fungsi adalah konveks dengan suatu interval, matriks hessian
2
dihitung dan diperiksa kedefinitan positif pada semua titik di dalam interval tersebut. Salah satu
cara memeriksa kedefinitan positif suatu matriks adalah menghitung nilai eigen matriks dan diperiksa untuk melihat apakah semua nilai eigen positif untuk menguji
apakah sebuah fungsi adalah nonkonveks dalam sebuah interval, matriks hessian −
2
diperiksa untuk mengetahui kedefinitan positif-nya. Jika matriks tersebut definit positif, fungsi adalah non-konveks.
Adalah sangat menyenangkan menyadari bahwa jika sebuah fungsi adalah nonkonveks, himpunan solusi memenuhi
0 mewakili himpunan konveks. Jadi, ruang pencarian fisibel yang dibentuk dengan fungsi kendala
nonkonveks akan melampirkan daerah konveks. −
1
+ 1 −
2 2
1
1
1
+ 1 −
2 2
Gambar 2.4 Ilustrasi fungsi convex
Definisi 2.1.2
Sebuah masalah optimasi multi-objective adalah konveks jika semua fungsi tujuan konveks dan daerah fisibel konveks atau semua
persamaan kendala adalah nonkonveks dan kesamaan kendala adalah linier.
Berdasarkan definisi ini, sebuah pemrograman linier multi-objective adalah masalah konveks.
2.6 Linear Fractional Programming
Universitas Sumatera Utara
Bidang dari Linear Fractional Programming LFP, secara luas dikembangkan oleh seorang matematisi Hungaria B.Martos dan asosiasinya di tahun 1960an dengan
memusatkan pada masalah optimisasi. Beberapa metode penyelesaian masalah ini disarankan tahun 1962, Charnes dan Cooper telah menyarankan metode mereka
dengan bergantung pada transformasi ini LFP kepada ekivalen program linier. Metode yang lain disebut metode fungsi tujuan yang diperoleh dari Bitran dan Novaes
1973 digunakan menyelesaikan LFP dengan menyelesaikan barisan program linier dengan hanya menghitung kembali gradien lokal dari fungsi tujuan.
Bentuk umum dari masalah LFP dapat dibuat sbb : Optimalkan
=
+ +
2.10 Kendala
� = 0, dimana ,
, ,
, , ,
. Untuk beberapa nilai dari x,
+ mungkin akan sama pada nol tetapi disini kita mengambil hanya kasus
+ 0. Jika mengambil lebih dari satu tujuan dalam masalah linear fractional programming yang umum, maka masalah dikenal sebagai
masalah linear fractional programming multiobjektif. Secara matematika itu dapat ditulis sebagai
Optimalkan =
1
,
2
,
3
, … , , 2.11
Dimana =
=
+ +
. Juga,
= + , = + adalah nilai fungsi real dalam X,
dimana � = { ∶ � , =, , 0, ,
, � =
, ,
} diasumsikan merupakan himpunan tak kosong-konvex terbatas dalam , dan
+ = 1,2, … , , ∀ �.
2.7 Pemrograman Bi-level Linear Multiobjektive Fraksional Linear
Universitas Sumatera Utara
Masalah Pemrograman bi-level dimana setiap pengambil keputusan mempunyai fungsi multiobjektif yang dapat memaximumkan dan dua pengambil keputusan dapat
menentukan keputusan mereka secara bekerja sama. Sehingga masalah pemrograman bi-level linear multi-objektif diformulasikan sebagai berikut:
max
1 1
1 2
=
11 1
1
+
21 1
2
… max
1 1 2
=
1 1
1
+
2 1
2
max
1 2
1 2
=
11 2
1
+
21 2
2
… max
2 1 2
=
1 2
1
+
2 2
2
2.11
Subject to �
1 1
+ �
2 2
,
1
,
2
Dimana
1 2
adalah dimensi
1
dan
2
, dimensi variabel vektor keputusan dari pengambil keputusan pada level atas dan level bawah secara berurutan,
1 1 2
, = 1,2,
…
1
dan
2 1 2
, = 1,2, …
2
adalah fungsi tujuan ke-i dari pengambil keputusan pada level atas dan level bawah berturut-turut.
1
dan
2
merupakan dimensi
konstanta baris vektor.
Diasumsikan bahwa ada dua tingkatan dalam struktur hirarki dengan pengambil keputusan tingkat pertama FLDM dan pengambil keputusan tingkat kedua SLDM.
Andaikan vektor variabel keputusan =
1
,
2
dipartisi antar kedua perencana. Pengambil keputusan tingkat pertama memiliki kontrol atas vektor
1
1
dan pengambil keputusan tingkat kedua
2
2
, dimana =
1
+
2
. Selanjutnya, asumsikan bahwa
1
,
2
∶
1 2
→
1
, = 1,2
1.1 adalah masing-masing vektor fungsi tujuan tingkat pertama dan tingkat kedua. Jadi
masalah BL- MOLFP tipe minimisasi dapat dirumuskan sebagai berikut : Tingkat1
min
1
1 1
,
2
= min
1
11 1
,
2
,
12 1
,
2
, … ,
1
1
1
,
2
, 1.2 dimana
2
menyelesaikan Tingkat 2
Universitas Sumatera Utara
min
2
2 1
,
2
= min
2
21 1
,
2
,
22 1
,
2
, … ,
2
1
1
,
2
1.3 subject to
= =
1
,
2
�
1 1
+ �
2 2
= , 0,
≠ ∅ 1.4 dimana
1 2
=
+ +
1.5 = 1,2,
… ,
1
, = 1 untuk fungsi tujuan pengambil keputusan tingkat pertama
= 1,2, … ,
2
, = 2 untuk fungsi tujuan pengambil keputusan tingkat kedua
Dan dimana i.
1
=
1 1
,
1 2
,
1 3
, … ,
1
1
,
2
=
2 1
,
2 2
,
2 3
, … ,
2
2
ii. G
adalah serangkaian pilihan kendala layak convex bilevel iii.
1
adalah jumlah fungsi tujuan tingkat pertama, iv.
2
adalah jumlah fungsi tujuan tingkat kedua, v.
m adalah jumlah kendala, vi.
� ∶ ×
1
matriks, i = 1, 2, vii.
, ,
+ 0 untuk semua
viii. ,
adalah konstanta
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1. Perumusan Fuzzy Goal Programming BiLevel Multiobjektive Linear
Fractional Programming BL-MOLFP
Dalam masalah BL-MOLFP, jika tingkat aspirasi tepat ditugaskan untuk masing- masing tujuan di setiap tingkat BL-MOLFP, maka tujuan fuzzy ini disebut sebagai
fuzzy goal. Mereka ditandai oleh keanggotaan yang terkait fungsi mereka dengan mendefinisikan batas toleransi untuk pencapaian tingkat cita-cita mereka.
3.2. Konstruksi Fungsi Keanggotaan
Karena First Level Decision Making FLDM pengambil keputusan tingkat pertama dan Second Level Decision Making SLDM pengambil keputusan tingkat kedua
keduanya tertarik untuk meminimalkan fungsi tujuan mereka sendiri di atas daerah layak sama, didefinisikan oleh sistem kendala yang solusi optimal keduanya dihitung
secara terpisah yang dapat diambil sebagai terkait tingkat aspirasi tujuan fuzzy mereka.
Andaikan
1 1
,
2 1
;
1
, = 1,2,
… ,
1
dan
2 2
,
2 2
;
2
, =
1,2, … ,
2
menjadi solusi optimal FLDM dan fungsi tujuan SLDM, masing-masing, jika dihitung secara terpisah. Andaikan
tingkat aspirasi yang akan ditugaskan untuk tujuan ke-ij
1
,
2
subskrip ij berarti bahwa j = 1,2,…,
1
ketika i = 1 untuk masalah FLDM, dan j
=1,2,…
2
ketika i = 2 untuk masalah SLDM. Juga,andaikan
∗
=
1 ∗
,
2 ∗
,
1 ∗
=
1 1
∗
,
1 2
∗
, … ,
1 ∗
1
dan
2 ∗
=
2 1
∗
,
2 2
∗
, … ,
2 ∗
2
, menjadi solusi optimal dari masalah MOLFP FLDM. Kemudian, fuzzy goal dari
Universitas Sumatera Utara
pengambil keputusan fungsi tujuan pada kedua tingkat dan tujuan vektor fuzzy goal dari variabel keputusan yang dikendalikan oleh pengambil keputusan tingkat pertama
yang muncul sebagai
1
,
2
, = 1,2,
… , ,
1
=
1 ∗
, 3.1
dimana dan ” menunjukkan ketidakjelasan dari tingkat aspirasi dan harus
dipahami sebagai Dasarnya kurang dari dan pada dasarnya sama dengan. Bisa dicatat bahwa solusi
1 1
,
2 1
, j=1,2,…
1
,
∗
=
1 ∗
,
2 ∗
dan
1 2
,
2 2
dan j = 1,2,…
2
biasanya berbeda karena tujuan FLDM dan tujuan SLDM bertentangan pada dasarnya. Oleh karena itu, wajar dapat diasumsikan bahwa nilai
1
,
2
untuk semua = 1,2,
= 1,2, … ,
1
dan ≠
semua nilai lebih besar dari
= max[
1
,
2
, = 1,2, … ] dan ≠ sebenarnya tidak dapat diterima oleh fungsi objektif
1
,
2
. Dengan demikian fungsi keanggotaan
1
,
2
untuk fuzzy goal ke-ij dapat dianggap dalam gambar 3.1
1
,
2
= 1 ,
, −
1
,
2
− ,
, = 1,2,
= 1,2, … , 3.2
1
,
2
1
1
,
2
Gambar 3.1 Fungsi keanggotaan dari tipe minimalisasi fungsi objektif.
Setelah Lai dan Shih et al., kami menyertakan fungsi keanggotaan untuk fuzzy goal dari variabel keputusan yang dikendalikan oleh pengambil keputusan tingkat
Universitas Sumatera Utara
pertama,
1
=
1 1
,
1 2
,
1 3
, …
1
1
, dalam model yang diusulkan dalam artikel ini. Untuk membangun fungsi keanggotaan ini, solusi optimal
∗
=
1 ∗
,
2 ∗
dari tingkat pertama masalah MOLFP yang harus ditentukan terlebih dahulu. Setelah pendekatan
Pal et al. solusi optimal
∗
=
1 ∗
,
2 ∗
bisa diperoleh. Dapat dicatat bahwa pendekatan-pendekatan lain untuk menyelesaikan masalah MOLFP bisa digunakan
dalam menyelesaikan tingkat pertama masalah MOLFP. Dalam bagian 4, model FGP dari Pal et al. untuk menyelesaikan masalah tingkat pertama MOLFP, disajikan untuk
memfasilitasi keberhasilan dari
∗
=
1 ∗
,
2 ∗
.
Andaikan dan
, = 1,2,
…
1
menjadi nilai toleransi maksimum positif dan negative pada vektor keputusan yang dipertimbangkan oleh FLDM. Toleransi
tidak sama pentingnya. Fungsi keanggotaan linier Gambar 3.2 untuk vektor keputusan
1
=
1 1
,
1 2
,
1 3
, …
1
1
dapat dirumuskan sebagai
1
1
=
1
−
1 ∗
− ,
1 ∗
−
1 1
∗
,
1 ∗
+ −
1
,
1 ∗
1 1
∗
+ ,
3.3
= 1,2, … ,
1
1
1
1 1
∗
−
1 ∗
1 ∗
+
Gambar 3.2 Keanggotaan fungsi dari vektor keputusan
1
Bisa dicatat bahwa pengambil keputusan mungkin berkeinginan untuk menggeser kisaran
1
. Sekarang, dalam lingkungan keputusan fuzzy, pencapaian tujuan untuk tingkatan cita-cita mereka untuk kemungkinan besar sebenarnya diwakili
Universitas Sumatera Utara
oleh kemungkinan pencapaian nilai keanggotaan masing-masing ke tingkat tertinggi. Mengenai aspek masalah pemrograman fuzzy ini, pendekatan goal programming
tampaknya paling tepat untuk solusi dari masalah multi obyektif tingkat pertama pemrograman linear fraksional dan masalah bi-level multi-objektif pemrograman
linier fraksional.
3.3. Pendekatan
