Syarat Transversalitas Perumusan Model

− = − − . Dengan menyamakan kedua persamaan di atas, persamaan adjoin menjadi = − + . Selanjutnya akan diperiksa kondisi syarat batas. Untuk syarat batas = 0, syarat batas yang sesuai adalah − = 0 dan untuk syarat batas = = 0, syarat batas yang sesuai adalah − = = 0. Tu 1993

2.7 Syarat Transversalitas

Masalah kontrol optimum yang memaksi- mumkan fungsional objektif max ∈ [ ] = , + , , terhadap kendala = , , , = , ∈ . Syarat transversalitas atau syarat batas diberikan oleh persamaan − | = = + [ + ] | = = = 0. Untuk masalah dengan fungsional objektifnya menggunakan current-value Hamiltonian dengan ≡ , fungsi scrap = 0, dan waktu awal dan telah ditentukan seperti yang disebutkan sebelumnya, maka syarat batasnya adalah − = 0 dan − = = 0. Tu 1993 Pada kasus horizon waktu takhingga → ∞, asumsikan fungsional objektif max = , , −� . Untuk titik akhir bebas, syarat transversalitas yang dapat digunakan adalah lim →∞ = 0 ⟹ lim →∞ −� = 0. Limit di atas adalah present value formulation yang juga merupakan syarat cukup untuk optimalitas. Kasus penting lainnya adalah jika terdapat kendala lim →∞ 0 dengan syarat transversalitasnya adalah lim →∞ −� 0 dan lim →∞ −� ∗ = 0. Sethi Gerald 2000 III HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Perumusan Model

Pada bagian ini akan dirumuskan model pertumbuhan ekonomi yang mengoptimalkan utilitas dari konsumen dengan asumsi: 1. Terdapat tiga sektor dalam perekonomian: sektor produksi akhir, sektor produksi antara dan sektor R D. 2. Banyaknya output yang dihasilkan pada saat t semuanya akan dikonsumsi pada saat itu juga, sehingga rumah tangga sebagai konsumen, investor, penyedia tenaga kerja dan penyedia sumber daya alam berada dalam sektor ini. 3. Persediaan tenaga kerja L tetap dan untuk kemudahan distandarisasikan L = 1. 4. Terdapat kemajuan teknologi sebagai akibat dari adanya inovasi. 5. Inovasi yang dilakukan adalah inovasi vertikal. 6. Hanya terdapat satu produk antara. 7. Berlaku proses creative destruction di sektor produksi antara. 8. Sebelum dilakukan substitusi produk antara dengan kualitas yang lebih tinggi hasil penemuan atau inovasi dimonopoli oleh penemu dan diberikan ke sektor produksi akhir. Pertumbuhan ekonomi merujuk pada pe- ningkatan total output pada suatu perekono- mian sehingga model pertumbuhan ekonomi dilambangkan sebagai fungsi output atau fungsi produksi. Fungsi produksi yang di- gunakan adalah fungsi produksi Cobb- Douglas yang koefisien intersepnya diganti dengan tingkat teknologi. Model ini oleh Mankiw 2003 dalam bukunya dituliskan sebagai model produksi dengan perkem- bangan teknologi yang secara umum ditulis sebagai berikut: = , dengan: = output pada saat t = input modal pada saat t = input tenaga kerja pada saat t = elastisitas output terhadap tenaga kerja = elastisitas output terhadap modal A = perkembangan teknologi Dalam permasalahan ini, karena akan dikaji pengaruh sumber daya alam terbarukan terhadap pertumbuhan ekonomi, maka input modal diganti atau dipersempit menjadi banyaknya sumber daya terbarukan yang dialokasikan oleh sektor produksi akhir dan digunakan pada saat t, diberi lambang . Semetara itu, tenaga kerja L dialokasikan ke dalam dua sektor yaitu sektor produksi antara dan sektor RD untuk penelitian. Misalkan tenaga kerja yang digunakan untuk penelitian di sektor RD pada saat t adalah dan tenaga kerja yang digunakan untuk mengolah produk di sektor produksi antara pada saat t adalah . Diasumsikan berlaku constant return to scale sehingga = 1 − . Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut, maka diperoleh fungsi produksi sebagai berikut: = 1 − . 3.1 Keterangan : = banyaknya output pada saat t = tingkat teknologi pada saat t = banyaknya tenaga kerja di sektor pro- duksi antara = banyaknya sumber daya yang diguna- kan pada saat t α = elastisitas output dari produk antara 1- α = elastisitas output dari sumber daya 0 α 1 Dengan asumsi persediaan tenaga kerja tetap, untuk penyederhanaan distandarisasikan total aliran tenaga kerja menjadi satu L = 1. Dari penjelasan sebelumnya diketahui = + , sehingga + = 1. Misalkan satu unit tenaga kerja yang digunakan untuk penelitian menghasilkan inovasi secara acak dengan sebaran poisson dengan parameter , 0. Misalkan [ � − 1, �] adalah suatu interval di mana penelitian dilakukan dan � adalah tingkat teknologi setelah dilakukannya penelitian, maka inovasi yang dihasilkan pada interval waktu tersebut akan mengubah tingkat teknologi yang sebelumnya yaitu �−1 sebesar , ditulis � = �−1 , 1 untuk semua �. Pada periode , + Δ , peluang terjadi ino- vasi adalah Δ dan peluang tidak terjadi inovasi adalah 1 − Δ , sehingga nilai hara- pan dari A tingkat teknologi adalah + Δ = Δ + 1 − Δ = + − 1 Δ dan untuk Δ → 0, diperoleh = − 1 . 3.2 lihat Lampiran 2 Berdasarkan asumsi nomor tiga, inovasi yang dilakukan adalah inovasi vertikal, yaitu upaya meningkatkan keuntungan dengan melakukan perbaikan kualitas khususnya pada produk antara. Kemudian sesuai dengan asumsi nomor tujuh, jika kualitas yang lebih tinggi ditemukan sebagai akibat dari adanya inovasi, maka produk antara dengan tingkat kualitas yang lebih rendah akan sepenuhnya diganti. Proses ini dalam bidang ekonomi disebut sebagai proses creative destruction. Akan tetapi, sebelum dilakukan substitusi produksi dengan tingkat kualitas yang lebih tinggi pada produk antara, sesuai dengan asumsi nomor delapan tersebut dimonopoli hasil penemuan atau inovasi oleh penemu dan diberikan kepada sektor produksi akhir. Misalkan adalah stok sumber daya pada saat t, � adalah tingkat keterbaruan dari sumber daya. Jika diasumsikan bahwa ba- nyaknya stok sumber daya hanya dipengaruhi oleh tingkat keterbaruan dan banyaknya sum- ber daya yang digunakan, maka persamaan dinamis dari stok sumber daya pada saat t adalah = � − . 3.3 Seperti yang sudah disebutkan sebelumnya, dalam karya ilmiah ini diasumsikan bahwa output yang dihasilkan seluruhnya digunakan untuk konsumsi. Misalkan adalah konsumsi pada saat t, maka = . Sementara itu, untuk mengukur tingkat kepuasan dari konsumen digunakan fungsi utilitas . Agar perekonomian berada dalam jalur pertumbuhan ekonomi yang berimbang, formulasi fungsi utilitas yang digunakan adalah = 1 −� − 1 1 − � , � 0 di mana fungsi diasumsikan sebagai fungsi yang konkaf sempurna yang memenuhi ′ 0 dan 0. Parameter � dalam fungsi ini merepresentasikan elastisitas utilitas marjinal, yaitu persentase perubahan utilitas total per satu persen perubahan jumlah komoditi yang dikonsumsi. Parameter 1 � adalah elastisitas substitusi antarwaktu yang menentukan seberapa mudah individu dalam menukarkan suatu konsumsi dengan konsumsi lainnya dalam periode waktu yang berbeda. Semakin besar nilai 1 � maka konsumen akan semakin mudah menukarkan suatu konsumsi dengan konsumsi lainnya. Hal ini dikarenakan nilai 1 � yang besar diperoleh pada saat nilai � yang kecil yang berarti utilitas tambahan yang diperoleh dari menambah konsumsi dari komoditi tersebut kecil, sehingga konsumen cenderung lebih mudah untuk menukarkan konsumsi ke komoditi lainnya. Misal diasumsikan semua individu memi- liki batas waktu yang tak terbatas ∈ [0, ∞ dan tingkat preferensi waktu tingkat diskon yang sama dan bernilai konstan � 0, maka fungsi utilitasnya dapat dituliskan dalam bentuk = ∞ −� . Tujuan akhir dari suatu kebijakan adalah untuk memaksimumkan utilitas setiap anggota rumah tangga. Dengan memilih variabel kon- trol dan , serta mensubstitusi tingkat konsumsi pada saat dengan fungsi produksi , maka diperoleh rumusan untuk memaksimumkan utilitas sebagai berikut: max 1 1 −� ∞ 1 − 1 − 1 −� − 1 −� 3.4 dengan batasan: = − 1 = � − .

3.2 Kondisi Optimal Steady State