�
= 1
−
−
− 1
1 −
−
+ 2.4
Penyokong A adalah − , + . Bilangan fuzzy trapezoidal dapat dilihat
sebagai nilai kwantitas fuzzy. “ x mendekati pada interval [a,b] ”.
1
x − a
b +
Gambar 2.2 Bilangan Fuzzy Trapezoidal
2.2 Goal Programming
2.2.1 Konsep Dasar dari Goal Programming
Dalam bukunya [9], Linier goal programming LGP merupakan pengembangan Linier Programming LP. LGP diperkenalkan oleh Charnes dan Cooper pada awal
tahun 60-an. Perbedaan utama dari LGP dan LP terletak pada struktur dan penggunaan fungsi tujuan. Dalam LP fungsi tujuannya hanya mengandung satu tujuan, sementara
dalam LGP semua tujuan apakah satu atau beberapa digabungkan dalam sebuah fungsi tujuan. Ini dapat dilakukan dengan mengekspresikan tujuan itu dalam bentuk
kendala goal constraint, memasukkan suatu variabel simpangan deviational variable dalam kendala itu untuk mencerminkan seberapa jauh tujuan itu dicapai, dan
menggabungkan variabel simpangan dalam fungsi tujuan. Dalam LP tujuannya bisa
Universitas Sumatera Utara
maksimasi atau minimisasi, sementara dalam LGP tujuannya adalah meminimumkan penyimpangan-penyimpangan dari tujuan-tujuan tertentu. Ini berarti semua masalah
LGP adalah masalah minimisasi. a.
Berikut ini adalah definisi dari beberapa istilah dan lambang yang biasa digunakan dalam LGP.
Decision variable Variabel keputusan : seperangkat variabel yang tidak diketahui dalam model LGP dilambangkan dengan
j
x
, dimana j = 1,2,…,n yang
akan dicari nilainya Right hand side values RHS : nilai – nilai yang biasanya menunjukkan
ketersediaan sumber daya dilambangkan dengan
i
b
yang akan ditentukan kekurangan atau kelebihan penggunaannya.
Goal Tujuan : keinginan untuk meminimumkan angka penyimpangan dari suatu nilai RHS pada suatu goal constraint kendala tujuan tertentu.
Goal Constraint Kendala Tujuan : sinonim dari istilah goal equation, yaitu suatu tujuan yang diekspresikan dalam persamaan matematik dengan memasukkan
variabel simpangan. Preemptive priority factor : suatu system urutan yang dilambangkan dengan
k
P
, dimana k
= 1,2,…,K dan K menunjukkan banyaknya tujuan dalam model yang memungkinkan tujuan-tujuan disusun secara ordinal dalam model LGP. Sistem
urutan itu menempatkan tujuan-tujuan dalam susunan dengan hubungan seperti berikut :
�
1
�
2
⋯ �
1
P merupakan tujuan yang paling penting
2
P merupakan tujuan yang kurang penting dan seterusnya. Deviational vearible Variabel simpangan : variabel-variabel yang menunjukkan
kemungkinan penyimpangan negatif dari suatu nilai RHS kendala tujuan dalam
Universitas Sumatera Utara
model LGP dilambangkan dengan
i
d , dimana i = 1,2,…,m dan m adalah
banyaknya kendala tujuan dalam model atau penyimpangan positif dari suatu nilai RHS dilambangkan dengan
i
d . Variabel-variabel ini serupa dengan slack variabel dalam LP.
Differential weight bobot : timbangan matematik yang diekspresikan dengan angka kardinal dilambangkan dengan
ki
w
dimana k = 1,2,…, K: i =1,2,…m dan
digunakan untuk membedakan variabel simpangan i di dalam suatu tingkatan prioritas k.
Technological coeffient koefisien teknologi : nilai-nilai numerik dilambangkan dengan
ij
a
yang menunjukkan penggunaan nilai
i
b
per unit untuk menciptakan
j
x
. b.
Unsur-unsur Linear Goal Programming LGP Setiap model LGP paling sedikit terdiri dari tiga komponen yaitu, sebuah fungsi
tujuan, kendala tujuan dan kendala non-negatif.
Fungsi Tujuan
Ada tiga jenis fungsi tujuan dalam LGP, yaitu :
Minimumkan Z =
m i
i i
d d
1
Fungsi tujuan diatas digunakan jika variabel simpangan dalam suatu masalah tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot.
Minimumkan Z =
m i
i i
k
d d
P
1
untuk k = 1,2,…,K
Fungsi tujuan diatas digunakan dalam suatu masalah dimana urutan tujuan-tujuan diperlukan, tetapi variabel simpangan di dalam setiap tingkat prioritas memiliki
kepentingan yang sama.
Universitas Sumatera Utara
Minimumkan Z =
m i
i i
k ki
d d
P w
1
untuk k = 1,2,…,K
Fungsi tujuan diatas digunakan dalam suatu masalah dimana tujuan-tujuan diurutkan dan variabel simpangan pada setiap tingkat prioritas dibedakan dengan menggunakan
bobot yang berlainan
ki
w
[8].
x F
i
merupakan bentuk matematika yang mewakili tujuan dan
i
b
adalah nilai sisi kanan level aspirasi.
Ada tiga kemungkinan tujuan yaitu:
i i
b x
f
i i
b x
f
i i
b x
f
Kendala Tujuan
Ada enam jenis kendala tujuan yang berlainan yang maksud setiap jenis kendala itu ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan.pada tabel berikut:
Kendala Tujuan Variabel
simpangan dalam fungsi
tujuan Kemungkinan
Simpangan Penggunaan
Nilai RHS yang diinginkan
i i
j ij
b d
x a
i
d Negatif
=
i
b
i i
j ij
b d
x a
i
d Positif
=
i
b
i i
i j
ij
b d
d x
a
i
d Negatif dan positif
i
b
atau lebih
i i
i j
ij
b d
d x
a
i
d Negatif dan positif
i
b
atau kurang
Universitas Sumatera Utara
Kendala Tujuan Variabel
simpangan dalam fungsi
tujuan Kemungkinan
Simpangan Penggunaan
Nilai RHS yang diinginkan
i i
i j
ij
b d
d x
a
i
d dan
i
d Negatif dan positif
=
i
b
i i
j ij
b d
x a
i
d artf. Tidak ada
pas =
i
b
Setiap jenis kendala tujuan harus punya satu atau dua variabel simpangan yang ditempatkan pada fungsi tujuan. Dimungkinkan adanya kendala-kendala persamaan
linier. Persamaan pertama maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan dalam
masalah program linier maksimisasi. Persamaan kedua maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan
pada masalah program linier minimisasi. Persamaan ketiga, keempat dan kelima semuanya memperbolehkan penyimpangan dua arah,
tetapi persamaan kelima mencari penggunaan sumber daya yang diingginkan sama dengan
i
b
. Ini serupa dengan kendala persamaan dalam linier programming, tetapi tidak menempel pada solusi karena dimungkinkan adanya penyimpangan negatif dan
positif. Jika kendala persamaan dianggap perlu dalam perumusan model linear goal programming LGP, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah variabel
artifial
i
d , seperti pada persamaan keenam. Persamaan ketiga dan keempat memperbolehkan adanya penyimpangan positif dan negatif dari nilai RHSnya.
Kendala Non-Negatif
Seperti dalam liear programming, variabel-variabel model LGP biasanya bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Semua model LGP terdiri dari variabel simpangan
dan variabel keputusan, sehingga pernyataan non-negatif dilambangkan sebagai :
, ,
i i
j
d d
x
Universitas Sumatera Utara
Kendala Struktural
Disamping ketiga komponen yang telah disebutkan itu, dalam model LGP kadang- kadang terdapat komponen yang lain, yaitu kendala struktural artinya kendala-kendala
lingkungan yang tidak berhubungan langsung dengan tujuan-tujuan masalah yang dipelajari. Variabel simpangan tidak dimasukkan dalam kendala ini, karena itu,
kendala ini tidak diikutsertakan dalam fungsi tujuan.
2.3. Model Fuzzy Goal Programming
