Transformasi Koordinat Analisis Tensor

dimana �� � � merupakan fungsi dalam sistem koordinat �� 1 , �� 2 , … , �� � . Diperoleh �� � � = ��� � �� � �� � ��� � � � � 2.12 yang menyatakan komponen tensor campuran. Dengan menggunakan defenisi dari tensor campuran di atas akan ditunjukkan bahwa � � � juga merupakan suatu tensor campuran. Sekarang perhatikan persamaan transformasi berikut �̅ � � = ��� � �� � �� � ��� � � � � �̅ � � = ��� � �� � �� � ��� � �̅ � � = � � � 2.13 dimana � � � = { 0, �≠� 1, �=� dan �̅ � � = { 0, � ≠ � 1, � = � . Jadi diketahui bahwa � � � merupakan tensor campuran dengan kontravarian dan kovarian masing-masing ber-rank satu atau biasa dinamakan dengan delta kronecker.

2.3.1.1 Transformasi Koordinat

Misalkan koordinat-koordinat tegak lurus x, y, z dari sebarang titik dinyatakan sebagai fungsi-fungsi sehingga � = �� 1 , � 2 , � 3 , � = �� 1 , � 2 , � 3 , � = �� 1 , � 2 , � 3 2.14 Andaikan bahwa bentuk di atas dapat dipecahkan untuk � 1 , � 2 , � 3 dalam �, �, �, yakni � 1 = � 1 �, �, �, � 2 = � 2 �, �, �, � 3 = � 3 �, �, � 2.15 Universitas Sumatera Utara Fungsi-fungsi dalam persamaan 2.14 dan 2.15 dianggap tunggal dan memiliki turunan-turunan yang kontinu sehingga kaitan �, �, � dengan � 1 , � 2 , � 3 adalah tunggal. Misalkan diketahui sebuah titik P dengan koordinat-koordinat tegak lurus �, �, � maka dari persamaan 2.14 dapat diasosiasikan suatu himpunan koordinat-koordinat � 1 , � 2 , � 3 yang tunggal yang disebut koordinat-koordinat kurvilinier dari P. Himpunan persamaan 2.14 dan 2.15 mendefenisikan suatu transformasi koordinat. y x z Gambar 2.2 Kurva-kurva dan garis koordinat. J. D. Anand, 2003 Selanjutnya, akan didefenisikan transformasi koordinat menyangkut sistem koordinat lain dengan dimensi yang lebih tinggi. Untuk itu perlu diketahui terlebih dahulu mengetahui ruang dengan sebarang dimensi dan membahas sifat-sifat transformasi daripada ruang tersebut. Sebuah ruang berdimensi n, dimana n adalah sembarang bilangan bulat positif, adalah merupakan himpunan daripada susunan yang teratur, � = � 1 , � 2 , … , � � 2.16 kurva � 1 P kurva � 2 kurva � 3 � 3 = � 3 � 1 = � 1 � 2 = � 2 Universitas Sumatera Utara dan yang memenuhi sifat-sifat daripada sebuah ruang vektor. Komponen sebuah vektor dalam ruang berdimensi n tersebut akan dinyatakan dengan indeks tertentu. Suatu kurva di dalam sebuah ruang berdimensi n adalah himpunan dari titik-titik x yang memenuhi n buah persamaan, yaitu � � = � � �, dimana t adalah parameter dan � = 1, 2, … , �. Jika � � dianggap sebagai subruang dari � � n N maka � � ditunjukkan oleh � � = � � �� 1 , � 2, … , � � � dengan � � , � = 1, 2, … , � menyatakan n buah parameter dan � = 1, 2, … , �. Kemudian diberikan sistem koordinat mencakup ruang tersebut, yaitu � 1 , � 2 , � 3 , � 4 yang membentuk sistem koordinat di � � . Setiap �̅ = � 1 , � 2 , … , � � menyatakan titik pada ruang � � . Misalkan ada transformasi dari suatu sistem koordinat ke sistem yang lain maka bentuk perubahan koordinatnya dinyatakan sebagai berikut: � 1 ′ = � 1 ′ � 1 , � 2 , � 3 , � 4 � 2 ′ = � 2 ′ � 1 , � 2 , � 3 , � 4 . . . . . . . . . � � ′ = � � ′ � 1 , � 2 , … , � � Dengan demikian, diferensial untuk �� 1 , �� 2 , �� 3 , �� 4 dapat ditulis sebagai berikut: �� 1 ′ = �� 1 ′ �� 1 �� 1 + �� 1 ′ �� 2 �� 2 + �� 1 ′ �� 3 �� 3 + �� 1 ′ �� 4 �� 4 �� 2 ′ = �� 2 ′ �� 1 �� 1 + �� 2 ′ �� 2 �� 2 + �� 2 ′ �� 3 �� 3 + �� 2 ′ �� 4 �� 4 . . . . . . . . . �� � ′ = �� � ′ �� 1 �� 1 + �� � ′ �� 2 �� 2 + … + �� � ′ �� � �� � Atau dapat juga disederhanakan menjadi Universitas Sumatera Utara �� � ′ = � �� � ′ �� � �� � � �=1 2.17 dengan � = 1,2,3,4, … , �

2.3.2 Koordinat Kurvalinier