TRANSFORMASI METRIK SCHWARZSCHILD Kajian Teoritis Transformasi Metrik Schwarzschild Dalam Sistem Dua Koordinat

dinyatakan dalam ruang spatial berkoordinat bola. Dari ruang berkoordinat bola tersebut dilakukan transformasi ke dalam koordinat kartesan dengan titik awal di koordinat 0,0,R . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ungkapan metrik Schwarzschild tersebut mengandung dua suku : 1 suku pertama berkorespondensi dengan elemen garis dalam kerangka dipercepat beraturan dalam ruang- waktu datar flat space- time 2 suku kedua mengandung unsur kelengkungan curvature yang dihubungkan dengan penyimpangan geodesik.

4.2 TRANSFORMASI METRIK SCHWARZSCHILD

Solusi persamaan gravitasi Einstein untuk partikel simetri bola statik, tak berotasi, tak bermuatan diberikan dalam bentuk metrik Schwarzschild. Metrik tersebut dalam koordinat −4 � � = ct, r , � , � dinyatakan dalam bentuk � 2 �� 2 = − �1 − 2 � � � � 2 �� 2 + �1 − 2 � � � −1 �� 2 + � 2 �� 2 + ��� 2 ��� 2 4.5 Dengan � = �� � 2 4.6 dan M adalah massa partikel statik bersimetri bola di O. Jika massa partikel tersebut dilenyapkan M = 0, metrik 4.5 akan kembali ke bentuk metrik ruang- waktu Minkowski. Metrik Minkowski ini merupakan metrik ruang-waktu datar karena dengan melakukan transformasi dari koordinat bola ke koordinat Kartesian akan diperoleh metrik dengan tensor metrik sama dengan delta Kronecker. Selanjutnya dilakukan transformasi ke koordinat kartesian x, y, z dengan pusat di sumbu z pada jarak R dari O yang dirumuskan sebagai Universitas Sumatera Utara Y Z X Ф ө r r, ө,Ф R Gambar 4.1 Koordinat Bola � = � ���� ���� , � = � sin� ���� , � = ����� − � 4.7 Persamaan 4.7 diatas dapat ditulis menjadi � = �� 2 + � 2 + � + � 2 4.8 Dengan mengambil diferensialnya, diperoleh �� = � � �� + � � �� + � + � � �� 4.9 Yang jika dikuadratkan menghasilkan �� 2 = � 2 �� 2 +� 2 �� 2 +�+� 2 �� 2 +2������+2��+�����+2��+����� � 2 +� 2 +�+� 2 4.10 Dengan mendiferensialkan persamaan 4.7 maka diperoleh �� = �������� �� + ��������� �� − ��������� �� �� = �������� �� + ��������� �� + ��������� �� 4.11 �� = ���� �� − ����� �� Yang jika kita mengkuadratkan jumlah persamaan 4.11. diperoleh Universitas Sumatera Utara �� 2 + �� 2 + �� 2 − �� 2 = � 2 �� 2 + ��� 2 ��� 2 4.12 Dengan mengisikan pers. 4.8, 4.10 dan 4.12 ke dalam pers. 4.5 diperoleh −� 2 �� 2 = − �1 − 2� �� 2 +� 2 +�+� 2 � � 2 �� 2 + �1 − 2� �� 2 +� 2 +�+� 2 � −1 � 2 �� 2 +� 2 �� 2 + � 2 +� 2 +�+� 2 � + � 2 �� 2 + 2 ������ + 2�� + ����� + 2�� + ����� � 2 + � 2 + � + � 2 + �� 2 + �� 2 + �� 2 −�� 2 −� 2 �� 2 = − �1 − 2� �� 2 +� 2 +�+� 2 � � 2 �� 2 + �1 − 2� �� 2 +� 2 +�+� 2 � −1 � 2 �� 2 +� 2 �� 2 + � 2 +� 2 +�+� 2 � + � 2 �� 2 + 2 ������ + 2�� + ����� + 2�� + ����� � 2 + � 2 + � + � 2 + �� 2 + �� 2 + �� 2 − � 2 �� 2 + � 2 �� 2 + � + � 2 �� 2 + 2 ������ + � 2 + � 2 + � + � 2 2 �� + ����� + 2�� + ����� � 2 + � 2 + � + � 2 −� 2 �� 2 = − �1 − 2� �� 2 +� 2 +�+� 2 � � 2 �� 2 + �−1 + �1 − 2� �� 2 +� 2 +�+� 2 � −1 � × � 2 �� 2 + � 2 �� 2 + � + � 2 �� 2 + 2 ������ + 2�� + ����� � 2 + � 2 + � + � 2 +2��+����� � 2 +� 2 +�+� 2 + �� 2 + �� 2 + �� 2 4.13 Jika pada pecahan dalam bentuk di atas masing-masing pembilang dan penyebut dibagi dengan R, maka bentuk di atas dapat dituliskan menjadi −� 2 �� 2 = − ⎝ ⎛1 − 2 �� �1 + � 2 � � � + � 2 + � 2 + � 2 � 2 ⎠ ⎞ � 2 �� 2 + �� 2 + �� 2 + �� 2 + �1 + 2 � � + � 2 + � 2 + � 2 � 2 � −1 ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ −1 + ⎝ ⎛1 − 2 �� �1 + � 2 � � � + � 2 + � 2 + � 2 � 2 ⎠ ⎞ −1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ × � � 2 � 2 �� 2 + � 2 � 2 �� 2 + �1 + � �� 2 �� 2 + 2 �� � 2 ���� + 2 � � � 1 + � �� ���� + 2 � � � 1 + � �� ����� 4.14 Universitas Sumatera Utara Selanjutnya ditinjau daerah kecil lokal di sekitar pusat serta diasumsikan bahwa R cukup besar sehingga | ��|, |��| dan |��| 1. Namun dalam hal ini tidak diasumsikan mR 1 sehingga tidak digunakan pendekatan medan lemah. Dengan mengabaikan suku orde kedua dalam | ��|, |��| dan |��| pada pers. 4.14, diperoleh ungkapan orde pertama metrik Schwarzschild sebagai −� 2 �� 2 = − �1 − 2 � � + 2 �� � 2 � � 2 �� 2 + �� 2 + �� 2 + �1 − 2 � � + 2 �� � 2 � −1 �� 2 + 4 � � � 1 − 2 � � + 2 �� � 2 � −1 � � � ���� + � � ����� 4.15 Dari metrik 4.15 di atas, tampak bahwa metrik tersebut mengandung dua bagian yaitu bagian tensor metrik diagonal yang nantinya akan ditunjukkan sama dengan elemen garis kerangka dipercepat seragam. −� 2 �� 2 = − �1 − 2 � � + 2 �� � 2 � � 2 �� 2 + �� 2 + �� 2 + �1 − 2 � � + 2 �� � 2 � −1 �� 2 Serta bagian tensor metrik tak diagonal yang menyumbang pada kelengkungan. 4 � � � 1 − 2 � � + 2 �� � 2 � −1 � � � ���� + � � �����

4.3 KERANGKA DIPERCEPAT SERAGAM