Berdasarkan asumsi nomor tiga, inovasi yang dilakukan adalah inovasi vertikal, yaitu
upaya meningkatkan keuntungan dengan melakukan perbaikan kualitas khususnya pada
produk antara. Kemudian sesuai dengan asumsi nomor tujuh, jika kualitas yang lebih
tinggi ditemukan sebagai akibat dari adanya inovasi, maka produk antara dengan tingkat
kualitas yang lebih rendah akan sepenuhnya diganti. Proses ini dalam bidang ekonomi
disebut sebagai proses creative destruction. Akan tetapi, sebelum dilakukan substitusi
produksi dengan tingkat kualitas yang lebih tinggi pada produk antara, sesuai dengan
asumsi nomor delapan tersebut dimonopoli hasil penemuan atau inovasi oleh penemu dan
diberikan kepada sektor produksi akhir.
Misalkan adalah stok sumber daya pada saat t,
� adalah tingkat keterbaruan dari sumber daya. Jika diasumsikan bahwa ba-
nyaknya stok sumber daya hanya dipengaruhi oleh tingkat keterbaruan dan banyaknya sum-
ber daya yang digunakan, maka persamaan dinamis dari stok sumber daya pada saat t
adalah
= � −
.
3.3 Seperti yang sudah disebutkan sebelumnya,
dalam karya ilmiah ini diasumsikan bahwa output yang dihasilkan seluruhnya digunakan
untuk konsumsi. Misalkan adalah konsumsi pada saat t, maka
= . Sementara itu,
untuk mengukur tingkat kepuasan dari konsumen digunakan fungsi utilitas
. Agar perekonomian berada dalam jalur
pertumbuhan ekonomi yang berimbang, formulasi fungsi utilitas yang digunakan
adalah
=
1 −�
− 1 1
− � ,
� 0 di mana fungsi
diasumsikan sebagai fungsi yang konkaf sempurna yang memenuhi
′ 0 dan 0. Parameter � dalam fungsi ini merepresentasikan elastisitas
utilitas marjinal, yaitu persentase perubahan utilitas total per satu persen perubahan jumlah
komoditi yang dikonsumsi. Parameter 1
� adalah elastisitas substitusi antarwaktu yang
menentukan seberapa mudah individu dalam menukarkan suatu konsumsi dengan konsumsi
lainnya dalam periode waktu yang berbeda. Semakin besar nilai
1 � maka konsumen akan
semakin mudah menukarkan suatu konsumsi dengan konsumsi lainnya. Hal ini dikarenakan
nilai 1
� yang besar diperoleh pada saat nilai � yang kecil yang berarti utilitas tambahan
yang diperoleh dari menambah konsumsi dari komoditi tersebut kecil, sehingga konsumen
cenderung lebih mudah untuk menukarkan konsumsi ke komoditi lainnya.
Misal diasumsikan semua individu memi- liki batas waktu yang tak terbatas
∈ [0, ∞ dan tingkat preferensi waktu tingkat diskon
yang sama dan bernilai konstan � 0, maka
fungsi utilitasnya dapat dituliskan dalam bentuk
=
∞ −�
. Tujuan akhir dari suatu kebijakan adalah
untuk memaksimumkan utilitas setiap anggota rumah tangga. Dengan memilih variabel kon-
trol dan
, serta mensubstitusi tingkat konsumsi pada saat
dengan fungsi produksi
, maka diperoleh rumusan untuk memaksimumkan utilitas sebagai berikut:
max
1 1
−� ∞
1 −
1 −
1 −�
− 1
−�
3.4
dengan batasan: = − 1
= � − .
3.2 Kondisi Optimal Steady State
Berdasarkan teori pertumbuhan ekonomi modern, sebagian besar pertumbuhan ekonomi
suatu negara bersifat steady state dalam jangka waktu yang lama yaitu dengan laju
pertumbuhan untuk setiap variabelnya bernilai konstan. Kondisi steady state pada pertum-
buhan ekonomi suatu negara juga berarti bahwa pertumbuhan ekonomi dari negara ter-
sebut berada dalam keadaan yang stabil atau jika terjadi perubahan, perubahan tersebut
dalam satu arah dan terus seimbang dengan perubahan lain. Sehingga, untuk menjaga agar
perekonomian dalam keadaan stabil maka pertumbuhan ekonominya diharapkan dalam
kondisi ini. Untuk mendapatkan tingkat utilitas yang maksimum maka kondisi steady
state ini harus dalam keadaan optimal yaitu dengan menentukan alokasi tenaga kerja yang
optimal sehingga laju pertumbuhan steady state dari semua variabelnya juga akan
optimal. Oleh karena itu, subbab ini akan difokuskan untuk menentukan alokasi optimal
tenaga kerja dan laju pertumbuhan steady state yang optimal untuk setiap variabel yang
ada dalam model.
Rumusan model yang diperoleh pada subbab sebelumnya yaitu persamaan 3.4
merupakan masalah kontrol optimum dengan
variabel state dan , dan variabel kontrol
dan . Dalam menentukan alokasi optimal
tenaga kerja, kita harus menyelesaikan masa- lah ini dengan menggunakan syarat perlu orde
pertama yang dikenal sebagai prinsip maksi- mum Pontryagin Teorema 2. Berdasarkan
subbab 2.6, current-value Hamiltonian dari masalah ini dapat dituliskan dalam bentuk
= 1
1 − �
1 −�
1 −
1 −� 1− 1−�
−1 +
1
− 1 +
2
� − , dengan:
1
= shadow price dari perkembangan teknologi
2
= shadow price dari sumber daya. Syarat perlu untuk solusi optimal adalah
= −
1 −�
1 −
1−� −1 1− 1−�
+
1
− 1 = 0, 3.5
= 1 −
1 −� 1− 1−� −1
−
2
= 0, 3.6
1
= �
1
−
1
= �
1
−
−�
1 −
1−� 1− 1−�
−
1
− 1 , 3.7
2
= �
2
− =
�
2
− �
2
. 3.8 Dari persamaan 3.5 dan 3.6 di atas dipero-
leh:
1
=
1 −�
1 −
1−� −1 1− 1−�
− 1 =
−�
1 −
1−� −1 1− 1−�
− 1 ,
3.9
2
= 1 −
1−� 1− 1−� −1
. 3.10 Misalnya didefinisikan bahwa
adalah laju pertumbuhan dari variabel p sehingga
= ,
maka dengan menggunakan persamaan 3.7 dan 3.8 diperoleh
1
= � −
− 1 +
− 1 1 − ,
3.11
2
= � − �. 3.12
lihat Lampiran 3 Untuk menentukan nilai
, diperlukan nilai
1
dan
2
dalam bentuk yang berbeda dengan persamaan 3.11 dan 3.12. Jika
diketahui = − 1
sehingga =
= − 1 , maka dengan terlebih
dahulu menentukan
1
dan
2
dari persamaan 3.9 dan 3.10 diperoleh
1
= −� + 1 − 1 − �
= −� − 1 + 1 − 1 − � ,
3.13 lihat Lampiran 4
2
= 1 − � + 1 − 1 − � − 1
= 1 − � − 1 − + � − � .
3.14 lihat Lampiran 5
Selanjutnya, dari persamaan 3.11 sampai 3.14 didapatkan:
� − − 1
+ − 1 1 −
= −� + 1 − 1 − � ,
3.15 � − � − 1 − � − 1
= − + � − � . 3.16
Dari persamaan 3.15 dan 3.16 di atas, diperoleh solusi yaitu alokasi tenaga kerja
untuk sektor RD
= � 1 − � − � 1 − 1 − �
− 1 + 1 − ,
3.17 dan laju pertumbuhan penggunaan sumber
daya
= 1
� − 1 1 − � − � + � 1 − + � .
3.18
lihat Lampiran 6 Dan dari persamaan 3.17, 3.18,
= =
+ 1 − dan
= − 1 dapat
diperoleh laju pertumbuhan teknologi =
1 �
� 1 − 1 − � − � + − 1 + � − � , 3.19
dan laju pertumbuhan output =
= 1
� � 1 − + − 1 − � .
3.20 lihat Lampiran 7
Dari persamaan 3.18-3.20, tampak bahwa nilai
,
dan bernilai konstan sehingga
dapat dipastikan bahwa pertumbuhan ekonomi pada saat tersebut berada dalam kondisi
steady state. Sementara itu, dari persamaan
3.3 diperoleh =
� − , karena bernilai konstan pada saat pertumbuhan dalam
kondisi steady state dan � adalah sebuah
konstanta, maka nilai juga konstan.
Dengan demikian, karena banyaknya stok sumber daya
diasumsikan hanya di- pengaruhi
tingkat keterbaruan
� dan banyaknya penggunaan sumber daya
, maka laju pertumbuhan stok sumber daya
nilainya sama dengan laju pertumbuhan penggunaan sumber daya
yaitu =
=
1 �
− 1 1 − � − � + �1− + �. 3.21
Yang et al. 2006 Syarat batas atau syarat transversalitas
yang harus dipenuhi agar laju pertumbuhan yang
diperoleh optimal
adalah lim
→∞ 1 −�
= 0 dan lim
→∞ 2 −�
= 0. Kondisi transversalitas pertama yaitu
lim
→∞ 1 −�
= 0 mengakibatkan � −
− 1 +
− 1 1 − +
− 1 − � = 0, dan
1. Dari syarat tersebut diperoleh: � 1 −
� − 1 + � 1 −
. 3.22 lihat Lampiran 8
Seperti pada kondisi transversalitas yang pertama, kondisi transversalitas yang kedua
adalah lim
→∞ 2 −�
= 0 mengakibatkan
� − � + 1
� − 1 1 − � − �
+ � 1 − + � − � = 0,
dan − � 0 dengan ketentuan kondisi
transversalitas pertama persamaan 3.22 masih berlaku. Sementara itu, untuk menjaga
agar 0 diperlukan
� 1
− � − �
− 1 − � − 1
. 3.23
lihat Lampiran 9 Berdasarkan persamaan 3.22 dan 3.23,
jika dipilih � − 1 + � 1 − , maka
1 −
�−� −1 −�
− 1 0 1 −
� −1 +� 1−
.
Jika dan hanya jika � 1 −
� −1 +� 1−
, diperoleh
1, yang berarti terdapat grafik untuk pertumbuhan steady state yang
optimal. kemudian, untuk nilai � tersebut,
diperoleh 0, yaitu laju pertumbuhan
ekonomi optimalnya adalah positif sepanjang grafik laju pertumbuhan optimal steady state
Proposisi 1, lihat Lampiran 10. Sementara itu, jika untuk nilai
� − 1 + � 1 − ,
maka
1 −
� −1 +� 1−
1 −
�−� −1 −�
− 1
. Jika dan hanya jika �
1 −
�−� −1 −�
− 1 , maka diperoleh 1, yang berarti terdapat grafik untuk
pertumbuhan steady state yang optimal. Kemudian, dengan nilai
� tersebut, diperoleh nilai
0, yang berarti laju pertumbuhan optimal ekonomi adalah negatif sepanjang
grafik laju pertumbuhan optimal steady state Proposisi 2, lihat Lampiran 11.
Berdasarkan Proposisi 1 dan Proposisi 2 di atas, dengan memilih
� − 1 + � 1 − maka syarat transversalitas pertama
dan kedua dapat dipenuhi. Berdasarkan asumsi awal bahwa fungsi utilitas yang
digunakan adalah fungsi konkaf sempurna dan memenuhi
lim
→∞ 1 −�
= 0 dan
lim
→∞ 2 −�
= 0 lihat subbab 2.7 pada landasan teori, maka syarat cukup agar
solusi optimal juga dapat dipenuhi. Jadi, nilai ,
, ,
dan yang diperoleh adalah
nilai yang optimal untuk menjaga agar perekonomian berada dalam kondisi steady
state yang optimal.
3.3 Analisis Pengaruh Parameter
