ESTIMASI PARAMETER BATAS PENGENDALI EWMA X R

(1)

commit to user

ESTIMASI PARAMETER BATAS PENGENDALI

EWMA

X -R

Oleh :

ERNITA DWI HASTUTI M0106040

SKRIPSI

Ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA 2011

(2)

commit to user

(3)

commit to user

iii MOTO

“

Tuhan pasti kan menunjukkan kebesaran dan kuasaNya

bagi hambaNya yang sabar dan tak kenal putus asa”

(D’Masiv)

(4)

commit to user

PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk

Orang tuaku tercinta atas doa, kasih sayang, kesabaran, semangat dan pengorbanan yang diberikan.

(5)

commit to user

v ABSTRAK

Ernita Dwi Hastuti, 2011. ESTIMASI PARAMETER BATAS PENGENDALI EWMA & − . Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.

Grafik pengendali Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) ialah sebuah grafik yang digunakan untuk mengendalikan proses secara statistik dan sebagai alat untuk mempertimbangkan apakah proses terkendali secara statistik atau tidak. Grafik pengendali EWMA sangat efektif untuk pergeseran proses yang kecil karena grafik EWMA menggunakan informasi dari sampel sebelumnya. Dalam suatu proses produksi tidak ada dua unit produk yang identik, sehingga adanya variansi tidak dapat dihindarkan. Oleh karena itu dibutuhkan dua grafik pengendali EWMA, yaitu grafik pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan grafik pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran proses variansi.

Dalam penelitian ini dikaji grafik pengendali EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah dan grafik pengendali EWMA & − untuk memonitor proses mean dan variansi secara bersama-sama. Grafik pengendali EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah dapat dibuat dengan mencari statistik yang digambarkan pada grafik pengendali. Sedangkan statistik yang digambarkan pada grafik pengendali EWMA & − merupakan maksimum nilai mutlak dari statistik untuk mean dan variansi. Untuk memperjelas kajian teori digunakan contoh kasus data netto kemasan air minum Makhoa 240 ml. Hasil penelitian menunjukkan bahwa grafik pengendali EWMA untuk memonitor proses mean dan variansi secara bersama-sama dan secara terpisah memberikan hasil yang sama yaitu prosesnya terkendali namun batas pengendalinya yang berbeda. Namun grafik pengendali EWMA & − akan lebih efisien bila dibandingkan dengan grafik pengendali EWMA secara terpisah, karena grafik pengendali EWMA & − memiliki lebar batas pengendali yang lebih sempit.

(6)

commit to user

vi ABSTRACT

Ernita Dwi Hastuti, 2011. ESTIMATION OF PARAMETER EWMA & − CONTROL LIMITS. Mathematics and Natural Sciences Faculty, Sebelas Maret University.

Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) control chart is a chart which is used for statistical processing control and as a tool to consider whether the process is controlled statistically or not. EWMA control chart is very effective for a small shift because EWMA chart using information from previous samples. There is no identical of two units product in the production process, so the variance is inevitable. So that we need two EWMA control chart, i.e. EWMA control chart to detect the shift of mean process and EWMA control chart to detect the shift of variance process.

In this study we assessed EWMA control charts for mean and variance separately and EWMA & − control charts to monitor the process mean and variance simultaneously. We can made EWMA control chart for mean and variance separately by finding the statistics that plotted on control chart. Otherwise, the statistics that plotted on EWMA & − is the maximum absolute value of the statistics for the mean and variance. To clarify the theoretical studies we used the example of the net data packaging of 240 ml Makhoa drinking water. The result shows that the EWMA control chart for monitoring process of mean and variance jointly and separately gave similar results that the process is in control but the control limits are different. However, EWMA & − control chart would be more efficient than EWMA control chart separately, because the EWMA& − control chart has a widercontrol limits.

(7)

commit to user

vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur senantiasa penulis panjatkan ke hadirat Alláh SWT. atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Dra. Sri Sulistijowati H, M.Si dan Drs. Muslich, M.Si selaku Pembimbing I dan Pembimbing II atas kesediaan dan kesabarannya dalam membimbing dan memotivasi penulis dalam penyusunan skripsi ini.

2. Ibu Wiwik selaku manajer Makhoa yang telah memberikan ijin kepada penulis untuk melakukan penelitian dan pengambilan data.

3. Semua pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca pada umumnya, dan bagi penulis pada khususnya.

Surakarta, April 2011

(8)

commit to user

viii DAFTAR ISI

JUDUL ... i

PENGESAHAN ... ii

MOTO ... iii

PERSEMBAHAN ... iv

ABSTRAK ... v

ABSTRACT ... vi

KATA PENGANTAR ... vii

DAFTAR ISI ... viii

DAFTAR TABEL ... x

DAFTAR GAMBAR ... xi

DAFTAR NOTASI ... xii

BAB I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Perumusan Masalah ... 3

1.3 Batasan Masalah ... 3

1.4 Tujuan Penelitian ... 3

1.5 Manfaat Penelitian ... 3

BAB II. LANDASAN TEORI 2.1 Tinjauan Pustaka ... 4

2.1.1 Variabel random ... 5

2.1.2 Interval kepercayaan ... 5

2.1.3 Interval kepercayaan untuk mean ... 6

2.1.4 Interval kepercayaan untuk variansi ... 6

2.1.5 Pengendalian kualitas statistik ... 7

2.1.6 Pengendalian proses statistik ... 7

2.1.7 Grafik pengendali ... 8

(9)

commit to user

2.1.9 Grafik pengendali Shewhart ... 9

2.1.10 Grafik pengendali X -R ... 9

2.1.11 Distribusi normal ... 12

2.1.12 Distribusi uniform ... 12

2.1.13 Uji kenormalan ... 12

2.1.14 Uji independensi ... 13

2.2 Kerangka Pemikiran ... 14

BAB III. METODE PENELITIAN BAB IV. PEMBAHASAN 4.1 Grafik pengendali EWMA ... 17

4.1.1 Grafik pengendali EWMA untuk proses mean ... 17

4.1.2 Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi ... 19

4.2 Grafik pengendali EWMA X -R ... 20

4.2.1 ARL (Average Run Length) ... 24

4.2.2 Merancang grafik pengendali EWMA X -R ... 25

4.3 Contoh kasus ... 26

4.3.1 Grafik pengendali EWMA untuk proses mean ... 28

4.3.2 Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi ... 29

4.3.2 Grafik pengendali EWMA X -R_... ₂₉

BAB V. PENUTUP 5.1Kesimpulan ... 33

5.2Saran ... 34

DAFTAR PUSTAKA ... 35

(10)

commit to user

DAFTAR TABEL

Tabel 1

Tabel 2 Tabel 3

Data sampel netto kemasan air minum Makhoa 240 ml dengan ukuran sampel (n = 5) ………... Nilai CDF tiap sampel ………... Nilai A_i,B_i,Z_i dan W_i………...

27 30 31

(11)

commit to user

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1 Gambar 2 Gambar 3 Gambar 4 Gambar 5 Gambar 6

Grafik pengendali ………... Plot probabilitas normal data netto air minum ……… Plot independensi data netto air minum ……….. Grafik pengendali EWMA untuk proses mean ………. Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi ………. Grafik pengendali EWMA X -R ………...

9 26 28 28 29 32

(12)

commit to user

xii

DAFTAR NOTASI

X : _{Rata- rata populasi} R : Range/ rentang sampel R : Rentang rata-rata S : Ruang sampel x : Observasi m : Mean

s : Variansi

s

: Standar deviasi

sˆ : Taksiran untuk standar deviasi W : Rentang relatif

d : Mean dari W

d : standar deviasi dari W

n : Ukuran sampel m : Banyaknya sampel

l

: Konstanta smoothing

v : Derajad bebas distribusi Chi-kuadrat

d

: Pergeseran proses mean b : Pergeseran proses variansi

Z : Statistik EWMA untuk proses mean

R : Range/ rentang dari distribusi normal

S : Statistik EWMA untuk proses variansi i

(13)

commit to user

BAB I PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang Masalah

Kualitas suatu produk mempunyai hubungan yang sangat erat dengan kepuasan pelanggan. Untuk mempertahankan kualitas, secara kontinu proses produksi harus dimonitor dan dikendalikan. Kualitas suatu produk dapat diamati dari beberapa karakteristik dengan suatu alat yang wajib dimiliki oleh suatu perusahaan untuk meningkatkan kualitas produksinya. Salah satu alat yang digunakan untuk meningkatkan kualitas produksi adalah grafik pengendali. Grafik pengendali merupakan metode statistika yang digunakan untuk mengontrol agar produk yang dihasilkan sesuai dengan target dan memiliki variabilitas tidak terlalu besar.

Menurut Ariani (2005) statistik merupakan metode pengambilan keputusan tentang suatu proses dalam populasi berdasarkan pada analisis informasi yang terkandung di dalam sampel dari populasi tersebut. Metode statistika mempunyai peranan yang sangat penting dalam pengendalian kualitas. Metode statistika digunakan untuk menentukan cara-cara pengambilan sampel produk, menguji serta mengevaluasi informasi di dalam data untuk mengendalikan dan meningkatkan kualitas produksi.

Karakteristik kualitas yang berupa variabel, biasanya digunakan dua grafik pengendali, yaitu grafik Ú, untuk memonitor proses mean dan grafik pengendali R atau grafik pengendali S, untuk memonitor proses variansi. Pada awalnya banyak dikembangkan grafik pengendali untuk memonitor proses mean dan proses variansi secara terpisah, yaitu grafik pengendali Shewart, Cumulative Sum (CUSUM), dan Exponentially Weighted Moving Average (EWMA), akan tetapi menurut Costa dan Rahim (2006) jika menggunakan dua grafik pengendali secara terpisah kurang efisien dalam memonitor proses, sehingga dikembangkan pula grafik pengendali tunggal untuk memonitor proses mean dan proses variansi

(14)

commit to user

secara bersama-sama. Menurut Montgomery (2005) grafik pengendali tersebut diklasifikasikan sebagai grafik pengendali tipe Shewart, tipe CUSUM dan tipe EWMA. Grafik pengendali tipe Shewart hanya menggunakan informasi sampel yang terakhir sehingga kurang sensitif terhadap pergeseran proses yang kecil, sedangkan grafik pengendali tipe CUSUM dan tipe EWMA lebih sensitif terhadap pergeseran proses yang kecil, karena menggunakan informasi dari beberapa sampel.

Grafik pengendali tunggal dibuat dengan menggabungkan grafik pengendali Ú dan grafik pengendali R. Dalam membentuk grafik pengendali Ú dan grafik pengendali R, nilai mean dan nilai variansi diestimasi dengan mean sampel dan variansi sampel. Menurut Montgomery (2005) untuk ukuran sampel kecil, misal ≤ 10 menghitung nilai variansi dengan range sampel akan lebih efisien dibandingkan dengan standar deviasi, sehingga nilai variansi diestimasi dengan range sampel.

Dalam skripsi ini penulis tertarik untuk mengkaji grafik pengendali EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah dan mengkaji ulang penelitian yang telah dilakukan oleh Khoo et al. (2009) khususnya merancang grafik pengendali EWMA Ú − untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan variansi secara bersama-sama dengan menggunakan mean dan range sampel. Dalam merancang grafik pengendali EWMA Ú − dilakukan dengan menyusun grafik pengendali untuk mean dan variansi secara terpisah terlebih dahulu kemudian menyusun grafik pengendali dengan menggabungkan dua grafik pengendali sekaligus. Selanjutnya untuk memperjelas kajian akan diterapkan pada data kemasan air minum Makhoa 240 ml karakteristik kualitas netto.

(15)

commit to user

1.2Perumusan Masalah

Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana merancang grafik pengendali EWMA dengan mengestimasi parameter batas pengendali

Ú − secara terpisah dan bersama-sama untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan variansi.

1.3Batasan Masalah

Pada penelitian ini, batasan masalah yang digunakan adalah penggunaaan tabel nilai , dan hasil penelitian Khoo et al. (2009).

1.4Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah mengkaji ulang estimasi parameter batas pengendali Ú − secara terpisah dan bersama-sama dalam pembuatan grafik pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran meandan variansi.

1.5Manfaat

Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah memberikan informasi ilmiah tentang penerapan grafik pengendali EWMA untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan variansi baik secara terpisah maupun bersama-sama.

(16)

commit to user

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada landasan teori ini akan dibahas dua subbab, yaitu tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Tinjauan pustaka berupa hasil-hasil penelitian yang telah dilakukan peneliti terdahulu dan ada hubungannya dengan penelitian yang akan dilakukan, selain itu juga diberikan teori-teori yang melandasi dalam kajian di pembahasan.

2.1 Tinjauan Pustaka

Grafik pengendali adalah alat yang digunakan untuk mengendalikan proses secara statistik dan untuk mempertimbangkan apakah proses terkendali statistik atau tidak. Grafik pengendali Shewhart merupakan grafik pengendali yang pertama kali dikembangkan, grafik ini diperkenalkan oleh W. A Shewhart (1931). Grafik pengendali Shewhart kurang sensitif terhadap pergeseran proses yang kecil. Hastuti (2002) dalam skripsinya yang berjudul “ Grafik pengendali Shewhart dan EWMA terhadap data berkorelasi “ membahas bahwa grafik pengendali EWMA lebih sensitif terhadap pergeseran proses yang kecil bila dibandingkan dengan grafik pengendali Shewhart.

Karakteristik kualitas yang berupa variabel biasanya digunakan dua grafik pengendali EWMA, yaitu untuk memonitor proses mean dan variansi. Menurut Reynold dan Staumbos (2004) serta Costa dan Rahim (2006) grafik pengendali untuk mean dan variansi secara terpisah kurang efisien dalam memonitor pergeseran proses, karena harus membuat dua grafik pengendali untuk memonitor proses mean dan variansi, sehingga dikembangkan grafik pengendali tunggal untuk memonitor proses mean dan variansi secara bersama-sama. Chen et al. (2001) mengembangkan grafik pengendali MaxEWMA yang merupakan grafik pengendali tunggal untuk memonitor proses mean dan variansi dalam satu grafik pengendali. Grafik pengendali MaxEWMA sangat efektif untuk mendeteksi pergeseran proses mean dan variansi. Khoo et al. (2009) merancang grafik pengendali «Ǵanö − untuk memonitor

(17)

commit to user

proses mean dan variansi secara bersama-sama. Grafik pengendali «Ǵanö − merupakan pengembangan dari grafik pengendali MaxEWMA, tetapi grafik pengendali «Ǵanö − menggunakan range sampel sedangkan grafik pengendali

MaxEWMA menggunakan variansi sampel.

Untuk mengkaji grafik pengendali «Ǵanö − diperlukan teori-teori yang mendukung sebagai berikut.

2.1.1 Variabel Random

Menurut Bain dan Engelhardt (1995), suatu variabel random, dinotasikan X, jika X merupakan fungsi yang didefinisikan dari seluruh ruang sampel S, yang menghubungkan suatu bilangan asli ö = dengan setiap hasil yang mungkin di S. Variabel random dibedakan menjadi dua, yaitu variabel random diskrit dan variabel random kontinu.

1) Variabel Random Diskrit

Variabel random ö disebut variabel random diskrit jika himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel tersebut adalah himpunan yang terhitung yaitu

n X X

X1, 2,..., . Fungsi

f

( )

x

=

P

(

X

=

x

)

dengan X1,X2,...,Xn disebut fungsi kepadatan peluang (Bain dan Engelhardt, 1995).

2) Variabel Random Kontinu

Menurut Bain dan Engelhardt (1995), suatu variabel random X dikatakan variabel random kontinu jika terdapat fungsi ( ) sebagai fungsi kepadatan peluangdari X dan disajikan sebagai

= ∞_∞ é .

2.1.2 Interval Kepercayaan

Menurut Montgomery (2005) estimasi interval untuk parameter adalah interval antara dua statistik yang dengan probabilitas tertentu memuat nilai yang sebenarnya. Misalkan, untuk mengestimasi interval nilai mean, maka harus dicari statistik dan sebagai berikut

(18)

commit to user

≤ ¶ ≤ = 1− .

Interval ≤ ¶ ≤ disebut interval kepercayaan 100 1− %, dan adalah limit kepercayaan bawah dan atas, dan 1− adalah peluang yang sebenarnya. Interpretasi dari interval konfidensi adalah apabila banyak kali interval semacam itu dibentuk masing-masing hasil dari suatu sampel random, maka 100 1− % dari interval-interval ini akan memuat nilai sebenarnya dari ¶.

2.1.3 Interval Kepercayaan untuk Mean

Menurut Montgomery (2005) misal ö sampel random dengan observasi. Untuk besar, mean sampel ö mendekati distribusi normal dengan mean ¶ dan standar deviasi

√ . Namun nilai √ ditaksir dengan √ . Sehingga diperoleh interval kepercayaan 100 1− % untuk mean adalah

ö − _√ ≤ ¶ ≤ ö+

√ (2.1)

2.1.4 Interval Kepercayaan untuk Variansi

Menurut Montgomery (2005) Misalkan ö adalah variabel random berdistribusi normal dengan mean ¶ dan variansi yang nilainya tidak diketahui dan variansi sampel dihitung dengan rumus

=∑ ö − ö

− 1 ,

digunakan sebagai penaksir untuk , dan akar positif sebagai penaksir untuk . Untuk menaksir interval kepercayaan untuk digunakan distribusi . Misalkan ö ,ö , … ,ö adalah sampel random dari populasi normal maka variabel = ∑

= dinamakan distribusi dengan derajad bebas − 1 .

Sehingga diperoleh interval kepercayaan 100 1− % untuk variansi adalah ,( )

≤ ≤

,( )

(19)

commit to user

2.1.5 Pengendalian Kualitas Statistik

Menurut Montgomery (2005), ada dua segi umum tentang kualitas yaitu kualitas rancangan dan kualitas kecocokan. Kualitas rancangan adalah istilah teknik yang digunakan untuk variasi yang memang disengaja, sedangkan kualitas kecocokan adalah seberapa baik produk itu sesuai dengan spesifikasi dan kelonggaran yang disyaratkan oleh rancangan itu.

Pengendalian kualitas adalah aktivitas keteknikan dan managemen dan dengan aktivitas itu dapat diukur ciri-ciri produk, membandingkannya dengan spesifikasi atau persyaratan dan mengambil tindakan penyehatan yang sesuai apabila ada perbedaan antara penampilan sebenarnya dan yang standar.

2.1.6 Pengendalian Proses Statistik

Menurut Ariani (2005), pengendalian proses statistik merupakan teknik penyelesaian masalah yang digunakan sebagai pemonitor, pengendali, penganalisis, pengelola dan memperbaiki proses menggunakan metode-metode statistik. Selain karakteristik kualitas, terdapat beberapa sumber yang berpengaruh terhadap hasil produksi, yaitu

1. Bahan baku (raw material) 2. Operator (men)

3. Mesin (machine)

4. Lingkungan (measurement) 5. Metode (method)

Sasaran pengendalian proses statistik adalah mengadakan pengukuran terhadap variasi-variasi atau kesalahan-kesalahan proses. Variasi proses terdiri dari dua penyebab, yaitu penyebab tidak terduga (common cause) dan penyebab terduga (assignable cause). Penyebab tidak terduga merupakan pengaruh kumulatif dari banyak sebab-sebab kecil, seperti kondisi emosional karyawan, penurunan suhu udara dan lain sebagainya. Sedangkan penyebab terduga adalah kesalahan yang berlebihan,

(20)

commit to user

seperti kesalahan operator, penyimpangan dalam penggunaan mesin, bahan baku yang cacat, kesalahan perhitungan dan lain sebagainya.

Menurut Montgomery (2005) untuk memeriksa grafik pengendali dan menyimpulkan bahwa prosesnya tak terkendali apabila dipenuhi satu atau beberapa kriteria berikut

1. Satu atau beberapa titik di luar batas pengendali.

2. Suatu giliran dengan paling sedikit tujuh atau delapan titik, dengan macam dapat dibentuk giliran naik atau turun, giliran di atas atau di bawah garis tengah, atau giliran di atas atau di bawah median.

3. Dua atau tiga titik yang berurutan di luar batas peringatan 2-sigma tetapi masih dalam batas pengendali.

4. Empat atau lima titik yang berurutan di luar batas 1-sigma 5. Pola tak biasa atau tak random dalam data.

6. Satu atau dua titik dekat satu batas peringatan atau pengendali.

2.1.7 Grafik Pengendali

Grafik pengendali adalah metode statistik yang membedakan adanya variasi- variasi penyimpangan yang dipengaruhi oleh sebab tak terduga dan sebab terduga. Penyimpangan yang dipengaruhi sebab terduga biasanya berada di luar batas pengendali, sedangkan penyimpangan yang dipengaruhi oleh sebab tak terduga berada di dalam batas pengendali (Ariani, 2005).

2.1.8 Grafik Pengendali Variabel

Menurut Montgomery (2005), untuk karakteristik kualitas yang dapat dinyatakan dengan angka, misal diameter sekrup dapat diukur dengan mikro meter dan juga berat bubuk coklat dapat ditimbang dengan timbangan mikro. Suatu karakteristik yang mempunyai variasi nilai seperti dimensi, berat atau volume dinamakan variabel. Apabila bekerja dengan karakteristik kualitas variabel sudah merupakan praktek standar untuk mengendalikan nilai mean dan variabilitasnya.

(21)

commit to user

Menurut Montgom garis tengah yang merupa keadaan terkendali. Dua g (BPA) dan batas pengendal

Secara umum model grafik

dengan m_w adalah mean w

Menurut Montgom normal dengan mean m d diketahui. Jika X₁,X₂,...,X

dan diketahui bahwa X b n

X s

s = .

2.1.9 Grafik Pengendali Shewart

omery (2005), bentuk dasar grafik pengendali pakan nilai rata-rata karakteristik kualitas terte a garis mendatar yang lain disebut batas peng

li bawah (BPB). Seperti ditunjukkan pada Gamb

Gambar 1. Grafik pengendali ik pengendali adalah

w k

BPA=m + s

w GT =m

w k

BPB=m - s

w, s_w adalah deviasi standar dan k adalah kons

2.1.10 Grafik Pengendali X dan R

omery (2005), misalkan karakteristik kualitas b dan deviasi standar s, dengan m dans kedu

X sampel berukuran n, maka rata-rata sampel

n X X

X + + + n

= 1 2 ...

berdistribusi normal dengan mean m dan dev

ali terdiri dari tertentu dalam engendali atas

mbar 1.

nstanta.

s berdistribusi eduanya tidak el ini adalah

(22)

commit to user

Karena nilai ¶ dan biasanya tidak diketahui, maka nilai-nilai itu harus ditaksir dari sampel-sampel pendahuluan yang diambil ketika proses itu diduga terkendali. Misalkan tersedia Ư sampel, masing-masing memuat observasi pada karakteristik kualitas itu. Jika ö ,ö , … ,ö adalah rata-rata tiap sampel, maka penaksir terbaik untuk rata-rata proses ¶ adalah mean keseluruhan, yaitu

ö =ö + ö +⋯+ö Ư

dan ö akan dijadikan garis tengah grafik ö itu.

Untuk ukuran sampel kecil, misal ≤ 10 estimasi nilai standar deviasi biasanya menggunakan metode range. Misal ö ,ö _,….,ö adalah sampel random dari n observasi yang berdistribusi normal dangan mean ¶ dan variansi , range sampel didefinisikan sebagai berikut

= max − min =ö_i − ö dengan ö_i : nilai sampel terbesar

ö : nilai sampel terkecil.

Terdapat hubungan antara rentang suatu sampel dari distribusi normal dan deviasi standar distribusi itu. Misal didefinisikan variabel random Ǵ= yang dinamakan rentang relatif. Parameter distribusi Ǵ adalah fungsi ukuran sampel . Menurut Tippett (1925) mean Ǵ bernilai é dari variabel random berdistribusi normal, sehingga penaksir untuk adalah =

é . Nilai é untuk berbagai ukuran sampel diberikan dalam lampiran.

Misalkan , , … , adalah rentang Ư sampel itu. Rentang rata-ratanya adalah

= + +⋯+

Ư dan taksiran untuk dihitung dengan

(23)

commit to user

= é

Jika digunakan ö sebagai penaksir untuk ¶ dan _é sebagai penaksir untuk , maka batas pengendali grafik ö dengan batas 3-sigma adalah

4 n= ö −

√ . ð2 = ö

4 4= ö −

√ .

Diketahui bahwa rentang sampel berhubungan dengan deviasi standar proses. Oleh karena itu, variabilitas proses dapat dikendalikan dengan menggambarkan nilai-nilai dari sampel-sampel yang berurutan pada grafik pengendali. Grafik pengendali ini dinamakan grafik . Batas pengendali grafik dapat ditentukan dengan mencari garis tengahnya dan standar deviasi . Dengan menganggap bahwa karakteristik kualitas berdistribusi normal, estimasi untuk dapat diperoleh dari distribusi rentang relatif Ǵ = . Menurut Tippett (1925) deviasi standar Ǵ bernilai é yang merupakan fungsi yang diketahui. Nilai é berbagai ukuran sampel diberikan dalam lampiran.

Jadi karena

=Ǵ maka deviasi standar adalah

=é .

Karena tidak diketahui, maka dapat ditaksir dengan =é .

(24)

commit to user

4 n= + 3 = + 3é é

ð2 =

4 4= − 3 = − 3é .

2.1.11 Distribusi Normal

Distribusi normal atau disebut juga distribusi Gaussian, adalah salah satu distribusi penting dalam aplikasi statistik. Variabel random ö berdistribusi normal dengan mean¶ dan variansi dapat dituliskan ö~ (¶, ) dengan fungsi densitas probabilitas ( Montgomery, 2005).

= 1

√2 ,

dengan 0≤ ö ≤ 1 0≤ ¶ ≤ 1 ≥ 0

2.1.12 Distribusi Uniform

Bain dan Engelhardt (1995) memberikan definisi bahwa variabel random X dikatakan mempunyai distribusi Uniform pada interval , jika mempunyai fungsi densitas probabilitas

ö; , = 1

−

untuk <ö < dan 0 untuk nilai ö yang lain. Variabel random yang berdistribusi Uniform dinotasikan ö~ ( , ).

2.1.13 Uji Kenormalan

Menurut Montgomery (1992) untuk memeriksa kenormalan data dapat dilakukan dengan melihat plot antara data dengan nilai probabilitas kumulatifnya. Untuk membentuk plot normal dapat dilakukan dengan menggambarkan kenaikan orde data dengan nilai probabilitas kumulatif = − , dengan = 1,2, …

(25)

commit to user

dan adalah banyaknya observasi. Jika plot yang dihasilkan terletak pada pita kenormalan atau mendekati garis lurus maka dapat dikatakan asumsi kenormalan sudah dipenuhi. Uji kenormalan dapat juga dilakukan melalui uji Kolmogorof-Smirnov yang dapat dilihat dari nilai p-value dengan langkah-langkah sebagai berikut

a) Membuat hipotesis

:data berdistribusi normal :data tidak berdistribusi normal b) Menentukan tingkat signifikasi % c) Menentukan statistik uji

=Ư ö − − 1, − ö

dengan adalah fungsi distribusi kumulatif observasi.

d) Membuat daerah kritis yaitu menolak jika p-value lebih kecil dari tingkat signifikansi .

e) Mengambil kesimpulan

2.1.14 Uji Independensi

Menurut Montgomery (1992) data dapat dikatakan independen apabila nilai data suatu pengamatan tidak dipengaruhi data dari pengamatan lain. Untuk menguji keindependenan suatu data dapat dilihat dari plot antara data dan order observasi. Bila data berpola acak maka data tersebut bersifat independen.

2.2 Kerangka Pemikiran

Untuk karakteristik kualitas produk yang berupa variabel biasanya digunakan dua grafik pengendali EWMA, satu grafik pengendali EWMA untuk memonitor proses mean dan yang lain grafik pengendali EWMA untuk memonitor variansi. Grafik pengendali EWMA memerlukan asumsi bahwa pengukuran karakteristik kualitas harus memiliki distribusi normal dan independen. Dalam membentuk grafik pengendali EWMA secara terpisah maupun secara bersama-sama, pertama-tama mengestimasi parameter ¶ dan , kemudian dalam membentuk grafik

(26)

commit to user

pengendali EWMA untuk proses mean dilakukan dengan menentukan statistik EWMA untuk proses mean dengan terlebih dahulu menentukan nilai lalu menggambarkan statistik tersebut pada grafik pengendali. Untuk membentuk grafik pengendali EWMA untuk proses variansi dilakukan dengan menentukan statistik EWMA untuk variansi dengan terlebih dahulu menentukan nilai lalu menggambarkan statistik tersebut pada grafik pengendali. Untuk menggabungkan dua grafik pengendali untuk proses mean dan variansi secara bersama-sama diperlukan transformasi untuk setiap sampel. Transformasi setiap sampel digunakan untuk menentukan statistik EWMA untuk mean dan variansi. Kemudian menentukan statistik untuk EWMA ö − yang merupakan maksimum nilai mutlak dari statistik EWMA untuk mean dan variansi, kemudian menggambarkan statistik tersebut dalam batas pengendali.

(27)

commit to user

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu dengan mempelajari berbagai referensi dari buku dan jurnal-jurnal yang bersesuaian dengan tujuan penelitian.

Adapun langkah- langkah yang ditempuh dalam penelitian ini adalah 1. Mengkaji penaksiran parameter ¾ dan

2. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMA untuk proses mean dengan langkah sebagai berikut

a. Menentukan nilai .

b. Menentukan statistik EWMA untuk proses mean. c. Menentukan batas pengendali.

d. Menggambarkan statistik EWMA pada batas pengendali

3. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMA untuk proses variansi dengan langkah sebagai berikut

a. Menentukan nilai .

b. Menentukan statistik EWMA untuk proses variansi. c. Menentukan batas pengendali.

d. Menggambarkan statistik EWMA pada batas pengendali.

4. Mengkaji pembuatan grafik pengendali EWMAº − untuk memonitor proses mean dan variansi secara bersama-sama, dengan langkah sebagai berikut

a. Memilih nilai , dan L yang dapat ditentukan berdasar penelitian Khoo et al, (2009).

b. Melakukan transformasi untuk tiap sampel.

c. Menentukan statistik EWMA untuk mean dan variansi.

(28)

commit to user

d. Menentukan statistik EWMAº − yang merupakan maksimum nilai mutlak dari statistik EWMA untuk mean dan variansi. e. Menggambarkan statistik EWMAº − pada batas pengendali. 5. Menerapkan pada data kemasan air minum “Makhoa” 240 ml

karakteristik kualitas netto di mana data merupakan data primer yang diambil dari PDAM Tirta Gemilang Kabupaten Magelang pada hari Rabu sampai Sabtu, tanggal 20-24 Desember 2010. Data yang diambil sebanyak 30 sampel dengan ukuran sampel yang diambil adalah 5 untuk setiap sampel. Pengambilan sampel dilakukan setiap 20 menit. Analisis data dilakukan dengan bantuan software Minitab 16 for Windows dan Microsoft Office Excel 2007.

(29)

commit to user

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Grafik Pengendali EWMA

Grafik pengendali EWMA sangat efektif untuk pergeseran proses yang kecil, karena grafik pengendali EWMA menggunakan informasi dari sampel sebelumnya. Untuk karakteristik kualitas yang berupa variabel, biasanya menggunakan dua grafik pengendali ĆĖōB, yaitu grafik EWMA untuk memonitor proses mean dan grafik EWMA memonitor proses variansi.

4.1.1 Grafik Pengendali EWMA untuk Memonitor Proses Mean

Menurut Montgomery (2005) statistik EWMA dari *_> didefinisikan sebagai berikut

â> = *> + 1− â> , = 1,2, … (4.1)

dengan â =

*_>: observasi pada waktu ke- i :konstanta smoothing,0 < ≤ 1.

Untuk menunjukkan bahwa â_> adalah rata-rata tertimbang dari semua rata-rata sampel sebelumnya, dilakukan dengan mengganti â_> dengan â_> pada persamaan (4.1), sehingga didapat

â> = *> + (1− )â> .

Persamaan (4.1) dapat ditulis kembali sebagai berikut

â> = *>+ 1− *> + 1− â> .

Secara umum, dengan mengganti berulang-ulang â_> dengan orde sebelumnya diperoleh

â> = 1− >

*> + 1− >â .

Jika *_> adalah variabel independen dengan variansi Ƽ , maka variansi â_> adalah

(30)

commit to user

râ> = ∑> 1− r*> + 1− > r(â ). (4.2)

Karena nilai tertimbang 1− menurun secara geometri dengan umur rata-rata sampel, maka

1− λ

= 1− 1−

1− 1−

= 1− 1− > dan râ = 0, maka persamaan (4.2) menjadi

râ> = 1− >

Ƽ _t + 0 =Ƽ 1− 1− > , dan diperoleh deviasi standar dari â_> adalah

Ƽ _t =Ƽ 1− 1− > . (4.3) Dari persamaan (2.1) dan (4.3) interval konfidensi untuk grafik pengendali EWMA

− ±Ƽ ₍₂₋ ₎ 1− (1− ) > ≤ ≤ +±Ƽ

(2− ) 1− (1− ) > , sehingga diperoleh batas pengendali grafik EWMA untuk proses mean

7.B= + ±Ƽ

(2− ) 1− (1− ) > =

7.7= − ±Ƽ

(2− ) 1− (1− ) >

dengan adalah rata-rata dari variabel random yang berdistribusi normal, dan L adalah lebar batas pengendali.

(31)

commit to user

lim

>→ Ƽ t = lim_>→ Ƽ ₂₋ 1− 1− >

=Ƽ .

Sehingga diperoleh batas pengendali sebagai berikut 7.B= + ±Ƽ

(2− ) =

7.7= − ±Ƽ

(2− )

4.1.2 Grafik Pengendali EWMA untuk Memonitor Proses Variansi

Mac. Gregor dan Haris (1993) mendiskusikan dasar statistik grafik pengendali EWMA untuk memonitor proses variansi. Misal *_> berdistribusi normal dengan mean dan variansi Ƽ , exponentially weighted mean square error (EWMS),

> didefinisikan sebagai berikut

> = *>− + 1− > , = 1,2, …

dengan = 0

*_>: observasi ke i

: konstanta smoothing (0≤ ≤ 1).

Untuk nilai yang besar maka Ć( _> ) =Ƽ , hal ini dapat ditunjukkan dengan mensubtitusi − 1 untuk i pada persamaan (2.1)

> = *> − + 1− > ,

sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis kembali sebagai berikut

> = *>− + 1− *> − + 1− > .

Selanjutnya dengan mengganti = 2,3, … diperoleh

(32)

commit to user

Karena nilai ∑> 1− >+ 1− = 1, maka

Ć > =∑> *>− =Ƽ . (4.4)

Bila observasi berdistribusi normal dan independen maka t akan mendekati distribusi Chi- kuadrat dengan derajad bebas = 2− / . Jika Ƽ adalah nilai target dari proses variansi, _> dapat digambarkan pada grafik pengendali. Menurut Eyvazian et al. (2008) percentil ke 100(1− ) dari distribusi Chi- kuadrat dengan derajad bebas dapat digunakan untuk membentuk batas pengendali. Dari persamaan (2.2) dan (4.4) maka diperoleh interval kepercayaan 100 1− % untuk grafik EWMA adalah

Ƽ , ( )≤ Ƽ ≤ Ƽ , .

Sehingga diperoleh batas pengendali untuk grafik EWMA untuk proses variansi 7.B=Ƽ ,

7.7 =Ƽ , ( ).

4.2 Grafik pengendali ¸WMA −

Khoo et al. (2009) menggabungkan dua grafik pengendali EWMA menjadi satu grafik pengendali yang disebut grafik pengendali EWMA * − R yang lebih efektif dalam mendeteksi pergeseran mean dan variansisecara bersama-sama.

Misalkan *_> , dengan = 1,2, … dan = 1,2, … , _> adalah hasil pengukuran dari karakteristik kualitas yang memiliki distribusi normal dengan = + Ƽ dan standar deviasi Ƽ = Ƽ , dengan i dan j adalah sampel dan urutan pengamatan. Menurut Khoo et al. (2009) proses dalam keadaan terkendali jika = 0 dan = 1 sehingga

= + Ƽ

(33)

commit to user

= dan

Ƽ= Ƽ =Ƽ .

Misalkan * = (*_> +*_> +⋯+*_>e_t)/ _> adalah rata-rata sampel ke- i dan

R> =*>et− *> adalah range sampel ke- i, dimana *> adalah data terkecil dan *>et

data terbesar dalam sampel ke- i .

Diasumsikan (. ) adalah fungsi distribusi normal, ( , Ƽ ) dari variabel random. Jika = 0 dan = 1 maka _> = (*_> ) untuk j = 1,2,. .. . , _> adalah pengamatan random dari sampel i yang memiliki distribusi Uniform (0,1). Misal

R>′= >(e>)− >( ) = (*_>e_t)− (*_> )

adalah range sampel ke i untuk pengamatan _> , _> , … . , _>e dimana _> adalah sampel terkecil dan _>e adalah sampel terbesar. Sampel ini didefinisikan

B> = et

, = 1,2, … (4.6)

dan

7> = r′> , = 1,2, … (4.7)

dengan r_>′= _{> e}_t − _> ,

â =. â ≤ dengan â ∼ 0,1 , : invers dari fungsi .

r′_> adalah cumulative distribution function (cdf) dari R_>′, yang diperoleh dari cdf range sampel sebagai berikut

r′

> = > , >e = >e e− 1− 1− > e.

Diketahui bahwa B_>~ (0,1), ketika = 0 dan = 1 rata-rata dari n pengukuran independen dari distribusi normal adalah independen (Daly, 1946), sehingga * dan R> untuk = 1,2, … independen maka * dan R>′ untuk = 1,2, … juga independen.

(34)

commit to user

Untuk membentuk grafik pengendali tunggal yang dapat mendeteksi pergeseran mean dan variansi secara bersama-sama, statistik EWMA di definisikan,

Ė> = B>+ (1− )Ė> (4.8)

dan

â> = 7>+ (1− )â> (4.9)

dengan Ė =â = 0 adalah nilai awal, dan adalah konstanta smoothing. Kemudian kedua statistik tersebut didefinisikan dengan ō_> diberikan oleh

ō> = max |Ė>|,|â>| , = 1,2, … (4.10)

Jika ō_> positif, grafik EWMA* − R dapat dibentuk dengan menggambarkan statistik ō> pada batas pengendali

7.B=Ć ō_> +± rō_> . (4.11) Karena nilai ō_> semua positif maka 7.7= 0.

Dari persamaan (5) cdf dari ō_> adalah =.r ō_> ≤

= .r |Ė_>| ≤ ,|â_>| ≤ =.r |Ė_>| ≤ ..r |â_>| ≤

=.r − ≤ Ė_> ≤ ). Pr ( − ≤ â_> ≤

= .r Ė_> ≤ − .r Ė_> ≤ − .r â_> ≤ − .r â_> ≤ − = ∅

t − 1− ∅ t ∅ t − 1− ∅ t = 2∅

t − 1 2∅ t − 1 , sehingga fungsi kepadatan peluang dari ō_> adalah = ′

t∅ t 2∅ t − 1 + t∅ t 2∅ t − 1 .

Misalkan Ƽ _>=r dan Ƽ _>= maka

(35)

commit to user

Nilai ekspektasi dari ō_> adalah Ć ō_> = ∞

= ∞ ∅ 2∅ − 1 + ∅ 2∅ − 1 .

Misalkan = maka

Ć ō_> = 2 ∞ 2 ∅ 2∅ − 1 + ∅ 2∅ − 1 .

Dengan menggunakan softwareMatematica5.0 diperoleh Ć ō_> = .

Dengan mensubtitusikan Ƽ _>=r dan Ƽ _>= maka

Ć ō_> = t t . (4.12)

Diperoleh nilai Ć ō_> sebagai berikut Ć ō_> = ∞

= ∞ ∅ 2∅ − 1 + ∅ 2∅ − 1 .

Misalkan = maka

Ć ō_> = ∞ 2r ∅ 2∅ − 1 + ∅ 2∅ − 1 .

Dengan menggunakan software Matematica 5.0 diperoleh

Ć ō_> = r + r+ .

Dengan mensubtitusikan Ƽ _>=r dan Ƽ _>= maka

Ć ō_> = Ƽ _> t

t + Ƽ >+Ƽ >

t t , sehingga

rō_> = Ƽ _> t

t − 1 +Ƽ >

t − 1 +Ƽ >Ƽ > (4.13) dengan nilai

(36)

commit to user

Ƽ >= 1− 1− > dan Ƽ > = 1− 1− >

dengan , adalah konstanta smoothing.

Dari persamaan (4.12) dan (4.13) diperoleh batas pengendali

7.B= t t +± Ƽ _> t

t − 1 +Ƽ >

t − 1 +Ƽ >Ƽ >

7.7= 0.

Diketahui bahwa ō_> pada persamaan (4.10) akan semakin besar ketika proses mean mengalami pergeseran ke atas maupun ke bawah dan atau proses variansi meningkat atau menurun. ō_> akan mengecil ketika proses mean dan proses variansi jauh dari nilai target yang diharapkan.

Grafik pengendali ĆĖōB* − R memiliki keuntungan dengan transformasi yang dilakukan pada persamaan (4.6) dan (4.7) yaitu:

i. Masalah ukuran sampel variabel dapat dihandel dengan mudah karena distribusi dari B_> dan 7_> adalah independen untuk ukuran sampel n, ketika

= 0 dan = 1.

ii. Grafik pengendali tunggal dibentuk untuk memonitor baik proses mean dan proses variansi karena B_> dan 7_> memiliki distribusi yang sama, ketika

= 0 dan = 1.

4.2.1 ARL (Average Run Length)

Menurut Montgomery (2005), karakteristik dari grafik pengendali pada umumnya dilihat dari nilai Run Length (RL) yang menunjukkan nilai dari sampel yang harus digambarkan dalam grafik sampai ditemukan nilai yang jatuh diluar kontrol. Nilai RL dapat dihitung dengan

. R±= = 1− , = 1,2, …

dengan adalah probabilitas bahwa sampel berada di luar batas pengendali. Average Run Length (ARL) adalah banyaknya titik sampel rata-rata yang digambarkan sebelum suatu titik menunjukkan keadaan tidak terkendali. ARL didefinisikan sebagai

(37)

commit to user

BR±=Ć(R±)

=∑ ..(R± = )

= + 2 1− + 3 1− + 4 (1− )3+⋯ = [1 + 2 1− + 3 1− + 4 1− 3+⋯] = ∑_e + 1 1− e.

Menurut Martono (1999) jika jari-jari kekonvergenan deret pangkat ∑_e _e*e adalah r > 0 maka fungsi =∑_e _e*e terdeferensiabel pada –r,r dengan

′ =∑_e _e*e . Sehingga akan diperoleh, BR± = = .

4.2.2 Merancang Grafik Pengendali ¸WMA −

Grafik pengendali ĆĖōB * − R dapat dibentuk dari langkah-langkah berikut:

i. Jika nilai tujuan dari parameter proses tidak diketahui, maka harus diestimasi dari data sampel yang berada dalam batas pengendali dengan diestimasi dengan rumus *=∑_> dan standar deviasi Ƽ diestimasi dengan rumus

=∑_> t dimana = = e ⋯ e

dengan m adalah jumlah sampel yang digunakan untuk mengestimasi.

ii. Memilih nilai , , ± berdasarkan nilai ARL dan nilai n. Dihitung nilai B>,7> ,Ė>,â> dan ō> menggunakan persamaan (4.6)-(4.10) untuk masing-

masing sampel dengan Ė =â = 0 untuk nilai awal. iii. Menghitung nilai 7.B dengan persamaan (4.11).

iv. Menggambarkan sampel i ketika ō_> ≤ 7.B untuk mengindikasikan proses berada dalam batas pengendali. Ketika ō_> ≥ 7.B dicek apakah |Ė_>|= | B>+ 1− Ė> | dan |â>|=| 7>+ 1− â> |. Jika |Ė>|>7.B

(38)

commit to user

dan B_> > 0 maka proses mean meningkat namun bila B_> < 0 berarti proses mean menurun. Jika |â_>|>7.B dan 7_> > 0 berarti proses variansi meningkat namun bila 7_> < 0 maka proses variansi menurun.

v. Mencari penyebab dari setiap sampel yang di luar batas pengendali dan dicari penanganannya.

4.3 CONTOH KASUS

PDAM Kabupaten Magelang memproduksi Air Minum dalam kemasan (AMDK) dengan merk “Makhoa”, salah satu kemasan Makhoa adalah cup 240 ml. data netto air minum Makhoa dapat diterapkan pada grafik pengendali EWMA. Data berupa data primer yang diambil dari PDAM Kabupaten Magelang dengan data seperti pada Tabel 1. Sebelum dibuat grafik pengendali EWMA terlebih dahulu data harus diuji asumsinya, meliputi uji kenormalan dan uji independensi.

1. Uji kenormalan

Dari data sampel tersebut diuji kenormalan, dengan software Minitab 16 for windows diperoleh

d a t a

P e rc e n t

2 4 0 2 3 5

2 3 0 2 2 5

9 9, 9

9 9 9 5 9 0 8 0 7 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 5 1 0, 1

M e a n

> 0, 1 50 23 2 ,3

S tD e v 3, 0 04

N 1 50

K S 0, 0 47

P - V a lu e

P r o b a b i l i t y P l o t o f d a t a

No r m a l

Gambar 2. Plot probabilitas normal data netto air minum

Karena diperoleh nilai p-value = 0.15 dan = 0.05 sehingga data netto air minum berdistribusi normal.

(39)

commit to user

Tabel 1. Data sampel netto kemasan air minum Makhoa 240 ml dengan ukuran sampel (n = 5)

sampel *_> *_> *_>3 *_> *_> * R_>

1 230 228 234 234 236 232.4 8

2 228 236 236 230 232 232.4 8

3 232 236 234 234 230 233.2 6

4 236 230 228 234 236 232.8 8

5 228 234 230 230 232 230.8 6

6 238 238 232 230 234 234.4 8

7 230 230 234 230 236 232 6

8 236 230 232 230 236 232.8 6

9 236 234 234 236 230 234 6

10 228 230 236 234 238 233.2 10

11 230 232 232 234 230 231.6 4

12 238 236 230 230 232 233.2 8

13 234 232 230 236 236 233.6 6

14 232 230 230 234 230 231.2 4

15 236 232 234 238 232 234.4 6

16 232 228 234 230 228 230.4 6

17 230 234 228 238 240 234 12

18 228 236 232 234 232 232.4 8

19 234 236 234 230 230 232.8 6

20 232 234 234 230 232 232.4 4

21 226 234 234 230 234 231.6 8

22 228 232 232 232 232 231.2 4

23 232 234 236 236 230 233.6 6

24 230 232 230 232 236 232 6

25 236 230 234 232 230 232.4 6

26 230 228 232 226 228 228.8 6

27 234 232 230 236 238 234 8

28 234 234 228 238 228 232.4 10

29 228 228 228 228 230 228 2

30 230 234 230 230 232 231.2 4

(40)

commit to user

2. Uji independensi

Suatu data dikatakan independen jika plot menyebar secara acak dan tidak membentuk pola tertentu. Dari datadiperoleh

o b s e r v a s i

d a ta 3 0 2 5 2 0 1 5 1 0 5 0 2 3 5 2 3 4

2 3 3 2 3 2

2 3 1 2 3 0 2 2 9

2 2 8

p l o t i n d e p e n d e n s i

Gambar 3. Plot independensi data netto air minum

Karena data berpola acak maka data netto air minum dikatakan independen.

4.3.1 Grafik Pengendali EWMA untuk Proses Mean

Dari software Minitab 16 for windows diperoleh grafik pengendali untuk proses mean sebagai berikut

2 8 2 5 2 2 1 9 1 6 1 3 1 0 7 4 1 2 3 4 . 0

2 3 3 . 5

2 3 3 . 0

2 3 2 . 5

2 3 2 . 0

2 3 1 . 5

2 3 1 . 0

S a m p le

A __

X = 2 3 2 . 3 0 7 U C L = 2 3 3 . 8 5 7

L C L = 2 3 0 . 7 5 6

G r a f i k p e n g e n d a l i E W M A X

Gambar 4. Grafik pengendali EWMA untuk proses mean

Dari Gambar 4 tampak bahwa semua sampel berada dalam batas pengendali, pada batas pengendali _{3 tidak ada pola tren sedangkan untuk}s _BPA ₂s =₂₃₃_.₄_tidak ada titik yang di luar batas, untuk BPB 2s =231.12_{terdapat 1 titik yang barada di} luar batas ₂s _{yaitu data ke 29, untuk}_BPA ₁s=₂₃₂_.₈₇_{terdapat 4 titik berada di} luar batas 1Ƽ tetapi tidak berurutan yaitu data ke 9,10,13,15, dan untuk BPB

8 . 231

1s = _{ada 3 titik yang berada di luar batas}_{1 yaitu data ke 28, 29, 30,}s maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih terkendali.

(41)

commit to user

4.3.2 Grafik Pengendali EWMA untuk Proses Variansi

Dari software Minitab 16 for windows diperoleh grafik pengendali untuk proses variansi sebagai berikut

BPA = 8.632

BPB = 0

Gambar 5. Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi

Dari Gambar 5 terlihat bahwa semua sampel terletak dalam batas pengendali dan tidak ada pola tren maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih terkendali.

4.3.3 Grafik pengendali EWMA X -R

Berikut langkah-langkah untuk membuat grafik EWMA X -R a. Estimasi nilai mean adalah =* = 232.3067,

estimasi nilai standar deviasi adalah Ƽ = = 2.

. 32= 2.7515.

b. Dengan menggunakan tabel nilai ARL hasil penelitian Khoo et al untuk kombinasi pergeseran proses mean dan variansi maka dipilih menurut Khoo et al. (2009) untuk grafik pengendali EWMA * − R biasanya dipilih nilai ARL pada kondisi terkendali BR± = 250 dan , = 0.25, 1.5 . kemudian dipilih konstanta smoothing , = 0.3,0.3 dan nilai ± = 3.13.

c. Dengan menggunakan teorema limit pusat, jika diasumsikan *_> mengikuti distribusi normal, 232.3067 ,2.7515 untuk = 1,2, … ,15 dan = 1, 2, . . ,5. Diasumsikan . adalah fungsi distribusi dari *_> dan _> = *_> maka dengan software Minitab 16 for windows diperoleh seperti pada Tabel 2.

(42)

commit to user

Tabel 2. Nilai CDF tiap sampel *> *> > >

226 230 0.010607 0.199683

226 232 0.010607 0.455391

228 232 0.057807 0.455391

228 234 0.057807 0.731926

228 336 0.057807 0.911387

230 236 0.199683 0.911387

230 336 0.199683 0.911387

230 236 0.199683 0.911387

230 336 0.199683 0.911387

230 236 0.199683 0.911387

230 238 0.199683 0.981239

232 240 0.455391 0.997529

dengan *_> : data terkecil pada sampel ke i *_> : data terbesar pada sampel ke i

(43)

commit to user

_> : nilai CDF data terkecil sampel ke i _> : nilai CDF data terbesar sampel ke i

Dari persamaan (4.6)-(4.10) maka dapat dihitung nilai B_>,7_> ,Ė_>,â_> dan ō_> diperoleh hasil sebagai berikut

Tabel 3. Nilai B_>,7_> ,Ė_>,â_> dan ō_>

No sampel B_> 7_> Ė_> â_> ō_>

1 0.075822 1.00175 0.022747 0.300525 0.300525

2 0.075822 1.00175 0.038669 0.510893 0.510893

3 0.72596 0.13181 0.244857 0.397168 0.397168

4 0.400891 1.00175 0.291667 0.578542 0.578542

5 -1.22445 -0.06093 -0.16317 0.386701 0.386701

6 1.701167 0.5219 0.396132 0.42726 0.42726

7 -0.24925 0.13181 0.202518 0.338625 0.338625

8 0.400891 0.13181 0.26203 0.276581 0.276581

9 1.376098 0.13181 0.596251 0.23315 0.596251

10 0.72596 1.64336 0.635163 0.656213 0.656213

11 -0.57432 -0.73754 0.27232 0.238087 0.27232

12 0.72596 0.5219 0.408412 0.323231 0.408412

13 1.051029 0.013181 0.601197 0.230216 0.601197

14 -0.89938 -0.73754 0.151023 -0.06011 0.151023

15 1.701167 -0.76721 0.616066 -0.27224 0.616066

16 -1.54952 -0.06093 -0.03361 -0.20885 0.20885

17 1.376098 1.85011 0.389302 0.40884 0.40884

18 0.075822 1.00175 0.295258 0.586713 0.586713

19 0.400891 0.13181 0.326948 0.450242 0.450242

20 0.075822 -0.73754 0.25161 0.093907 0.25161

21 -0.57432 0.1827 0.003833 0.120545 0.120545

22 -0.89938 -1.37094 -0.26713 -0.3269 0.3269

23 1.051029 0.13181 0.128316 -0.18929 0.18929

24 -0.24925 0.13181 0.015047 -0.09296 0.09296

25 0.075822 0.13181 0.03328 -0.02553 0.03328

26 -2.8498 -1.14523 -0.83164 -0.36144 0.83164

27 1.376098 0.5219 -0.16932 -0.09644 0.16932

28 0.075822 -0.06093 -0.09578 -0.08578 0.09578

29 -3.49994 -2.91195 -1.11703 -0.93363 1.11703

(44)

commit to user

Dari persamaan (4.11) diperoleh nilai _BPA=1.1708_dan _BPB=₀_sehingga dapat digambarkan dalam grafik pengendali tampak pada Gambar 5.

Gambar 6. Grafik Pengendali EWMA _X -_R untuk data netto air minum

Dari Gambar 6, terlihat bahwa semua sampel jatuh di dalam batas pengendali 7.B= 1.1708, tidak ada pola tren dan untuk 7.B 2Ƽ = 1.08 ada 1 titik di luar batas 2Ƽ yaitu pada data 29, untuk 7.B 1Ƽ = 0.82 ada 3 titik yang berada di luar batas 1Ƽ yaitu pada data 26, 29, 30, maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih terkendali.

Dari Gambar (4), (5) dan (6) terlihat bahwa prosesnya terkendali tetapi mempunyai batas pengendali yang berbeda yaitu untuk grafik pengendali EWMA untuk proses mean diperoleh 7.B = 233.857 dan 7.7= 230.756, untuk grafik pengendali EWMA proses variansi diperoleh 7.B= 8.632 dan 7.7= 0, sedangkan untuk grafik pengendali EWMA _X - _R diperoleh 7.B= 1.1708 dan 7.7 = 0. Grafik pengendali EWMA _X - _R _memiliki

lebar batas pengendali yang lebih sempit, hal ini berarti grafik pengendali EWMA _X - _R lebih sensitif bila dibandingkan dengan grafik pengendali EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah.

BPB = 0 BPA = 1.1708

(45)

commit to user

BAB V

5.1Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilaksanakan, kesimpulan yang dapat diambil adalah sebagai berikut

1. Batas pengendali grafik EWMA untuk proses mean a) Untuk > kecil

ò. = + y)

(2− )

ò.ò= − y)

(2− )

b) Untuk > besar

ò. = + y)

(2− ) 1− (1− )

ò.ò= − y)

(2− ) 1− (1− )

2. Batas pengendali untuk grafik pengendali EWMA untuk proses variansi adalah

ò. =) ,

ò.ò=) , ( )

3. Batas pengendali untuk grafik pengendali ̎em v − adalah

ò. = 2 ) +)

+y 2 ) )

) − 1 +)

)

) − 1 +) )

ò.ò= 0.

(46)

commit to user

4. Pada contoh kasus dengan mengunakan nilai ARL yang sama, grafik pengendali ̎em untuk memonitor proses mean dan variansi secara bersama-sama dan secara terpisah memberikan hasil yang sama yaitu prosesnya terkendali tetapi batas pengendalinya berbeda. Grafik pengendali

̎em v − untuk memonitor proses mean dan variansi secara besama-sama lebih efisien dibandingkan dengan grafik pengendali EWMA secara terpisah.

5.2Saran

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, saran yang ingin disampaikan peneliti yaitu penelitian dapat dilanjutkan hingga perhitungan kapabilitas dari proses yang telah terkendali.

(1)

4.3.2 Grafik Pengendali EWMA untuk Proses Variansi

Dari software Minitab 16 for windows diperoleh grafik pengendali untuk proses variansi sebagai berikut

BPA = 8.632

BPB = 0

Gambar 5. Grafik pengendali EWMA untuk proses variansi

Dari Gambar 5 terlihat bahwa semua sampel terletak dalam batas pengendali dan tidak ada pola tren maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih terkendali.

4.3.3 Grafik pengendali EWMA X -R Berikut langkah-langkah untuk membuat grafik EWMA X -R a. Estimasi nilai mean adalah =* = 232.3067,

estimasi nilai standar deviasi adalah Ƽ = = 2.

. 32= 2.7515.

(2)

commit to user

Tabel 2. Nilai CDF tiap sampel

*> *> > > 226 230 0.010607 0.199683 226 232 0.010607 0.455391 228 232 0.057807 0.455391 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 234 0.057807 0.731926 228 336 0.057807 0.911387 228 336 0.057807 0.911387 230 236 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 236 0.199683 0.911387 230 236 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 336 0.199683 0.911387 230 236 0.199683 0.911387 230 238 0.199683 0.981239 230 238 0.199683 0.981239 230 238 0.199683 0.981239 230 238 0.199683 0.981239 230 238 0.199683 0.981239 232 240 0.455391 0.997529 dengan *_> : data terkecil pada sampel ke i

(3)

_> : nilai CDF data terkecil sampel ke i _> : nilai CDF data terbesar sampel ke i

Dari persamaan (4.6)-(4.10) maka dapat dihitung nilai B_>,7_> ,Ė_>,â_> dan ō_> diperoleh hasil sebagai berikut

Tabel 3. Nilai B_>,7_> ,Ė_>,â_> dan ō_>

No sampel B_> 7_> Ė_> â_> ō_> 1 0.075822 1.00175 0.022747 0.300525 0.300525 2 0.075822 1.00175 0.038669 0.510893 0.510893 3 0.72596 0.13181 0.244857 0.397168 0.397168 4 0.400891 1.00175 0.291667 0.578542 0.578542 5 -1.22445 -0.06093 -0.16317 0.386701 0.386701 6 1.701167 0.5219 0.396132 0.42726 0.42726 7 -0.24925 0.13181 0.202518 0.338625 0.338625 8 0.400891 0.13181 0.26203 0.276581 0.276581 9 1.376098 0.13181 0.596251 0.23315 0.596251 10 0.72596 1.64336 0.635163 0.656213 0.656213 11 -0.57432 -0.73754 0.27232 0.238087 0.27232 12 0.72596 0.5219 0.408412 0.323231 0.408412 13 1.051029 0.013181 0.601197 0.230216 0.601197 14 -0.89938 -0.73754 0.151023 -0.06011 0.151023 15 1.701167 -0.76721 0.616066 -0.27224 0.616066 16 -1.54952 -0.06093 -0.03361 -0.20885 0.20885 17 1.376098 1.85011 0.389302 0.40884 0.40884 18 0.075822 1.00175 0.295258 0.586713 0.586713 19 0.400891 0.13181 0.326948 0.450242 0.450242 20 0.075822 -0.73754 0.25161 0.093907 0.25161 21 -0.57432 0.1827 0.003833 0.120545 0.120545 22 -0.89938 -1.37094 -0.26713 -0.3269 0.3269 23 1.051029 0.13181 0.128316 -0.18929 0.18929 24 -0.24925 0.13181 0.015047 -0.09296 0.09296 25 0.075822 0.13181 0.03328 -0.02553 0.03328 26 -2.8498 -1.14523 -0.83164 -0.36144 0.83164 27 1.376098 0.5219 -0.16932 -0.09644 0.16932 28 0.075822 -0.06093 -0.09578 -0.08578 0.09578 29 -3.49994 -2.91195 -1.11703 -0.93363 1.11703 30 -0.89938 -0.73754 -1.05173 -0.87481 1.05173

(4)

commit to user

Dari persamaan (4.11) diperoleh nilai _BPA=1.1708_dan _BPB=₀_sehingga

dapat digambarkan dalam grafik pengendali tampak pada Gambar 5.

Gambar 6. Grafik Pengendali EWMA _X -_R untuk data netto air minum Dari Gambar 6, terlihat bahwa semua sampel jatuh di dalam batas pengendali

7.B= 1.1708, tidak ada pola tren dan untuk 7.B 2Ƽ = 1.08 ada 1 titik di luar batas 2Ƽ yaitu pada data 29, untuk 7.B 1Ƽ = 0.82 ada 3 titik yang berada di luar batas 1Ƽ yaitu pada data 26, 29, 30, maka dapat disimpulkan bahwa prosesnya masih terkendali.

7.7= 0, sedangkan untuk grafik pengendali EWMA _X - _R diperoleh

7.B= 1.1708 dan 7.7 = 0. Grafik pengendali EWMA _X - _R _memiliki lebar batas pengendali yang lebih sempit, hal ini berarti grafik pengendali EWMA _X - _R lebih sensitif bila dibandingkan dengan grafik pengendali EWMA untuk mean dan variansi secara terpisah.

BPB = 0 BPA = 1.1708

(5)

commit to user

BAB V

5.1Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilaksanakan, kesimpulan yang dapat diambil adalah sebagai berikut

1. Batas pengendali grafik EWMA untuk proses mean a) Untuk > kecil

ò. = + y)

(2− ) =

ò.ò= − y)

(2− )

b) Untuk > besar

ò. = + y)

(2− ) 1− (1− )

ò.ò= − y)

(2− ) 1− (1− )

2. Batas pengendali untuk grafik pengendali EWMA untuk proses variansi adalah

ò. =) ,

ò.ò=) , ( )

3. Batas pengendali untuk grafik pengendali ̎em v − adalah

ò. = 2 ) +)

+y 2 ) )

) − 1 +)

)

) − 1 +) )

ò.ò= 0.

(6)

commit to user

̎em v − untuk memonitor proses mean dan variansi secara besama-sama lebih efisien dibandingkan dengan grafik pengendali EWMA secara terpisah.

5.2Saran

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, saran yang ingin disampaikan peneliti yaitu penelitian dapat dilanjutkan hingga perhitungan kapabilitas dari proses yang telah terkendali.

ESTIMASI PARAMETER BATAS PENGENDALI EWMA X R