��
� ′
= �
��
� ′
��
�
��
� �
�=1
2.17 dengan
� = 1,2,3,4, … , �
2.3.2 Koordinat Kurvalinier
2.3.2.1 Koordinat Kurvalinier Ortogonal
Jika diperhatikan pada Gambar 2.2 permukaan-permukaan �
1
= �
1
, �
2
= �
2
, �
3
= �
3
dimana �
1
, �
2
, �
3
adalah konstanta, disebut permukaan-permukaan koordinat, dan setiap pasangan permukaan-permukaan ini berpotongan melalui kurva-kurva yang disebut
kurva-kurva dan garis-garis koordinat Gambar 2.2. Bila permukaan-permukaan koordinat ini berpotongan tegak lurus, maka sistem koordinatnya disebut ortogonal.
Kurva-kurva koordinat �
1
, �
2
��� �
3
dari sistem kurvalinear ini analog dengan sumbu- sumbu koordinat
�, �, � dalam sistem koordinat tegak lurus.
2.3.1.2 Vektor Satuan dalam Sistem Koordinat Kurvalinier
Misalkan � = ��� + ��� + �̂� adalah vektor kedudukan dari sebuah titik P. maka persamaan
2.14 dapat ditulis sebagai � = ��
1
, �
2
, �
3
. Sebuah vektor singgung pada kurva �
1
di P dengan
�
2
dan �
3
adalah konstanta adalah ��
��
1
, ��
��
2
, ��
��
3
2.18
masing-masing adalah vektor singgung terhadap kurva dengan koordinat: �
1
, �
2
, �
3
. Maka vektor-vektor satuan dalam masing-masing arah koordinat kurvalinier ini adalah:
ê
1
= ��
��
1
� �� ��
1
� =
1 ℎ
1
�� ��
1
, ê
2
= ��
��
2
� �� ��
2
� =
1 ℎ
2
�� ��
2
, ê
3
= ��
��
3
� �� ��
3
� =
1 ℎ
3
�� ��
3
2.19
Universitas Sumatera Utara
dengan ℎ
1
= �
�� ��
1
�, ℎ
2
= �
�� ��
2
� , ℎ
3
= �
�� ��
3
� adalah panjang vektor-vektor singgung yang bersangkutan atau disebut juga sebagai
faktor skala.
Uraian di atas memberikan bentuk pernyataan untuk sistem koordinat ortogonal yang ditinjau dengan berlaku syarat:
ê
1
. ê
2
= ê
2
. ê
3
= ê
3
. ê
1
= 0 2.20
yang ketiga vektor satuan ê
1
, ê
2
, ê
3
ini membentuk himpunan vektor satuan koordinat kurvalinier Gambar 2.3. Dalam hal seperti ini penggunaan sistem koordinat kurvalinier
yang sesuai seperti koordinat bola ternyata mengalihkan persoalan menjadi sederhana untuk ditangani.
2.3.2.3 Koordinat Kurvalinier Umum
z
y
x u1
u2 er
e φ
e θ
θ φ
r
Pr, ө,Ф
Gambar 2.3 Sistem koordinat kurvalinier bola. Melly Frizha, 2012
Universitas Sumatera Utara
Dari � = ��
1
, �
2
, �
3
kita peroleh �� =
�� ��
1
��
1
+
�� ��
2
��
2
+
�� ��
3
��
3
= ℎ
1
��
1
ê
1
+ ℎ
2
��
2
ê
2
+ ℎ
3
��
3
ê
3
Maka diferensial dari panjang busur �� ditentukan dari ��
2
= �� . ��. Untuk sistem
ortogonal, ��
2
= ℎ
1 2
��
1 2
+ ℎ
2 2
��
2 2
+ ℎ
3 2
��
3 2
��
2
= � ℎ
� 2
3 �=1
��
� 2
2.21
Untuk sistem-sistem kurvalinier yang tak ortogonal maka bentuk ��
2
tidak akan memiliki bentuk yang sederhana seperti sebelumnya. Tapi secara umum dapat dituliskan sebagai
berikut: ��
2
= �
11
��
1 2
+ �
12
��
1
��
2
+ �
13
��
1
��
3
+ �
21
��
2
��
1
+ �
22
��
2 2
+ �
23
��
2
��
3
+ �
31
��
3
��
1
+ �
32
��
3
��
2
+ �
33
��
3 3
dimana komponen �
��
pada persamaan merepresentasikan koefisien-koefisien yang muncul dalam perhitungan
��
2
+ ��
2
+ ��
2
. Bentuk ��
2
dapat juga disederhanakan menjadi
��
2
= � � �
��
��
�
��
� 3
�=1 3
�=1
2.22
Dalam bentuk matriks dapat dituliskan dengan ��
2
= ��
1
��
2
��
3
� �
11
�
12
�
13
�
21
�
22
�
23
�
31
�
32
�
33
� � ��
1
��
2
��
3
� 2.23
Persamaan 2.23 adalah representasi �
��
lainnya yang dinyatakan dalam bentuk matriks.
Universitas Sumatera Utara
2.3.3 Prinsip Ekuivalensi
