Kita dapat mengambil salah satu contoh bayangkan matahari kita menjadi lubang hitam dengan massa yang sama. Kegelapan akan menyelimuti bumi dikarenakan tidak
ada pancaran cahaya dari lubang hitam, tetapi bumi akan tetap mengelilingi lubang hitam itu dengan jarak dan kecepatan yang sama dengan saat ini dan tidak terhisap masuk
kedalamnya. Bahaya akan mengancam hanya jika bumi kita berjarak 10 mil dari lubang hitam, hal ini masih jauh dari kenyataan bahwa bumi berjarak 93 juta mil dari matahari.
Lubang hitam juga dapat bertambah massanya dengan cara bertubrukan dengan lubang hitam yang lain sehingga menjadi satu lubang hitam yang lebih besar.
2.4.2.1 Teori Relativitas Umum dalam Metrik Schwarzschild
Penerapan Teori Relativitas Umum dalam persamaan gravitasi Einstein yang mengabaikan tetapan kosmologi yang dirumuskan sebagai berikut :
�
µ�
− 1
2 �
µ�
� = − � 8
�� �
4
� �
µ�
2.24
Dengan persamaan diatas akan diterapkan untuk menelaah beberapa gejala alam. Pertama kali akan diturunkan solusi persaam gravitasi Einstein untuk objek statik bermassa M
yang diletakkan pada pusat koordinat dengan pemilihan koordinat empat dimensi berupa tiga dimensi koordinat ruang polar
r , � , � dan satu dimensi koordinat waktu t, yang
dikenal sebagai solusi Schwarzschild.
Berikut ini akan diturunkan metrik yang mendiskripsikan medan gravitasi isotropik statik. Agar lebih mudah diperoleh, metrik ruang waktu 4 dimensi 3 dimensi
ruang dan 1 dimensi waktu akan dirumuskan dalam wakilan koordinat bola. Dalam koordinat bola, 3 koordinatnya adalah
�
�
= �
1
, �
2
, �
3
= r , � , � 2.25
Metrik ruang waktu datar dalam wakilan koordinat bola diberikan oleh ��
2
= −�
2
��
2
+ ��
2
+ �
2
��
2
+ �
2
���
2
���
2
2.26
Universitas Sumatera Utara
Dalam mengikuti penulisan Weinberg, nilai c sementara diisikan sama dengan 1 sehingga metrik diatas menjadi
��
2
= −��
2
+ ��
2
+ �
2
��
2
+ �
2
���
2
���
2
2.27
Selanjutnya akan ditinjau metrik untuk medan gravitasi isotropik statik. Tensor metrik untuk medan tersebut, yang dalam hal ini untuk komponen
�
��
dan �
��
hanya merupakan fungsi radial
�. Bentuk metriknya menjadi ��
2
= −����
2
+ ����
2
+ �
2
��
2
+ ���
2
���
2
2.28
Dimana metrik diatas akan kembali ke metrik Minkowski jika sumber medan gravitasi dilenyapkan. Dari metrik diatas, komponen tensor metrik kovarian yang tak lenyap adalah
�
��
= −��,
�
��
= ��, �
��
, �
��
= �
2
, �
��
= �
2
���
2
� 2.29
Mengingat �
µ�
bersifat diagonal, komponen tensor metrik kontravarian bernilai �
��
= −
1 ��
, �
��
= 1
�� ,
�
��
= 1
�
2
, �
��
= 1
�
2
���
2
� 2.30
Selanjutnya determinan matriks yang menyajikan komponen tensor metrik adalah g yang bernilai
� = −���� �
4
���
2
� 2.31
2.4.2.2 Medan gravitasi dalam ruang waktu Schwarzschild like
