Saat urutan pelanggan S tetap, masalah P
menjadi non-trivial. Pada kasus khusus dengan time window yang sepenuhnya relax,
waktu tempuh di asumsikan instan, dan misalkan
1 2,3,...,
j j
n
d d
sehingga pelanggan 1 selalu menerima pengiriman.
Kemudian setelah pesanan pelanggan 1 diproduksi, pesanan pelanggan 1 hanya
mempunyai B unit waktu untuk memilih pesanan lain untuk diproduksi sebelum
kadaluarsa. Misalkan
1
j
X
jika pelanggan j dipilih untuk menerima pesanan dan
j
X
jika selainnya,
\{1}. j
S
Maka P menjadi:
\{1} \{1}
Max terhadap
, {0,1},
\ {1}
j j
j S j
j j S
j
G d X
d X r B
X j
S
atau masalah knapsack biner. Masalah knapsack
biner dikenal sebagai masalah NP- hard
maka masalah P menjadi kompleks.
Armstrong et al. 2008
3.2 Metode Heuristik
Dalam penyelesaian masalah produksi dan distribusi zero inventory diperlukan algoritme
heuristik untuk menentukan batas bawah total permintaan yang dipenuhi dengan tetap
memperhatikan kefisibelan .
Pada bagian ini akan
dibahas metode
heuristik yang
menentukan batas
bawah dari
total permintaan yang dipenuhi pada jadwal fisibel.
Sebelum membahas heuristik batas bawah diberikan definisi berikut.
Definisi 19 Solusi optimal
Misalkan
G
adalah total permintaan yang diperoleh dari jadwal fisibel ,
dengan
[ ] [ ]
.
i i
G d
8
Masalah P dikatakan terselesaikan jika terdapat jadwal fisibel yang optimal
sehingga
max{ | untuk setiap jadwal fisibel } 9
G G
G
Armstrong et al. 2008
Definisi 20 Potensi dari pelanggan [ i]
Untuk setiap barisan parsial
[0],[1],
...,[ ],...,[ ] |1
, i
k k
n
dengan
[ ] ,
i
potensi dari pelanggan [i] didefinisikan sebagai
[ ] [ ]
[ ] i
i i
p T
a
10 yang menunjukkan seberapa banyak waktu
pengiriman ke pelanggan [i] yang bisa dikurangi tanpa menyebabkan waktu tunggu
di [i].
Armstrong et al. 2008 Misalkan
merupakan barisan parsial yang berisi pelanggan
[ ] [ ] [ ] h
i j
dengan
[ ] j
dan
[ ]
0.
i
p
Di sini
[ ] [ ]
h i
berarti pelanggan [h] dilayani sebelum pelanggan [i].
Proposisi 1
Misalkan diberikan sembarang barisan parsial
yang memuat pelanggan
[ ], h
[ ], i
[ ] j
dengan
[ ] [ ]
[ ], h
i j
[ ]
0.
j
Jika
[ ] [ ]
,
i j
p
maka penghapusan
pelanggan [h] dari
tidak akan mengubah ketakfisibelan dari [j].
Armstrong et al. 2008 Bukti Proposisi 1 dapat dilihat di Lampiran 4.
Contoh 12 Berdasarkan Contoh 10, barisan parsial
0,1, 2,3, 4,5
merupakan jadwal yang takfisibel karena
5
3.
Misalkan 3,
i
5. j
Dari persamaan 10, diperoleh
3 3
3
33 31 2. p
T a
Jadi
3 5
. p
Misalkan 1.
h Penghapusan pelanggan 1
dari
menghasilkan
0, 2,3, 4,5 ,
dengan
17 T
2
2
26 T
3
3
31 T
4
4
35 T
5
1
5
38 T
penghitungan lengkap dapat dilihat di Lampiran 5. Karena
5
1 0,
maka dari Definisi 18,
0, 2,3, 4,5
merupakan jadwal yang takfisibel. Ini berarti, setelah
1 h
dihapus,
5 j
tetap takfisibel. Proposisi 1 bermakna misalkan terdapat
pelanggan
[ ], h
[ ], i
[ ] j
dengan
[ ] [ ]
[ ]. h
i j
Jika terdapat keterlambatan pengiriman ke pelanggan
[ ] j
yang menyebabkan pelanggan
[ ] j
menjadi takfisibel dan waktu yang dapat dikurangi dari pelanggan
[ ] i
lebih besar dari waktu keterlambatan pelanggan
[ ], j
maka
penghapusan pelanggan
[ ] h
dari jadwal tidak akan mengubah ketakfisibelan pelanggan
[ ]. j
Proposisi 1 juga bermakna bahwa tidaklah efisien menghapus pelanggan
[ ] h
untuk ditukar kefisibelannya dengan pelanggan
[ ] j
jika terdapat pelanggan
[ ] i
di antara pelanggan
[ ] h
dan
[ ] j
di dalam
dengan
[ ] [ ]
.
i j
p
Misalkan
adalah barisan parsial
jadwal optimal untuk P. Didefinisikan
\ , S
11 yaitu himpunan dari pelanggan yang dihapus
dari S saat didapatkan solusi optimal
.
Misalkan G adalah jumlah permintaan
optimal yang didapat dari .
Metode heuristik yang digunakan dalam karya ilmiah
ini mencari
bukan
dan diakhiri dengan batas bawah dinotasikan dengan G
. Setiap iterasi dimulai dengan barisan parsial
yang diberikan dan pada awalnya dimisalkan
. S
Selama proses iterasi, algoritme heuristik batas bawah mencari
pesanan i,k, dengan
1 ,
i k
n
,
, i k
dan i
k
diperbolehkan, untuk dihapus secara permanen dari
sehingga nilai
, 0,
i i
i i
l
G d
menjadi lebih baik dengan
\{ , } max{ \{ , } |
, ,
}. 12 G
i k G
i k i
k i k
Setelah pesanan i,k dihapus dari ,
barisan parsial
yang berkurang
\ , , i k
menjadi input barisan parsial berikutnya. Pencarian berlanjut sampai
menjadi fisibel. Armstrong et al. 2008
Saat n besar misalnya 50, penghitungan menyeluruh
dari semua
kemungkinan pasangan i,k di setiap iterasi untuk
mengidentifikasikan i,k bisa menjadi tidak efisien. Untuk menyelesaikan permasalahan
dengan n yang besar, proposisi berikut dapat digunakan untuk mempercepat pencarian
i,k.
Proposisi 2
Untuk setiap
yang diberikan yang mengandung
[ ], i
[ ], i
[ ], v
dan
[ ], z
dengan ,
i i
v z
[ ]
0,
z
dan
[ ] [ ]
,
v z
p
jika
| | 2
dan
[ ] ,
z
maka
[ ],[ ] . i
i
Armstrong et al. 2008 Bukti Proposisi 2 dapat dilihat di Lampiran 6.
Proposisi 2 berimplikasi bahwa jika
2,
dan misalkan pelanggan
[ ] z
ialah pelanggan yang mengalami keterlambatan
pengiriman dan pelanggan
[ ] v
adalah pelanggan terdekat yang memesan sebelum
pelanggan
[ ], z
dengan
[ ] [ ]
,
v z
p
maka
{ , }, i k
dengan
, i
k
yang mungkin hanya salah satu dari pasangan berikut:
{ , |1 ,
}, i k
i v v
k z
13a
{ , | }.
i k v
i k
n
13b Armstrong et al. 2008
Contoh 13 Berikut akan diberikan contoh penggunaan
metode heuristik terhadap 5 pelanggan,
0,1, 2, 3, 4, 5 ,
dengan data permintaan serta time window pelanggan mengikuti Tabel
1 dan data waktu pengiriman antarlokasi pelanggan mengikuti Tabel 2 serta
22 B
dan
10. r
Berdasarkan penghitungan
yang telah
dilakukan sebelumnya,
jadwal
0,1, 2,3, 4,5
merupakan jadwal
yang takfisibel karena
5
3
dapat dilihat di Contoh 10. Diketahui
3 5
. p
Disini
3 v
dan 5,
z dan
5. n
Berdasarkan pada 13a dan 13b, pasangan i,k yang mungkin
ialah pasangan yang memenuhi pertaksamaan
1 3,3
5 i
k
atau 3 5.
i k
Berikut akan
ditampilkan tabel
kemungkinan pelangggan
yang dihapus
dari jadwal
berdasarkan 13a dan 13b.
Tabel 3 Tabel kefisibelan jadwal dengan setiap kemungkinan pasangan pelanggan yang dihapus dari jadwal dan nilai
G
untuk setiap jadwal fisibel
\
, i k
Kefisibelan
G
\{1,3} 0, 2, 4,5
1,3
fisibel 110
\{1, 4} 0, 2,3,5
1, 4
fisibel 140
\{2,3} 0,1, 4,5
2,3
fisibel 100
\{2, 4} 0,1,3,5
2, 4
fisibel 130
\{3} 0,1, 2, 4,5
3,3
fisibel 140
\{3, 4} 0,1, 2,5
3, 4
takfisibel -
\{3,5} 0,1, 2, 4
3,5
fisibel 100
\{4} 0,1, 2,3,5
4, 4
fisibel 170
\{4,5} 0,1, 2,3
4,5
fisibel 130
\{5} 0,1, 2,3, 4
5,5
fisibel 160
Jadwal
\{3, 4} 0,1, 2,5
merupakan jadwal yang takfisibel, maka
\{3, 4}
menjadi input barisan parsial berikutnya dan pencarian berlanjut sampai barisan parsial
\{3, 4,5} 0,1, 2
ditemukan, dengan nilai
70. G
Berdasarkan persamaan 12, diperoleh batas bawah dari total permintaan yang fisibel
ialah
170 G
penghitungan lengkap dapat dilihat di Lampiran 7. Berikut diberikan
gambar bagan produksi dan distribusi jadwal
0,1, 2,3,5
dengan
170. G
Gambar 11 Bagan produksi dan distribusi jadwal
0,1, 2,3,5 .
IV PENYELESAIAN MASALAH PRODUKSI DAN DISTRIBUSI ZERO INVENTORY
Metode heuristik digunakan hanya untuk mencari batas bawah. Jadwal fisibel yang
ditemukan menggunakan metode heuristik tidak terjamin keoptimalannya, maka jumlah
permintaan dari jadwal yang ditemukan menggunakan metode heuristik dijadikan
batas bawah untuk mencari jadwal yang optimal. Pencarian jadwal yang akan dibahas
dalam karya ilmiah ini menggunakan proses pencarian pencabangan dan pembatasan
menggunakan search tree. Untuk setiap barisan pelanggan
S
yang diberikan, didefinisikan search tree sebagai berikut.
Misalkan simpul
i
menyatakan pelanggan , i
dengan 1 ,
i n
dan simpul 0 menyatakan
pabrik. Bersumber dari setiap simpul ,
i dengan 0
, i
n terdapat tepat
1 n
cabang yang berbeda yang mengarah ke simpul
, j
dengan
1, 2,...,
1, j
i i
n
dan . n
Artinya, dari simpul 0, terdapat n cabang yang keluar
mengarah ke simpul 1, 2,..., n pada level 1. Dari simpul 1 pada level 1 pada tree, terdapat
= pelanggan ke-i = time window
= waktu tunggu i
produksi distribusi
1 2
3 7
3 5
13 17
1 21
2 27
3 30
5
36 31
waktu
1 n
cabang yang keluar mengarah ke simpul 2,3,..., n pada level 2, sementara dari simpul
1 n
pada level 1 hanya mempunyai 1 cabang keluar yang mengarah ke simpul n di level 2.
Tree yang dihasilkan merupakan tree yang
tidak seimbang, memiliki
1 n
level dan memiliki
0,1,.., k
n
n k n k
total simpul. Gambar 12 menunjukkan contoh search tree
dengan semua kemungkinan jadwal dengan
5. n
Gambar 12 Search tree dengan semua kemungkinan jadwal dengan
5. n
Dapat dilihat, sembarang barisan parsial sepanjang cabang dari simpul 0 ke sembarang
simpul i dalam tree tersebut mendefinisikan suatu jadwal .
Misalkan
[ ]
[0],[1],...,[ ],[ ] |1 [ ]
k
i k
k
n
ialah barisan parsial fisibel yang menunjukkan urutan dari root pabrik ke
simpul pelanggan pada level k sepanjang cabang. Beberapa definisi di bawah ini
digunakan untuk menentukan parameter yang terkait dengan
[ ]
.
k
Definisi 21
Keterlambatan waktu
pengiriman simpul [ i]
Keterlambatan waktu pengiriman simpul
[ ]
[ ] ,
k
i
ialah
[ ] [ ]
[ ] [ ]
T i
i i
i
s b
T w
14 yang menyatakan penundaan maksimum
dalam waktu pengiriman ke simpul [i] tanpa membuat pengiriman terlambat.
Armstrong et al. 2008 Definisi
22 Keterlambatan
waktu pengiriman jadwal
[ ] k
Keterlambatan pengiriman pada barisan parsial
[ ]
,
k
ialah
[ ]
[ ] [ ]
min{ | [ ]
}
k
T T
i k
s s
i
15 yang menyatakan penundaan maksimum pada
waktu pengiriman dalam barisan parsial
[ ]
.
k
Armstrong et al. 2008 Contoh 14
Jadwal
5
\{4} 0,1, 2,3,5
adalah jadwal fisibel dengan
1
3
T
s
3
6
T
s
2
5
T
s
5
1
T
s
5
\{4}
1
T
s
proses
penghitungan dapat
dilihat di
Lampiran 8.
1
3
T
s
berarti penundaan maksimum waktu pengiriman ke simpul 1
adalah 3 satuan waktu dan
5
\{4}
1
T
s
berarti setiap simpul di dalam
5
\{4}
dapat ditunda sebanyak 1 satuan waktu tanpa mengubah
kefisibelan
5
\{4}.
Bagan produksi-
distribusi diberikan pada Gambar 13 berikut.
Gambar 13 Bagan produksi dan distribusi jadwal
5
\{4} 0,1, 2,3,5
setelah distribusi ditunda 1
satuan waktu.
Definisi 23 Keterlambatan
lifespan dari simpul [
i]
Keterlambatan lifespan dari simpul
[ ], i
dengan
[ ]
[ ] ,
k
i
dinotasikan sebagai
[ ]
,
L i
s
dengan
[ ] [ ]
[ ] 1,..,
[ ]
L i
i h
h i
s B
T d
r
16 mendefisinisikan
penundaan maksimum
waktu pengiriman ke simpul
[ ] i
tanpa membuat produk kadaluarsa.
Armstrong et al. 2008
Definisi 24 Keterlambatan lifespan dari
jadwal
[ ] k
Misalkan
[ ] k
L
s
adalah keterlambatan lifespan
dari barisan parsial
[ ]
,
k
dengan
[ ]
[ ] [ ]
min{ | [ ]
}
k
L L
i k
s s
i
17
[ ] k
L
s
mendefinisikan penundaan maksimum pada waktu pengiriman pada barisan parsial
[ ] k
tanpa melanggar kendala lifespan di setiap simpul.
Armstrong et al. 2008
Contoh 15 Berdasarkan Contoh 13 didapatkan barisan
parsial
yang fisibel
yaitu
5
\{4} 0,1, 2,3,5
dengan
1
4
L
s
3
4
L
s
2
2
L
s
5
3
L
s
5
\{4}
2
L
s
proses perhitungan dapat dilihat di Lampiran
9.
1
4
L
s
berarti penundaan maksimum waktu pengiriman ke simpul 1 adalah 4 satuan
waktu dan
5
\{4}
2
L
s
berarti setiap simpul dalam
5
\{4}
dapat ditunda sebanyak 2 satuan
waktu tanpa
membuat produk
kadaluarsa di setiap simpul pada
5
\{4}.
Bagan produksi dan distribusi diberikan pada Gambar 14 berikut.
Gambar 14 Bagan produksi dan distribusi jadwal
5
\{4} 0,1, 2,3,5
setelah distribusi ditunda 2 satuan waktu.
= pelanggan ke-i = time window
= penundaan pengiriman i
produksi distribusi
1 2
3 31
28 22
5 5
3 2
1 3
7 13
17 36
waktu 18
= pelanggan ke-i = time window
= penundaan pengiriman i
produksi 1
2 3
5
19 23
29 32
37 distribusi
5 3
2 1
3 7
13 17
waktu
Penyelesaian masalah
produksi dan
distribusi zero inventory adalah sebagai berikut.
Analisis yang
akan dibahas
memperkenalkan skema pencabangan yang menjamin pencarian cabang hanya untuk
jadwal yang fisibel dan skema pembatasan yang mem-fathom solusi fisibel yang lebih
kecil dari batas bawah.
4.1 Proses Pencabangan
