkan sudah tidak memuat faktor diskon. Juga, perhatikan bahwa = . Kemudian penerapan prinsip maksimum Pontryagin terhadap harus disesuaikan. Karena u yang memaksimumkan H juga akan memaksimum- kan , maka max , ∀ ∈ 0, . Persamaan state yang muncul dalam sistem kanonik, aslinya adalah = . Karena = , , = , maka persama- an ini disesuaikan menjadi = . Per- samaan untuk peubah adjoin yang muncul dalam sistem kanonik aslinya adalah dalam bentuk = − . Pertama-tama, transfor- masikan masing-masing suku dalam bentuk yang melibatkan peubah adjoin baru, , kemudian hasilnya disamakan. Untuk suku kiri, = − − − . Dengan memanfaatkan definisi H, suku kanan dapat dituliskan kembali dalam bentuk − = − − . Dengan menyamakan kedua persamaan di atas, persamaan adjoin menjadi = − + . Selanjutnya akan diperiksa kondisi syarat batas. Untuk syarat batas = 0, syarat batas yang sesuai adalah − = 0 dan untuk syarat batas = = 0, syarat batas yang sesuai adalah − = = 0. Tu 1993

2.7 Syarat Transversalitas