− =
−
−
. Dengan menyamakan kedua persamaan di
atas, persamaan adjoin menjadi = −
+ .
Selanjutnya akan diperiksa kondisi syarat batas. Untuk syarat batas
= 0, syarat batas yang sesuai adalah
−
= 0 dan untuk syarat batas
=
= 0, syarat batas yang sesuai adalah
− =
= 0. Tu 1993
2.7 Syarat Transversalitas
Masalah kontrol optimum yang memaksi- mumkan fungsional objektif
max
∈
[ ] = ,
+ , ,
terhadap kendala
= , , , =
, ∈
.
Syarat transversalitas atau syarat batas diberikan oleh persamaan
− |
= =
+ [ +
] |
= =
= 0. Untuk masalah dengan fungsional objektifnya
menggunakan current-value
Hamiltonian dengan
≡ , fungsi scrap
= 0, dan waktu awal
dan telah ditentukan
seperti yang disebutkan sebelumnya, maka syarat batasnya adalah
−
= 0 dan
− =
= 0. Tu 1993
Pada kasus horizon waktu takhingga → ∞, asumsikan fungsional objektif
max = , ,
−�
. Untuk titik akhir bebas, syarat transversalitas yang dapat
digunakan adalah lim
→∞
= 0 ⟹ lim
→∞ −�
= 0. Limit di atas adalah present value formulation
yang juga merupakan syarat cukup untuk optimalitas.
Kasus penting lainnya adalah jika terdapat kendala
lim
→∞
0 dengan syarat transversalitasnya adalah
lim
→∞ −�
0 dan lim
→∞ −�
∗
= 0. Sethi Gerald 2000
III HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Perumusan Model
Pada bagian ini akan dirumuskan model pertumbuhan ekonomi yang mengoptimalkan
utilitas dari konsumen dengan asumsi: 1.
Terdapat tiga sektor dalam perekonomian: sektor produksi akhir, sektor produksi
antara dan sektor R D. 2.
Banyaknya output yang dihasilkan pada saat t semuanya akan dikonsumsi pada saat
itu juga, sehingga rumah tangga sebagai konsumen, investor, penyedia tenaga kerja
dan penyedia sumber daya alam berada dalam sektor ini.
3. Persediaan tenaga kerja L tetap dan
untuk kemudahan distandarisasikan L = 1. 4.
Terdapat kemajuan teknologi sebagai akibat dari adanya inovasi.
5. Inovasi yang dilakukan adalah inovasi
vertikal. 6.
Hanya terdapat satu produk antara. 7.
Berlaku proses creative destruction di sektor produksi antara.
8. Sebelum dilakukan substitusi produk
antara dengan kualitas yang lebih tinggi hasil penemuan atau inovasi dimonopoli
oleh penemu dan diberikan ke sektor produksi akhir.
Pertumbuhan ekonomi merujuk pada pe- ningkatan total output pada suatu perekono-
mian sehingga model pertumbuhan ekonomi dilambangkan sebagai fungsi output atau
fungsi produksi. Fungsi produksi yang di- gunakan adalah fungsi produksi Cobb-
Douglas yang koefisien intersepnya diganti dengan tingkat teknologi. Model ini oleh
Mankiw 2003 dalam bukunya dituliskan sebagai model produksi dengan perkem-
bangan teknologi yang secara umum ditulis sebagai berikut:
= ,
dengan: = output pada saat t
= input modal pada saat t = input tenaga kerja pada saat t
= elastisitas output terhadap tenaga kerja = elastisitas output terhadap modal
A = perkembangan teknologi Dalam permasalahan ini, karena akan
dikaji pengaruh sumber daya alam terbarukan terhadap pertumbuhan ekonomi, maka input
modal diganti atau dipersempit menjadi
banyaknya sumber daya terbarukan yang dialokasikan oleh sektor produksi akhir dan
digunakan pada saat t, diberi lambang .
Semetara itu, tenaga kerja L dialokasikan ke dalam dua sektor yaitu sektor produksi antara
dan sektor RD untuk penelitian. Misalkan tenaga kerja yang digunakan untuk penelitian
di sektor RD pada saat t adalah
dan tenaga kerja yang digunakan untuk mengolah
produk di sektor produksi antara pada saat t adalah
. Diasumsikan berlaku constant return
to scale
sehingga = 1
− . Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut, maka
diperoleh fungsi produksi sebagai berikut: =
1 −
. 3.1 Keterangan :
= banyaknya output pada saat t = tingkat teknologi pada saat t
= banyaknya tenaga kerja di sektor pro- duksi antara
= banyaknya sumber daya yang diguna- kan pada saat t
α = elastisitas output dari produk antara 1-
α = elastisitas output dari sumber daya 0 α 1
Dengan asumsi persediaan tenaga kerja tetap, untuk penyederhanaan distandarisasikan
total aliran tenaga kerja menjadi satu L = 1. Dari
penjelasan sebelumnya
diketahui =
+ , sehingga
+ = 1.
Misalkan satu unit tenaga kerja yang digunakan untuk penelitian menghasilkan
inovasi secara acak dengan sebaran poisson dengan
parameter ,
0. Misalkan [
� − 1, �] adalah suatu interval di mana penelitian dilakukan dan
�
adalah tingkat teknologi setelah dilakukannya penelitian,
maka inovasi yang dihasilkan pada interval waktu tersebut akan mengubah tingkat
teknologi yang sebelumnya yaitu
�−1
sebesar , ditulis
�
=
�−1
, 1 untuk semua
�. Pada periode
, + Δ , peluang terjadi ino- vasi adalah
Δ dan peluang tidak terjadi inovasi adalah
1 −
Δ , sehingga nilai hara- pan dari A tingkat teknologi adalah
+ Δ
= Δ
+ 1 −
Δ =
+ − 1
Δ dan untuk
Δ → 0, diperoleh = − 1
. 3.2 lihat Lampiran 2
Berdasarkan asumsi nomor tiga, inovasi yang dilakukan adalah inovasi vertikal, yaitu
upaya meningkatkan keuntungan dengan melakukan perbaikan kualitas khususnya pada
produk antara. Kemudian sesuai dengan asumsi nomor tujuh, jika kualitas yang lebih
tinggi ditemukan sebagai akibat dari adanya inovasi, maka produk antara dengan tingkat
kualitas yang lebih rendah akan sepenuhnya diganti. Proses ini dalam bidang ekonomi
disebut sebagai proses creative destruction. Akan tetapi, sebelum dilakukan substitusi
produksi dengan tingkat kualitas yang lebih tinggi pada produk antara, sesuai dengan
asumsi nomor delapan tersebut dimonopoli hasil penemuan atau inovasi oleh penemu dan
diberikan kepada sektor produksi akhir.
Misalkan adalah stok sumber daya pada saat t,
� adalah tingkat keterbaruan dari sumber daya. Jika diasumsikan bahwa ba-
nyaknya stok sumber daya hanya dipengaruhi oleh tingkat keterbaruan dan banyaknya sum-
ber daya yang digunakan, maka persamaan dinamis dari stok sumber daya pada saat t
adalah
= � −
.
3.3 Seperti yang sudah disebutkan sebelumnya,
dalam karya ilmiah ini diasumsikan bahwa output yang dihasilkan seluruhnya digunakan
untuk konsumsi. Misalkan adalah konsumsi pada saat t, maka
= . Sementara itu,
untuk mengukur tingkat kepuasan dari konsumen digunakan fungsi utilitas
. Agar perekonomian berada dalam jalur
pertumbuhan ekonomi yang berimbang, formulasi fungsi utilitas yang digunakan
adalah
=
1 −�
− 1 1
− � ,
� 0 di mana fungsi
diasumsikan sebagai fungsi yang konkaf sempurna yang memenuhi
′ 0 dan 0. Parameter � dalam fungsi ini merepresentasikan elastisitas
utilitas marjinal, yaitu persentase perubahan utilitas total per satu persen perubahan jumlah
komoditi yang dikonsumsi. Parameter 1
� adalah elastisitas substitusi antarwaktu yang
menentukan seberapa mudah individu dalam menukarkan suatu konsumsi dengan konsumsi
lainnya dalam periode waktu yang berbeda. Semakin besar nilai
1 � maka konsumen akan
semakin mudah menukarkan suatu konsumsi dengan konsumsi lainnya. Hal ini dikarenakan
nilai 1
� yang besar diperoleh pada saat nilai � yang kecil yang berarti utilitas tambahan
yang diperoleh dari menambah konsumsi dari komoditi tersebut kecil, sehingga konsumen
cenderung lebih mudah untuk menukarkan konsumsi ke komoditi lainnya.
Misal diasumsikan semua individu memi- liki batas waktu yang tak terbatas
∈ [0, ∞ dan tingkat preferensi waktu tingkat diskon
yang sama dan bernilai konstan � 0, maka
fungsi utilitasnya dapat dituliskan dalam bentuk
=
∞ −�
. Tujuan akhir dari suatu kebijakan adalah
untuk memaksimumkan utilitas setiap anggota rumah tangga. Dengan memilih variabel kon-
trol dan
, serta mensubstitusi tingkat konsumsi pada saat
dengan fungsi produksi
, maka diperoleh rumusan untuk memaksimumkan utilitas sebagai berikut:
max
1 1
−� ∞
1 −
1 −
1 −�
− 1
−�
3.4
dengan batasan: = − 1
= � − .
3.2 Kondisi Optimal Steady State