vi suatu prosedur uji, yaitu prosedur untuk
memberi nilai
variabel atau
menghilangkan subproblem. Balas Toth 1985
Jika masalah pengoptimuman dalam bentuk
max |
, f x
x S
maka poin i, iii, dan v adalah sebagai berikut:
i
relaksasi dari masalah Q, yaitu masalah R
yang berbentuk
max |
g x x
T
dengan S
T dan untuk setiap
, ,
x y S
f x
f y
berimplikasi
; g x
g y
iii suatu prosedur batas atas, yaitu prosedur
untuk menemukan atau yang mendekati dari atas vR
i
untuk masalah relaksasi
R
i
dari setiap subproblem Q
i
; v
prosedur batas bawah, yaitu heuristik untuk menemukan solusi fisibel terhadap
masalah Q.
III PEMBAHASAN
3.1 Deskripsi Masalah
Masalah yang dibahas pada karya ilmiah ini adalah masalah produksi dan distribusi
zero -inventory
dengan sebuah
truk pengangkut dan urutan pelanggan yang tetap.
Fasilitas produksi
mempunyai tingkat
produksi yang terbatas, dan truk pengirim mempunyai waktu tempuh yang harus
diperhitungkan antarlokasi pelanggan. Setiap pelanggan memesan sejumlah permintaan
pada setiap time window yang pelanggan tentukan untuk menerima pengiriman. Umur
dari produk dimulai segera setelah pesanan pelanggan
selesai diproduksi,
yang mengakibatkan produk kadaluarsa dalam
waktu tertentu. Karena fasilitas produksi dan truk pengirim adalah sumber daya yang
terbatas, maka ada kemungkinan tidak semua pelanggan mendapatkan pengiriman yang
sesuai dengan time windownya. Jika suatu pelanggan terpilih menjadi pelanggan yang
menerima pengiriman, maka kapanpun truk pengirim sampai di lokasi pelanggan sebelum
batas awal time window akan terdapat waktu tunggu dan kapanpun truk pengirim sampai
setelah batas akhir time window, maka pengiriman terlambat sehingga pengiriman
ditolak.
Masalah ini merupakan permasalahan umum
yang dihadapi
dalam proses
pendistribusian barang.
Misalkan,
0,1,..., , ,..., S
i j n
melambangkan urutan dari n pelanggan, dengan pelanggan
i
menyatakan pabrik. Urutan pelanggan S dikatakan tetap bermakna bahwa untuk
sembarang pasangan pelanggan i dan j,
, ,
i j S
dengan
, i
j
jika kedua pelanggan i dan j tersebut termasuk pelanggan yang
menerima pengiriman
barang, maka
pelanggan i harus menerima pengiriman sebelum pelanggan j. Diasumsikan produk
memiliki umur yang terbatas, dinotasikan sebagai B, dengan
0. B
Umur dari pesanan pelanggan i, untuk setiap
, i
dimulai
segera setelah pesanan pelanggan i selesai diproduksi, dan akan berkurang selama
pelanggan i menunggu produksi pesanan pelanggan j. Fasilitas pabrik memiliki tingkat
produksi r yang terbatas,
, r
sehingga dibutuhkan sebanyak
d r satuan
waktu untuk memproduksi sejumlah pesanan sebanyak d dengan
d r bisa berupa
bilangan positif apa saja, tidak harus bilangan bulat, dan truk pengirim barang memiliki
waktu pengiriman yang diperhitungkan antara pelanggan i dan pelanggan j dinotasikan
sebagai
, i j
dengan
,
0,
i j
, i
. j
n
Setiap pelanggan
j ,
, j
S
memiliki permintaan pesanan sebanyak
j
d
dan time window
[ , ].
j j
a b
Permasalahannya ialah memilih suatu subhimpunan dari himpunan pelanggan S,
yaitu ,
S
untuk menerima pengiriman
sehingga jumlah total permintaan pelanggan yang dipenuhi adalah maksimum sementara
kendala time window pelanggan, kapasitas pabrik dan waktu tempuh truk pengirim serta
umur
produk semuanya
terpenuhi. Permasalahan tersebut dinotasikan sebagai
masalah P.
Dalam permasalahan
produksi dan
pendistribusian zero-inventory dengan n pelanggan didefinisikan
[0],[1],...,[ ],...,[ ] |[0] 0, 1 [ ] ,
i k
i n
1
, i
k k n
merupakan barisan parsial sembarang dari S yang
mempertahankan urutan di S, dan mendefinisikan jadwal produksi dan
distribusi. Jadi
merupakan solusi dari
masalah P
. Notasi
[i]
menyatakan pelanggan ke-i dalam
berikut pesanannya.
[0]
T
= waktu saat truk bermuatan meninggalkan pabrik dengan
[0] [ ]
[ ] i
i
T d
r
3
[ ] i
a = waktu awal penerimaan pada time window
pelanggan [i]
[ ] i
b
= waktu akhir penerimaan pada time window
pelanggan [i]
[ ] i
T
= waktu saat pelanggan [i] menerima pesanan dengan
[ ] [ ]
[ 1] [ 1],[ ]
max ,
,
i i
i i
i
T a
T
4
[ ] i
w
= waktu tunggu pada pelanggan [i] dengan
[ ] [ ]
[ 1] [ 1],[ ]
max 0, , 5
i i
i i
i
w a
T
[ ] i
= waktu keterlambatan pengiriman pelanggan [i] dengan
[ ] [ ]
[ ]
max 0, ,
i i
i
T b
6
[ ] i
l
= keterlambatan
umur produk
pelanggan [i], artinya lama waktu produk sudah kadaluarsa
sebelum sampai di pelanggan [i], dengan
[ ] [ ]
[ ] ,1
max 0, 7
h i
i h
h i
d l
T B
r
Pada 7,
,1 h
h h i
d r
mendefinisikan titik waktu di mana umur dari pesanan
pelanggan [i]
dimulai, sehingga
[ ] [ ]
,1 h
h h i
d B
r
mendefinisikan titik waktu ketika produk untuk pelanggan [i] kadaluarsa.
Ilustrasi untuk besaran yang didefinisikan dapat dilihat pada Contoh 10 dengan data
pelanggan, pesanan pelanggan dan time window
diberikan pada Tabel 1 serta data waktu pengiriman antarlokasi pelanggan
diberikan pada Tabel 2.
Tabel 1 Contoh pesanan dan time window pelanggan Pelanggan j
1 2
3 4
5 Pesanan pelanggan
j
d
30 40
60 30
40 Waktu awal penerimaan
j
a
19 26
31 32
36 Waktu akhir penerimaan
j
b
24 32
36 35
37 Tabel 2 Waktu pengiriman dalam satuan
waktu Waktu pengiriman
, i j
, i j
1 2
3 4
5 4
5 3
4 3
1 6
4 5
4 2
3 6
2 3
4 5
4 3
Contoh 10 Misalkan
0,1, 2,3, 4,5 ,
10
r
dan
22. B
Pabrik memproduksi semua pesanan pelanggan. Seluruh pesanan pelanggan selesai
diproduksi pada waktu
i i
T d
r
3 5
1 2
4
d d
d d
d r
r r
r r
30
40 60
30 40
10 10
10 10
10
20.
Truk meninggalkan pabrik setelah semua pesanan pelanggan selesai diproduksi, yaitu
waktu ke 20. Umur pesanan pelanggan, misalkan pelanggan ke-2, dimulai segera
setelah pesanan pelanggan ke-2 selesai diproduksi, yaitu pada waktu ke-7.
Misalkan ingin diketahui waktu kadaluarsa produk pesanan pelanggan 2.
2 1
2 1
h h
d d
d r
B B
r r
30 40
+22 10
10
29
Jadi waktu produk pesanan pelanggan ke-2 kadaluarsa
ialah pada
waktu ke-29.
Selanjutnya akan dicari waktu pelayanan
,
i
T
waktu tunggu
,
i
w
waktu keterlambatan
pengiriman
,
i
dan keterlambatan umur produk
,
i
l
untuk setiap
i
1
24 T
1
w
1
1
l
2
30 T
2
w
2
2
1 l
3
33 T
3
w
3
3
l
4
37 T
4
w
4
2
4
l
5
40 T
5
w
5
3
5
l
Proses penghitungan dapat dilihat pada Lampiran 2. Dari hasil penghitungan dapat
diketahui antara lain bahwa pelanggan ke 1 menerima pesanan pada waktu ke 24,
pelanggan 2 menerima pesanan pada waktu ke 30, dan seterusnya, tidak ada waktu tunggu
disetiap pelanggan, namun produk mengalami keterlambatan pengiriman ke pelanggan ke 4
sebanyak 2 satuan waktu dan ke pelanggan ke 5 sebanyak 3 satuan waktu, produk kadaluarsa
sebanyak 1 satuan waktu sebelum sampai ke pelanggan. Diagram waktu produksi dan
distribusi dapat dilihat pada Gambar 9.
Gambar 9 Ilustrasi Contoh 10. Pada Contoh 10, produk kadaluarsa
sebelum sampai ke tempat pelanggan. Dalam kasus seperti ini, jadwal produksi distribusi
dikatakan tidak fisibel. Selanjutnya akan dibahas mengenai kefisibelan
,
seperti dalam teorema berikut.
Definisi 18 Kefisibelan
Suatu jadwal
dikatakan fisibel berarti
ialah solusi fisibel dari masalah P jika
memiliki
[ ] i
dan
[ ]
0,
i
l
untuk setiap
[ ] .
i
Armstrong et al. 2008 Jika terdapat
[ ] ,
i
yang menyebabkan
[ ] i
atau
[ ]
0,
i
l
maka
bukan solusi fisibel. Pelanggan [i] dikatakan pelanggan
yang fisibel jika
[ ] i
dan
[ ]
0.
i
l
Dari Definisi 18, jadwal fisibel adalah jadwal yang memenuhi time window setiap
pesanan pelanggan
tanpa menyebabkan
pengiriman ke salah satu pelanggan terlambat dan
juga tidak
menyebabkan produk
kadaluarsa sebelum sampai di tempat pelanggan.
Contoh 11 Berdasarkan Contoh 10,
0,1, 2,3, 4,5
memiliki
5
3 0,
maka menurut Definisi 18,
adalah jadwal yang takfisibel. Adapun contoh jadwal yang fisibel dengan data seperti
pada Contoh
10 ialah
0, 2,3,5
penghitungan dapat dilihat di Lampiran 3 yang bagannya diperlihatkan pada Gambar 10
berikut.
Gambar 10 Bagan produksi dan distribusi jadwal fisibel
0, 2,3,5 .
= pelanggan ke-i = time window
= keterlambatan umur produk i
B =22
4 3
7 1
2 4
5 37
33 1
24 2
29 3
13 16
produksi distribusi
5
40 20
3 30
waktu
= pelanggan ke-i = time window
= waktu tunggu distribusi
31 36
4 2
26 produksi
19 29
10 3
14 5
2 3
5
i waktu
Saat urutan pelanggan S tetap, masalah P
menjadi non-trivial. Pada kasus khusus dengan time window yang sepenuhnya relax,
waktu tempuh di asumsikan instan, dan misalkan
1 2,3,...,
j j
n
d d
sehingga pelanggan 1 selalu menerima pengiriman.
Kemudian setelah pesanan pelanggan 1 diproduksi, pesanan pelanggan 1 hanya
mempunyai B unit waktu untuk memilih pesanan lain untuk diproduksi sebelum
kadaluarsa. Misalkan
1
j
X
jika pelanggan j dipilih untuk menerima pesanan dan
j
X
jika selainnya,
\{1}. j
S
Maka P menjadi:
\{1} \{1}
Max terhadap
, {0,1},
\ {1}
j j
j S j
j j S
j
G d X
d X r B
X j
S
atau masalah knapsack biner. Masalah knapsack
biner dikenal sebagai masalah NP- hard
maka masalah P menjadi kompleks.
Armstrong et al. 2008
3.2 Metode Heuristik
