2.2 Pemrograman Linear
Pemrograman linear PL adalah suatu masalah
optimisasi yang
memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut :
a Tujuan masalah ialah memaksimumkan
atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi
yang akan
dimaksimumkan atau
diminimumkan disebut fungsi objektif. b
Nilai variabel keputusan harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala
harus berupa persamaan linear atau pertaksamaan linear.
c Ada pembatasan tanda untuk setiap
variabel. Winston 2004
2.3 Pemrograman Integer
Pemrograman integer
integer programming
IP adalah
suatu model
pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat integer.
Jika semua variabel harus berupa bilangan bulat, maka masalah tersebut dinamakan pure
integer programming
. Jika hanya sebagian yang harus berupa bilangan bulat, maka
disebut mixed integer programming. IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0
atau 1 disebut 0-1 IP.
Garfinkel Nemhauser 1972
Definisi 3 Masalah Knapsack
Masalah knapsack adalah IP yang mempunyai sebuah kendala. Berikut adalah
masalah knapsack dengan setiap variabel bernilai 1 atau 0.
1 1 2 2
1 1 2 2
max ...
terhadap ...
0 atau 1 1, 2,...,
n n n n
i
z c x
c x c x
a x a x
a x b
x i
n
Nilai c
i
adalah benefit bila i terpilih, b adalah jumlah sumber daya yang tersedia, dan a
i
adalah jumlah sumber daya yang dipakai oleh i
. Bila x
i
bernilai 1, artinya x
i
dipilih. Bila x
i
tidak dipilih maka x
i
bernilai 0. Winston 2004
Contoh 1 Misalkan PT Alam Jaya Permai Finance
mempertimbangkan 2 penanaman modal. Penanaman modal 1 akan memberikan hasil
bersih sebesar 3,000 dan penanaman modal 2 akan memberikan hasil bersih sebesar 2,000.
Setiap penanaman modal membutuhkan suatu arus kas tertentu, yaitu Rp 1.000,00 untuk
penanaman modal 1, dan Rp 2.000,00 untuk penanaman modal 2. Perusahaan tersebut
memiliki sebanyak Rp 10.000,00 untuk menanam modal. Maka masalah tersebut
dapat diformulasikan
sebagai masalah
knapsack dengan penjelasan sebagai berikut.
Misalkan 1, jika penanaman modal dilakukan
0, jika selainnya i
xi
Masalah knapsack dapat dituliskan sebagai
1 2
1 2
max 3
2 terhadap
2 10
0 atau 1 1, 2
i
z x
x x
x x
i
Setelah digunakan LINGO 8.0 dapat dilihat pada Lampiran 1 ditemukan solusi yaitu z = 5
dengan rincian x
1
= 1 dan x
2
= 1 yang berarti penanaman modal 1 dan modal 2 keduanya
dilakukan sehingga perusahaan mendapatkan hasil bersih sebesar Rp 5.000,00.
2.4 Graf
Beberapa konsep graf yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah sebagai berikut.
Definisi 4 Graf
Suatu graf G adalah pasangan terurut
, ,
V E
dengan
V
himpunan takkosong dan hingga dan E adalah himpunan pasangan tak
terurut yang menghubungkan elemen-elemen
V
dan dinotasikan dengan
, . G
V E
Elemen dari
V
dinamakan simpul nodevertex, dan elemen E dinamakan sisi
edge, dinotasikan sebagai {i, j}, yaitu sisi yang menghubungkan simpul
i
dengan simpul
, j
dengan
, .
i j V
Foulds 1992 Contoh 2
G
:
Gambar 1 Graf
, .
G V E
Graf
, G
V E
pada Gambar 1 mempunyai himpunan
simpul
1 2
3 4
, , , V
v v v v
dan mempunyai himpunan sisi
1 2
, ,
E v v
1 3
2 4
3 4
, ,
, ,
, .
v v v v
v v v
2
v
1
v
4
v
3
Definisi 5 Digraf
Digraf atau graf berarah directed graph adalah pasangan terurut
, , V A
dengan
V
adalah himpunan takkosong dan terbatas dari simpul-simpul dan
A
adalah himpunan pasangan terurut elemen-elemen berbeda di
. V
Elemen dari
A
biasa disebut sisi berarah dan dituliskan sebagai
, i j
dengan
, .
i j V
Foulds 1992
Contoh 3
D
:
Gambar 2 Digraf .
Digraf
, D
V A
pada Gambar 2 ialah digraf dengan himpunan simpul
1 2
3 4
, , ,
V v v v v
dan himpunan sisi berarah
1 2
, ,
A v v
2 3
2 4
3 1
3 4
, ,
, ,
, ,
, .
v v v v
v v v v
Definisi 6
Underlying Graph
Underlying graph dari digraf D adalah
graf yang diperoleh dari digraf D dengan mengganti semua sisi berarah
, u v
atau
, v u
dengan sisi edge uv. Chartrand Oellermann 1993
Contoh 4
1
G
:
Gambar 3 Graf
1
, .
G V E
Graf G
1
merupakan underlying graph dari digraf D pada Contoh 3.
Definisi 7 Asimetrik
Suatu digraf D dikatakan asimetrik jika setiap pasang simpulnya dihubungkan oleh
paling banyak satu sisi berarah. Chartrand Oellermann 1993
Contoh 5
2
D
:
Gambar 4 Digraf
2
, . G
V A
Digraf D
2
merupakan digraf tidak asimetrik dan digraf D pada Contoh 3 merupakan digraf
asimetrik karena hanya ada sebuah sisi berarah yang menghubungkan antarsimpul
pada digraf D. Definisi 8
Walk
Suatu walk pada graf
, G
V E
adalah suatu barisan simpul dan sisi dari
G
dengan bentuk
1 1
2 2
2 3
1
, ,
, ,
, ,...,
, ,
n n
v v v
v v v
v v
,
n
v
atau ditulis
1 2
, ,..., .
n
v v v
Walk tersebut menghubungkan simpul
1
v
dengan
.
n
v
Suatu walk
1 2
, ,...,
n
v v v
dikatakan tertutup jika
1 n
v v
. Foulds 1992
Contoh walk pada graf
1
G
pada Contoh 4 ialah
1 2
3 1
2 4
, , , , , v v v v v v
. Definisi 9
Cycle
Cycle merupakan walk
1 2
, ,...,
n
v v v
dengan
3 n
,
1 n
v v
dan semua simpul berbeda. Chartrand Oellermann 1993
Definisi 10 Graf Terhubung Graf
, C
V E
disebut terhubung
connected jika untuk setiap pasang simpul
i
v
dan
j
v
dalam himpunan
V
terdapat path dari
i
v
ke
j
v
. Foulds 1992
Ilustrasi untuk graf terhubung dan graf tak terhubung diberikan dalam Contoh 6.
Graf
1
C
adalah contoh graf yang tidak terhubung karena tidak terdapat path dari
1
v
ke
4
, v
sedangkan graf
2
C
adalah graf yang terhubung.
, D
V A
v
1
v
4
v
2
v
3
v
1
v
4
v
3
v
2
v
1
v
3
v
2
Contoh 6
1
C
:
2
C
:
Gambar 5 Contoh graf tak terhubung dan graf terhubung.
Definisi 11 Incidence dan Adjacent
Misalkan diberikan graf
, ,
G V E
dengan
, e
u v E
, , ,
u v V
maka
u
dan
v
dikatakan adjacent di
G
dan
e
incidence dengan
u
dan
. v
Chartrand Oellermann 1993
Contoh 7
3
: C
Gambar 6 Graf C
3
=V,E. Dari Gambar 6 diketahui bahwa simpul v
1
dan v
3
adjacent di
3
, C
sedangkan simpul v
1
dan v
2
tidak adjacent di
3
. C
Sisi e
1
incidence dengan simpul v
1
dan v
3
sedangkan e
1
sisi tidak incidence dengan v
2
.
Definisi 12 Tree
Tree adalah graf yang terhubung yang
tidak mempunyai cycle. Chartrand Oellermann 1993
Contoh 8 T
:
Gambar 7 Contoh tree.
Definisi 13 Rooted TreeTree Berakar
Suatu tree berarah directed tree adalah suatu digraf asimetrik sedemikian sehingga
underlying graph nya adalah suatu tree.
Suatu tree berarah T dikatakan rooted tree jika terdapat simpul r dari T, yang dinamakan
root akar, sehingga untuk setiap simpul v
dari T terdapat path r-v di T. Chartrand Oellermann 1993
Contoh 9 T
1
:
Gambar 8 Contoh rooted tree. Simpul v
1
pada rooted tree T
1
merupakan root dari tree T
1
. Jika T suatu rooted tree, maka biasanya root digambarkan pada bagian atas
dari rooted tree T dan disebut dengan level 0. Simpul-simpul yang adjacent dengan root
diletakkan satu level di bawahnya, yaitu level 1 dan seterusnya.
Definisi 14 HeightTinggi
Suatu rooted tree T memiliki height tinggi h jika terdapat bilangan bulat terbesar
h sedemikian sehingga terdapat simpul pada
level h. Chartrand Oellermann 1993
Height dari rooted tree T
1
adalah 2.
Definisi 15 Child dan ParentAnak dan
Orang tua
Jika simpul
v T
adjacent dengan simpul
u dan u terletak di level di bawah v maka u
dikatakan child anak dari v dan v disebut parent
orang tua dari u. Chartrand Oellermann 1993
Simpul v
3
merupakan child dari v
1
dan v
1
merupakan parent dari v
3
di rooted tree T
1
pada Contoh 9. Definisi 16
LeafDaun
Simpul yang tidak mempunyai child anak disebut daun leaf.
Chartrand Oellermann 1993 Simpul v
2
, v
4
, dan v
5
di rooted tree T
1
pada Contoh 9 merupakan daun.
v
2
v
4
v
1
v
3
v
3
v
2
v
4
v
1
v
3
v
2
v
4
v
1
e
1
e
2
e
3
v
3
v
5
v
1
v
4
v
2
v
4
v
5
v
1
v
3
v
2
Definisi 17 Balanced TreeTree Seimbang
Suatu rooted tree T dengan tinggi h dikatakan seimbang balanced jika setiap
daun dari T berada pada level h atau h-1. Chartrand Oellermann 1993
Rooted tree T
1
pada Contoh 9 adalah sebuah tree
yang seimbang.
2.5 Traveling Salesman Problem
Kategori