Misalkan �
1
, �
2
, … , �
�
suatu barisan variabel random, S
n
menyatakan banyaknya sukses dalam suatu eksperimen binomial dengan n kali percobaan, masing-masing dengan
probabilitas sukses p, 0p1. Misalkan Z
n
, n = 1, 2, ... barisan variabel random dengan:
�
�
= �
�
− �� ����
,
Dan misalkan z suatu tetapan. Maka, bila n menuju ke takberhingga, PZ
n
z mendekati luas pada distribusi normal standard di sebelah kanan z.
Atau dengan pernyataan lain teorema De Moivre-Laplace menyatakan bahwa : Jika S
n
banyaknya sukses dalam n percobaan Bernoulli dan p adalah probabilitas sukses dan
�
�
= �
�
− �� ����
, ���� ∶
�
�
�
� = ��
�
� → � �
−�
2
2 �
−∞
��, ������ � → ∞.
Teorema De Moivre-Laplace merupakan suatu bentuk dari teorema limit pusat yang cukup umum. Teorema ini membicarakan limit distribusi jumlah variabel random,
dan limit distribusinya biasanya normal. Pentingnya teorema ini ialah bahwa dengan menggunakannya, dapat di hitung pendekatan peluang untuk jumlah variabel random
dengan menggunakan distribusi normal tanpa perlu tahu distribusi jumlah variabel random dengan tepat.
3.4 Teknik Perhitungan Pendekatan Distribusi Binomial oleh Distribusi Normal
Oleh karena distribusi binomial adalah distribusi untuk variabel random diskrit yang mana probabilitasnya berupa ordinat. Sedangkan distribusi normal merupakan distribusi untuk
variabel random kontinu yang mana probabilitasnya berupa area luasan, maka perlu diadakan penyesuaian perubahan dari ordinat menjadi luas. panjang dikalikan lebar.
Penyesuaian ini dilakukan sebagai berikut : Misalkan X berdistribusi Bn,p, maka PX=x merupakan ordinat pada absis x.
Tinggi ordinat sebagai nilai probabilitas dalam distribusi binomial, diambil sebagai
Universitas Sumatera Utara
panjang dan lebarnya diambil 1 unit. Jadi seolah-olah dibentuk persegi panjang berpusat pada x, dengan panjang setinggi nilai ordinat dan lebarnya adalah 1 unit panjang interval
x – 0,5 sampai dengan x + 0,5, sehingga didapatkan probabilitas yang asli probabilitas diskrit = ordinat sama dengan luas persegi panjang tersebut.
Dengan memperhatikan proses pendekatan dari distribusi binomial ke distribusi normal yang telah dibahas di atas, maka perhitungan pendekatan distribusi binomial oleh
distribusi normal dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut : Jika X ~ Bn,p, maka untuk keperluan penghitungan PX=x dengan menggunakan
distribusi normal adalah sebagai berikut: PX = x = P x – 0,5 X x + 0,5
= �
� − 0,5 − �� ����
� − �� ����
� + 0,5 − �� ����
�
= � �
� − 0,5 − �� ����
� � + 0,5 − ��
���� �
Dengan Z ~ N0,1.
�� ≥ � = � �� ≥ � − 0,5 − ��
���� �
�� ≤ � = � �� ≥ � + 0,5 − ��
���� �
��
1
� �
2
= ��
1
− 0,5 � �
2
+ 0,5
= � �
�
1
− 0,5 − �� ����
� − �� ����
�
2
+ 0,5 − ��
���� �
= � �
�
1
− 0,5 − �� ����
� �
2
+ 0,5 − ��
���� �
Universitas Sumatera Utara
3.5 Contoh Kasus
Dari data kelahiran bayi menurut jenis kelamin, selama bulan Januari – Juni diperoleh data seperti tabel di bawah ini:
Tabel 3.1 Tabel Kelahiran Bayi Menurut Jenis Kelamin
Bulan Laki-laki
Perempuan Jumlah
Januari 36 orang
40 orang 76 orang
Februari 45 orang
37 orang 82 orang
Maret 41 orang
43 orang 84 orang
April 29 orang
41 orang 70 orang
Mei 44 orang
47 orang 91 orang
Juni 34 orang
33 orang 67 orang
Jumlah 229 orang
241 orang 470 orang
Dari data jenis kelamin bayi yang lahir diatas, dapat di peroleh hasil sebagai berikut : Banyak bayi lahir
= 470 orang, yang terdiri dari : Jenis kelamin laki-laki
= 229 orang Jenis kelamin perempuan
= 241 orang Maka dapat dihitung misalnya :
a. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki 0,5 b. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki 0,5
c. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki = 0,5 d. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki antara 0,4 dan 0,5
Penyelesaian : Misalkan X adalah variabel random yang menyatakan banyaknya bayi laki-laki yang
lahir. n = 468 orang, p = peluang kelahiran bayi laki-laki =
229 470
= 0,4872, q = 1- 0,4829 = 0,5128
σ = ���� = 10,8361
Universitas Sumatera Utara
a. Probabilitas kelahiran bayi laki-laki = 0,5 berarti : X = 0,5 . 470 = 235, Sehingga :
Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki 0,5 adalah : PX 235 = PZ
� − 0,5 − �� ����
= PZ 235
− 0,5 − 229 10,8361
= PZ 0,50
= 0,5 − 0,1915
= 0,3085 Jadi probabilitas banyaknya bayi laki-laki lebih dari 235 orang adalah 0,3085
a. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki 0,5
PX 235 = PZ � + 0,5 − ��
���� = PZ
235+0,5 −229
10,8361
= PZ 0,59
= 0,5 + 0,2224 = 0,7224
Jadi, probabilitas banyaknya bayi laki-laki kurang dari 235 adalah 0,7224
b. Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki = 0,5
�� = 235 = � � � − 0,5 − ��
���� �
� + 0,5 − �� ����
�
= � �
235 − 0,5 − 229
10,8361 �
235 + 0,5 − 229
10,8361 �
Universitas Sumatera Utara
= �0,50 � 0,59
= 0,2224 − 0,1915
= 0,0309
Jadi, probabilitas banyaknya bayi laki-laki sama dengan 234 adalah 0,0274
c. Probabilitas kelahiran bayi laki-laki = 0,4 berarti : X = 0,4 . 470 = 188, sehingga :
Probabilitas proporsi kelahiran bayi laki-laki antara 0,4 dan 0,5 adalah :
�188 � 235 = � � � − 0,5 − ��
���� �
� + 0,5 − �� ����
�
= � �
188 − 0,5 − 229
10,8361 �
235 + 0,5 − 229
10,8361 �
= �−3,82 � 0,59
= 0,4999 + 0,2224 = 0,7223
Jadi, probabbilitas banyaknya bayi laki-laki antara 188 dan 235 adalah 0,7223.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Pendekatan distribusi binomial dengan mengunakan Distribusi Normal
