Teorema Limit Pusat Central Limit Theorem

3.3 Teorema-teorema Pendukung

Dalam proses untuk mendekatkan distribusi binomial dengan menggunakan distribusi normal, maka diperlukan teorema-teorema pendukung yang terkait.

3.3.1 Teorema Limit Pusat Central Limit Theorem

Teorema limit pusat menyatakan bahwa nilai tengah suatu sampel yang terdiri dari n buah nilai variabel random yang menyebar secara tidak normal, akan tetapi menyebar secara identik dengan perkataan lain � 1 , � 2 , … , � � memiliki fungsi kepadatan yang sama serta bebas terhadap sesamanya, penyebarannya akan mendekati sebaran normal dengan pertambahan besarnya nilai n, jadi juga dengan bertambahnya ukuran sampel. Jika � 1 , � 2 , … , � � adalah n variabel random independent dengan distribusi yang identik dan memiliki mean µ dan varians � 2 . Jumlahnya dinyatakan sebagai berikut: X = � 1 + � 2 + ⋯ + � � . Karena mean dari jumlah adalah jumlah semua mean dan varian dari jumlah adalah jumlah semua varian, untuk variabel random independent, maka : E X = n µ ; Var X = n� 2 Untuk setiap variabel random, mengurangi mean dan membaginya dengan standart deviasi akan menghasilkan variabel random dengan mean 0 dan varian 1. maka variabel random : � = � − �� ����� = �� − �� √�� 2 Kemudian dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan n, maka: � = � − �� �√� Universitas Sumatera Utara Dengan: �� = � 1 + � 2 + ⋯ � � � = X � , �����ℎ ����� ���� − ���� � � . Central Limit Theorem, jika � 1 + � 2 + ⋯ � � adalah n variabel random independent dengan distribusi yang identik, dengan mean µ dan varian � 2 . Dilambangkan dengan X dan �� adalah jumlah dari rata-rata dari variabel random ini. Sejalan dengan bertambahnya n, distribusi : � = � − �� √�� 2 = �� − � � √� ��������� ��������� ������ �������. Dengan bantuan Central Limit Theorem ini, dalam prakteknya untuk masalah jumlah dan rata-rata variabel random, distribusi normal akan memberikan perkiraan yang cukup tepat mengenai distribusi yang sebenarnya. Apapun distribusi dari sekelompok variabel random, selama variannya bersifat finit, jumlah atau rata-rata dari sejumlah besar variabel tersebut akan berupa variabel random dengan distribusi mendekati normal. Namun rata-rata variabel random dengan distribusi seragam yang independent dalam jumlah cukup besar, akan memiliki distribusi mendekati normal pula. Bila nilai n makin besar, maka akan mendekati normal standard. Bentuk fungsi densitas probabilitas untuk n variabel random independent dari distribusi Chi-squere dengan derajat kebebasan 1. Validitas Central Limit Theorem tidak terbatas hanya untuk jumlah variabel random kontinu, juga bisa berlaku untuk variabel random diskrit.

3.3.2 Teorema De Moivre-Laplace