Nilai Harapan Variabel acak Normal Variansi Variabel Acak Normal Distribusi Normal Standar

04 03 02 01 -4 -2 a 0 b 2 4 Fungsi padat perubah acak normal X, dengan rata-rata µ dan simpangan baku σ dinyatakan sebagai : ��; �; � 1 √2�� � −�12�� �−� � � 2 , untuk − ∞ � ∞ Dengan : µ = mean σ = simpangan baku π = 3,14159... e = 2,71828... Luas daerah kurva normal antara x = a dan x = b dinyatakan sebagai berikut: �� ≤ � ≤ � = � ���� � � = � 1 √2�� � −�12�� �−� � � 2 �� � � Gambar 2.7 Luas Derah Pa x b = Luas Daerah Diarsir

2.6.1 Nilai Harapan Variabel acak Normal

EX = � ����� ∞ −∞ Universitas Sumatera Utara = � � 1 �√2� � −12�−� � � 2 �� ∞ −∞ = � 1 �√2� � � �� −12�−� � � 2 �� ∞ −∞ � = � − � � � ; �� + � � = � ; �� = 1 � �� ; �� = ��� = 1 �√2� � �� + ∞ −∞ � � � −12� 2 ��� = 1 √2� � �� + ∞ −∞ � � � −12� 2 �� = � √2� � � ∞ −∞ � −12� 2 �� + � � √2� � � −12� 2 �� ∞ −∞ untuk, � √2� = � √2� � �� −12� 2 �� + −∞ � �� −12� 2 �� ∞ � = 1 2 � 2 ; �� = ��� ; �� = �� � = � √2� �� � −� �� + −∞ � � −� �� ∞ � untuk, � � ∞ � −12� 2 �� = � � ∞ � −� �� � = � � −� ∞ �� = [� −� ] ∞ dimana, lim �→∞ � −� = 0 ; maka � � −� �� ∞ = 0 Akibatnya, � √2� � � ∞ −∞ � −12� 2 �� = � √2� 0 + 0 = 0 untuk, � � √2� � � −12� 2 �� = ∞ −∞ � � √2� � � −12� 2 �� + � � −12� 2 �� ∞ −∞ ∞ −∞ � = 1 2 � 2 → � = √2� �� = ��� → �� = �� � = � � √2� � � −� �� � + � � −� �� � ∞ −∞ Universitas Sumatera Utara = � � √2� 1 √2 � � −12 � −� �� + 1 √2 � � −12 � −� �� ∞ −∞ = � � √2� � √2� 2 + √2� 2 � = � � Sehingga : E[X] = � √2� � � ∞ −∞ � −12� 2 �� + � � √2� � � −12� 2 �� ∞ −∞ E[X] = 0 + � � = � �

2.6.2 Variansi Variabel Acak Normal

Var � = �[� 2 ] – �[�] 2 �[� 2 ] = � � 2 1 �√2� � −12�−� � � 2 �� ∞ −∞ = 1 �√2� � � 2 � −12�−� � � 2 �� ∞ −∞ � = �−� � � → �� + � � = � �� = 1 � �� → �� = ��� = 1 �√2� ��� + � � 2 � −12� 2 ��� ∞ −∞ = 1 √2� ��� 2 + 2 ��� � + � � 2 � −12� 2 �� ∞ −∞ = 1 √2� � �� 2 � −12� 2 �� + ∞ −∞ 1 √2� � 2��� � ∞ −∞ � −12� 2 �� + 1 √2� � � � 2 � −12� 2 �� ∞ −∞ = � 2 √2� � � 2 � −12� 2 �� + ∞ −∞ 2 ��� � √2� � � ∞ −∞ � −12� 2 �� + � � −12� 2 �� ∞ −∞ Universitas Sumatera Utara = � 2 √2� � � 2 � −12� 2 �� + 0 + ∞ −∞ � � 2 √2� √2� = � 2 √2� � � 2 � −12� 2 �� + ∞ −∞ � � 2 untuk, � 2 √2� � � 2 � −12� 2 �� = ∞ −∞ � 2 √2� � � � 2 � −12� 2 �� + ∞ −∞ � � 2 � −12� 2 �� ∞ −∞ � � = 1 2 � 2 → � = �2� �� = ��� → �� = �� � = �� �2� � 2 √2� � � 2 � − 1 2� 2 �� = ∞ −∞ � 2 √2� � � 2 �� −� �� �2� + � 2 �� −� ∞ −∞ �� �2� � = � 2 √2� � � 2 �2� −∞ � 1 2 � −� �� + � 2 �2� ∞ � 1 2 � −� ��� = � 2 √2� �√2 1 2 ᴦ � 1 2 � + √2 1 2 ᴦ � 1 2 �� = � 2 √2� � √2� 2 + √2� 2 � = � 2 Sehingga : E[X 2 ] = � 2 + � � 2 Maka : VarX = �[� 2 ] − �[�] 2 = � 2 + � � 2 − � � 2 = � 2 Universitas Sumatera Utara

2.6.3 Distribusi Normal Standar

Keluarga distribusi normal memiliki jumlah yang banyak sekali, akibat pengaruh rata-rata dan simpangan baku. Akan tetapi, untuk mencari probabilitas suatu interval dari variabel random kontinu dapat di permudah dengan menggunakan bantuan distribusi normal standard. Distribusi normal standard adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata μ= 0 dan simpangan baku σ = 1. Bentuk fungsinya adalah : �� = 1 √2� � −12� 2 Untuk mengubah distribusi normal umum menjadi distribusi normal standard di gunakan nilai Z standard units. Bentuk rumusnya adalah: � = � − � � Dengan : Z = Skor Z atau nilai normal baku X = Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran µ = nilai rata-rata hitung suatu distribusi σ = standar deviasi suatu distribusi Nilai Z standard units adalah angka atau indeks yang menyatakan penyimpangan suatu nilai variabel random X dari rata-rata µ dihitung dalam satuan simpangan baku σ .

2.6.4 Sifat-sifat Normal Standar