Langkah 2: mencari
2
x optimum dan
{ }
1
2 2
2 2
2 2
1 2
2 2
2
max B
x a
x a
B f
x c
B f
≤ ≤
− +
=
. .
.
Langkah j: mencari
j
x optimum dan
{ }
j j
j j
j j
j j
j j
j
B x
a x
a B
f x
c B
f ≤
≤ −
+ =
−
max
1
. .
.
Langkah n: mencari
n
x optimum dan
{ }
n n
n n
n n
n n
n n
n
B x
a x
a B
f x
c B
f ≤
≤ −
+ =
−
max
1
2.2.4 Persamaan Rekursif Mundur
Untuk menyatakan persamaan rekursif mundur secara matematis, terlebih dahulu diperkenalkan simbol-simbol sebagai berikut:
c
j
x
j
= pendapatan alternatif x
j
pada tahap j
f
j
B
j
= keuntungan optimal tahap
j, j+1, j+2, ... dan n jika keadaan x
1
Perhitungan dilakukan dalam urutan:
1 2
1
f f
f f
n n
n
→ →
→ →
− −
L yang dapat dirumuskan menjadi:
Novita Handayani Simanjuntak : Aplikasi Model Program Linier Dengan Program Dinamik Untuk Menentukan Jumlah Produksi Optimun Pada Turangie Oil Mill, 2010.
{ }
1 ,
, 3
, 2
; max
; max
1 1
− =
≤ ≤
− +
= ≤
≤ =
+
n j
B x
a x
a B
f x
c B
f B
x a
x c
B f
j j
j j
j j
j j
j j
j n
n n
n n
n n
L
Dengan rumus di atas dapat dihitung f
1
B
1
, yaitu dimulai dengan f
n
B
n
kemudian f
n-1
B
n-1
, dan berakhir di f
1
B
1
. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
Langkah 1: mencari
n
x optimum dan
1
max
n n
n n
n n
n
B x
a x
c B
f ≤
≤ =
Langkah 2: mencari
1 −
n
x optimum dan
{ }
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
max
− −
− −
− −
− −
− −
≤ ≤
− +
=
n n
n n
n n
n n
n n
n
B x
a x
a B
f x
c B
f
. .
.
Langkah j+1: mencari
j n
x
−
optimum dan
{ }
j n
j n
j n
j n
j n
j n
j n
j n
j n
j n
j n
B x
a x
a B
f x
c B
f
− −
− −
− −
− −
− −
− −
≤ ≤
− +
= max
1
. .
.
Langkah n: mencari
n
x optimum dan
{ }
1 1
1 1
1 1
2 1
1 1
1
max B
x a
x a
B f
x c
B f
≤ ≤
− +
=
Novita Handayani Simanjuntak : Aplikasi Model Program Linier Dengan Program Dinamik Untuk Menentukan Jumlah Produksi Optimun Pada Turangie Oil Mill, 2010.
2.3 Formulasi Program Linier Menjadi Program Dinamik
Program linier yang akan diformulasikan ke dalam program dinamik adalah berjenis ≤ dan terlebih dahulu dijabarkan masalah program linier yang terdiri dari n-variabel
dengan m-syarat. Masalah program linier ini dapat dirumuskan menjadi sebuah model program
dinamik. Setiap kegiatan j j = 1,2,3,...,n dapat dianggap sebagai suatu tahap. Tingkat kegiatan x
j
x
j
≤ 0 mewakili alternatif-alternatif pada tahap j. Karena x
j
berkesinambungan, setiap tahap mempunyai jumlah alternatif yang tidak terbatas di dalam ruang yang layak. Untuk memperoleh alasan-alasan secara singkat, di
asumsikan bahwa semua a
ij
≥ 0.
Keadaan dapat diasumsikan sebagai jumlah sumber yang akan dialokasikan pada tahap sekarang dan tahap-tahap berikutnya. Karena ada m-sumber, keadaan harus
diwakili oleh sebuah vektor berdimensi-m, yaitu:
⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
mj j
j
B B
B B
M
2 1
yang artinya sebagai berikut: a.
B
11
, B
21
, B
31
,...,B
m1
adalah keadaan pada tahap 1, yaitu, jumlah sumber 1,2,3,...,m yang dialokasikan pada tahap 1,2,3,...,n
b. B
12
, B
22
, B
23
, adalah keadaan pada tahap 2, yaitu jumlah sumber 1,2,3,...,m yang
dialokasikan pada tahap 2,3,...,n c.
B
1j
, B
2j
, B
3j
,...,B
mj
adalah keadaan pada tahap j, yaitu jumlah sumber 1,2,3,...,m yang dialokasikan pada tahap j, j+1, j+2,...,n. Maka:
Novita Handayani Simanjuntak : Aplikasi Model Program Linier Dengan Program Dinamik Untuk Menentukan Jumlah Produksi Optimun Pada Turangie Oil Mill, 2010.
mj j
mj j
j j
ij j
j
B x
a B
x a
B x
a
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
2 2
1 1
M
Sekarang diasumsikan:
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
=
mj mj
j j
j j
j
a B
a B
a B
B ,
, ,
min
2 2
1 1
L
Oleh karena itu dapat ditulis: 0 ≤ x
j
≤ B
j
, ini berarti bahwa harga x
j
berada pada interval [0,B
j
]. d.
B
1n
, B
2n
, B
3n
,...,B
mn
adalah keadaan pada tahap n, yaitu jumlah sumber 1,2,3,...,m yang dialokasikan pada tahap n tahap pertama untuk rekursif mundur.
2.4 Langkah-langkah Rekursif Mundur dengan Kendala Banyak
