commit to user
17
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Grafik Pengendali EWMA
Grafik pengendali EWMA sangat efektif untuk pergeseran proses yang kecil, karena grafik pengendali EWMA menggunakan informasi dari sampel sebelumnya.
Untuk karakteristik kualitas yang berupa variabel, biasanya menggunakan dua grafik pengendali
ĆĖōB, yaitu grafik EWMA untuk memonitor proses mean dan grafik EWMA memonitor proses variansi.
4.1.1 Grafik Pengendali EWMA untuk Memonitor Proses Mean
Menurut Montgomery 2005 statistik EWMA dari didefinisikan sebagai
berikut â
= + 1
− â
, = 1,2, … 4.1
dengan â =
: observasi pada waktu ke- i : konstanta smoothing, 0
≤ 1. Untuk menunjukkan bahwa
â adalah rata-rata tertimbang dari semua rata-rata
sampel sebelumnya, dilakukan dengan mengganti â
dengan â
pada persamaan 4.1, sehingga didapat
â =
+ 1 − â
. Persamaan 4.1 dapat ditulis kembali sebagai berikut
â =
+ 1
− + 1
− â
. Secara umum, dengan mengganti berulang-ulang
â dengan orde sebelumnya
diperoleh â
= 1
− + 1
− â .
Jika adalah variabel independen dengan variansi
Ƽ , maka variansi â adalah
17
commit to user
18
râ =
∑ 1
− r
+ 1 −
râ . 4.2 Karena nilai tertimbang
1 −
menurun secara geometri dengan umur rata-rata sampel, maka
1 − λ
= 1
− 1 − 1
− 1 − =
1 − 1 −
dan r â = 0, maka persamaan 4.2 menjadi
râ =
1 −
Ƽ
t
+ 0 =
Ƽ 1
− 1 − ,
dan diperoleh deviasi standar dari â
adalah Ƽ
t
= Ƽ
1 − 1 −
. 4.3 Dari persamaan 2.1 dan 4.3 interval konfidensi untuk grafik pengendali EWMA
− ±Ƽ 2
− 1
− 1 − ≤
≤ +
±Ƽ 2
− 1
− 1 − ,
sehingga diperoleh batas pengendali grafik EWMA untuk proses mean 7.B =
+ ±Ƽ
2 −
1 − 1 −
= 7.7 =
− ±Ƽ 2
− 1
− 1 − dengan
adalah rata-rata dari variabel random yang berdistribusi normal, dan L adalah lebar batas pengendali.
Jika naik, Ƽ
t
naik menuju nilai limit
commit to user
19
lim
→
Ƽ
t
= lim
→
Ƽ 2
− 1
− 1 − =
Ƽ .
Sehingga diperoleh batas pengendali sebagai berikut 7.B =
+ ±Ƽ
2 −
=
7.7 = − ±Ƽ
2 −
4.1.2 Grafik Pengendali EWMA untuk Memonitor Proses Variansi
Mac. Gregor dan Haris 1993 mendiskusikan dasar statistik grafik pengendali EWMA untuk memonitor proses variansi. Misal
berdistribusi normal dengan mean dan variansi
Ƽ , exponentially weighted mean square error EWMS, didefinisikan sebagai berikut
= −
+ 1 −
, = 1,2, … dengan
= 0 : observasi ke i
: konstanta smoothing 0 ≤ ≤ 1.
Untuk nilai yang besar maka Ć
= Ƽ , hal ini dapat ditunjukkan dengan
mensubtitusi − 1 untuk i pada persamaan 2.1
= −
+ 1 −
, sehingga persamaan 2.1 dapat ditulis kembali sebagai berikut
= −
+ 1 −
− + 1
− .
Selanjutnya dengan mengganti = 2,3, … diperoleh =
∑ 1
− −
+ 1 −
.
commit to user
20
Karena nilai ∑
1 −
+ 1 −
= 1, maka Ć
= ∑
− =
Ƽ . 4.4 Bila observasi berdistribusi normal dan independen maka
t
akan mendekati distribusi Chi- kuadrat dengan derajad bebas
= 2 −
. Jika Ƽ adalah nilai
target dari proses variansi, dapat digambarkan pada grafik pengendali. Menurut
Eyvazian et al. 2008 percentil ke 1001 − dari distribusi Chi- kuadrat dengan
derajad bebas dapat digunakan untuk membentuk batas pengendali. Dari persamaan 2.2 dan 4.4 maka diperoleh interval kepercayaan 100 1
− untuk grafik
EWMA adalah Ƽ
,
≤ Ƽ ≤ Ƽ
,
. Sehingga diperoleh batas pengendali untuk grafik EWMA untuk proses variansi
7.B = Ƽ
,
7.7 = Ƽ
,
.
4.2 Grafik pengendali
Kategori