Dengan =Jumlah energi mekanik atom Bohr J
Perhatikan selama nomor atom Z kurang dari 138, nilai numerik dari persamaan 2.34 adalah negatif yang konsisten dengan sistem dua partikel terikat.
Ekspresi dalam persamaan 2.34 akan digunakan dalam menentukan tingkat energi terkuantisasi di bagian mendatang mengenai persamaan gelombang
Schrodinger relativistik, karena spin-orbit kopling tidak dipertimbangkan. juga, elektrodinamika kuantum tidak akan termasuk baik.
2.5 Persamaan Gelombang Schr dinger Relativistik
Ketika Niels Bohr bekerja di luar struktur kuantum dari atom hidrogen menggunakan fisika klasik Newton, dia tidak mempertimbangkan tingkat
kuantum yang memiliki bentuk orbit elips atau gerakan osilasi sederhana tanpa momentum angular. Dalam orbit elips, ada kecepatan radial serta kecepatan sudut
yang muncul karena momentum sudut kurang dari nilai maksimal yang mungkin, karena momentum sudut maksimum terjadi untuk sistem dua-tubuh terikat hanya
ketika orbit dalam bentuk melingkar. di samping itu, ia diperlakukan karakteristik partikel subatomik serta untuk foton ligth tiga-dimensi. Tiga gelombang dimensi
dijelaskan oleh persamaan gelombang berikut fisika newtonian menggunakan persegi panjang koordinat x, y, dan z dimensi keempat waktu t
Universitas Sumatera Utara
dalam persamaan 2.34, adalah fungsi gelombang dan v adalah besarnya
kecepatan gelombang dari gelombang tiga dimensi klasik, yang merupakan produk dari gelombang frekuensi f dan panjang gelombang :
dan T periode gelombang tiga dimensi klasik menjadi kebalikan dari frekuensi
solusi analitis genaral dengan ekspresi diferensial dalam persamaan 2.34 adalah fungsi berikut koordinat posisi persegi panjang dan waktu:
untuk menurunkan persamaan gelombang Schr dinger untuk partikel bebas, pertama subtitusikan rumus umum dari persamaan 2.37 untuk persamaan 2.34
untuk menghasilkan berikut:
setelah itu, satu kemudian menggunakan ekspresi dalam persamaan 2.19 untuk menggabungkan dualisme gelombang-partikel menghasilkan:
melihat bahwa dalam persamaan 2.39, hasilnya adalah persamaan gelombang Schrodinger dari partikel bebas, dan dapat disusun kembali ke dalam ekspresi teks
dalam jangka momentum kuadrat dari partikel bergerak:
dalam notasi vektor, p momentum vektor dari partikel bergerak bebas direpresentasikan sebagai
dimana dalam sistem koordinat Cartesian, vektor satuan x, y, dan z sumbu direpresentasikan sebagai x, y, dan z. notasi vektor menggunakan, persamaan
2.40 menjadi partikel untuk bergerak bebas:
Universitas Sumatera Utara
dan ekspresi diffrensial dalam persamaan 2.42 dalam notasi vektor menjadi operator momentum-squared untuk partikel bebas yang memiliki sebagai fungsi
gelombang nya.
kembali ke ekspresi yang diberikan dalam persamaan 2.16 :
perlu untuk menurunkan persamaan 2.16 menjadi rumus matematika dalam volving momentum relativistik kuadrat dari partikel menggunakan persamaan
2.34 tentang dualitas gelombang-partikel dari elektron dalam atom hidrogen seperti. Untuk menyelesaikan tugas ini, diperlukan kembali ke persamaan 2.3
untuk massa relativistik dari objek yang bergerak
Persamaan 2.3 dapat di ubah dengan kedua sisi dan persamaan kuadrat, dikalikan terus dengan kecepatan cahaya yang ditingkatkan ke tenaga keempat
untuk memperoleh:
Kemudian gunakan sifat distribusi dari matematika dan menyusun yang lainya menjadi persamaan 2.44:
Dengan = Massa relativitas kg
= Massa diam kg = Kecepatan cahaya
= Kecepatan elektron ms p = Momentum relativistik kg ms
Penjumlahan dari momentum relativitas kuadrat , waktu dari kecepatan kuadrat
cahaya dan masa enegi kuadrat
adalah sama dengan masa relativitas energi kuadrat dari perpindahan partikel
setelah
Universitas Sumatera Utara
mengambil akar kuadrat kedua sisi dan persamaan 2.45, mengungkapkan bahwa itu dapat disubtitusi kedalam persamaan gelombang relativitas Schr dinger dari
persamaan 2.16 untuk pergerakan elektron:
Mensubsitusi persamaan 2.37 kedalam persamaan 2.16 diikuti dengan menambahkan masa energi dan energi potensial pada kedua sisinya dari
persamaan 2.16.
Karena orbit perputaran alat penghubung tidak diambil pertimbangan elektron akan sama jika nilai putaran intrinsik adalah nol dari satu setengah dan masa
energi dari elektron adalah konstan, nilai energi En dari model atom relativitas Bohr persamaan 2.33 adalah menambahkan nilai masa elektron ke hasil
persamaan gelombang relativitas Schr dinger untuk nilai energi En:
Dengan = Energi mekanika atom Bohr J
Tak sama dengan hasil energi dari model atom hidrogen relativitas Bohr hasil bilangan dari persamaan 2.48 adalah lebih baik dari nol, positif n lebih dari
satu ketika ada lebih dari 137 proton didalam atom nukleus Z137. Jadi, persamaan 2.48 sekarang menjadi:
Demikian, setelah mengkuadratkan kedua sisi dari persamaan 2.50 dan menunjukan beberapa manipulasi aljabar:
Universitas Sumatera Utara
Dengan mensubsitusi persamaan 2.43 dan menyatakan differensial dari partikel-partikel ke persamaan 2.55, diikuti satu versi dari persamaan gelombang
relativitas Schr dinger:
Langkah selanjutnya adalah membagi persamaan 2.56 dengan hasil dan diikuti pernyataan dan diperoleh:
Kemudian, setelah beberapa aljabar, persamaan 2.57 menjadi versi yang sederhana dari hasil persamaan gelombang relativitas Schr dinger ke nol
kemudian massa :
Dan setelah mensubsitusi kedalam persamaan 2.48 untuk perhitungan tingkatan energi En, persamaan 2.58:
Universitas Sumatera Utara
Setelah ditambahkan, untuk mengikuti hasil bagi dari konstanta Planck h dan hasil
akan di susun :
Bagian yang akan datang memberikan pembicaran bagaiman memecahkan pernyataan sebagian differential di persamaan 2.59 menggunakan polar
Spherical dari pada koordinat kartesius segi empat., operator momentum kuadrat dapat dipisahkan kedalam penjumlahan dari momentum jari-jari lingkaran
kuadrat dan operator momentum kuadrat angular jika satu persamaan 2.59 terus dengan
:
Ini tepat karena adalah penjumlahan urut untuk momentum angular.
2.6. Metode Beda Hingga Finite Difference Method
