Kendala ,
x
b Ax
, dimana x, c, dan d adalah vektor n x 1, b adalah vektor m x 1,
1 1
, d c
merupakan transpose dari vektor c dan d yang adalah matriks m x n, dan
, adalah konstanta skalar.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk meminimumkan kekecewaan tingkat kepuasan kelompok pengambil keputusan dalam mencapai kesatuan derajat tertinggi dari
masing – masing fungsi keanggotaan tujuan dengan meminimalkan variabel
deviasinya sehingga diperoleh solusi yang paling optimal dan meminimumkan adanya pertentangan dari tujuan para pengambil keputusan.
1.5 Kontribusi Penelitian
Tulisan ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan referensi kepada organisasi dimana ada dua pengambil keputusan dalam mencapai solusi optimal dari sebuah
permasalahan yang terjadi dan menghindari pencarian solusi yang berulang-ulang dan dapat meminimumkan konflik yang terjadi diantara dua pengambil keputusan dalam
mencapai solusi optimal.
Universitas Sumatera Utara
1.6 Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah: 1.
Melakukan study pendekatan yang berhubungan dengan fuzzy set, goal programming, fuzzy goal programming, bi-level programming, multi-objektif,
linear fractional programming 2.
Menetapkan tujuan untuk semua fungsi objektif dalam dua level. 3.
Menimbulkan fungsi keanggotaan untuk masing-masing tujuan di level pertama.
4. Merumuskan model FGP untuk masalah MOLFP level pertama.
5. Menyelesaikan model untuk mendapatkan solusi optimal.
6. Mengatur nilai toleransi maksimum positif dan negative pada vektor keputusan
7. Menimbulkan fungsi keanggotaan untuk vektor keputusan.
8. Menimbulkan fungsi keanggotaan untuk masing-masing fungsi tujuan di
tingkat kedua. 9.
Merumuskan model pendekatan FGP untuk masalah BL-MOLFP. 10.
Menyelesaikan model untuk mendapatkan solusi yang memuaskan dari masalah BL-MOLFP.
11. Penarikan kesimpulan, yakni solusi yang memuaskan tercapai bagi para
pengambil keputusan.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
Landasan Teori
2.1. Teori Himpunan Fuzzy
Definisi : Andaikan X titik-titik ruang objek, dengan elemen umum dari X yang
dinotasikan dengan x, X = { x } [16].
Himpunan fuzzy adalah himpunan yang unsur-unsurnya memiliki derajat keanggotaan. Himpunan fuzzy diperkenalkan oleh Lutfih A. Zadeh 1965 sebagai
perluasan dari pengertian himpunan klasik. Pada teori himpunan klasik, keanggotaan dari unsur-unsur dalam himpunan dinilai dalam hal biner menurut kondisi bivalen-
elemen baik termasuk atau tidak termasuk dalam himpunan. Sebaliknya, teori himpunan fuzzy memungkinkan penilaian bertahap dari keanggotaan elemen dalam
himpunan, ini digambarkan dengan bantuan sebuah fungsi keanggotaan yang dinilai dalam unit nyata interval [0,1].
Dalam teori himpunan fuzzy, himpunan A dikatakan crisp jika sebarang anggota-anggota yang ada pada himpunan A tersebut dikenakan fungsi yang akan
bernilai 1 yakni jika � maka fungsi = 1. Namun jika �, maka nilai fungsi
Universitas Sumatera Utara
yang dikenakan pada adalah 0. Nilai fungsi yang dikenakan pada sebarang anggota himpunan A dikatakan sebagai nilai keanggotaan. Jadi pada himpunan crisp, hanya
mempunyai 2 nilai keanggotaan yaitu 0 atau 1. Tetapi pada himpunan fuzzy, nilai keanggotaan dari anggota-anggotanya tidak hanya 0 dan 1 saja. Tapi berada pada
interval tertutup [0,1]. Dengan kata lain himpunan A dikatakan fuzzy selama fungsi ∶ � → 0,1 .
Himpunan Fuzzy didasarkan pada gagasan untuk memperluas jangkauan fungsi karakteristik sedemikian hingga fungsi tersebut akan mencakup bilangan real
pada interval [0,1]. Nilai keanggotaannya menunjukkan bahwa suatu item dalam semesta pembicaraan tidak hanya berada pada 0 atau 1, namun juga nilai yang terletak
diantaranya. Dengan kata lain, nilai kebenaran suatu item tidak hanya bernilai benar atau salah. Nilai 0 menunjukkan salah, nilai 1 menunjukkan benar, dan masih ada
nilai-nilai yang terletak antara benar dan salah [8]. Misalkan diketahui klasifikasi sebagai berikut :
MUDA umur 35 tahun
SETENGAH BAYA 35 umur 55 tahun
TUA umur 55 tahun
Dengan menggunakan pendekatan crisp, amatlah tidak adil untuk menetapkan nilai SETENGAH BAYA. Pendekatan ini bisa saja dilakukan untuk hal-hal yang
bersifat diskontinu. Misalkan klasifikasi untuk umur 55 dan 56 sangat jauh berbeda, umur 55 tahun termasuk SETENGAH BAYA, sedangkan umur 56 tahun sudah tidak
termasuk tua. Demikian pula kategori MUDA dan TUA. Orang yang berumur 34 tahun dikatakan MUDA, sedangkan orang yang berumur 35 tahun sudah TIDAK
MUDA lagi. Orang yang berumur 55 tahun termasuk SETENGAH BAYA, orang yang berumur 55 tahun lebih 1 hari sudah TIDAK SETENGAH BAYA lagi. Dengan
Universitas Sumatera Utara
demikian pendekatan crisp ini sangat tidak cocok untuk diterapkan pada hal-hal yang bersifat kontinu, seperti umur.
Selain itu, untuk menunjukkan suatu umur pasti termasuk SETENGAH BAYA, atau tidak termasuk SETENGAH BAYA, dan menunjukkan suatu nilai
kebenaran 0 atau 1, dapat digunakan nilai pecahan dan menunjuk 1 atau nilai yang dekat dengan 1 untuk umur 45 tahun, kemudian perlahan menurun menuju ke 0 untuk
umur dibawah 35 tahun dan diatas 55 tahun.
Pusat dari fungsi keanggotaan untuk beberapa himpunan fuzzy A didefinisikan sebagai daerah dari universe yang dicirikan oleh keanggotaan
lengkap dan penuh dalam himpunan A yaitu pusat terdiri dari elemen-elemen x dari universe sehingga
�
= 1.
Penyokong dari fungsi tujuan untuk beberapa himpunan fuzzy A didefinisikan sebagai daerah dari universe yang dicirikan oleh keanggotaan tak
nol dalam himpunan A yaitu penyokong terdiri dari elemen-elemen x dari universe sehingga
�
0. Suatu himpunan fuzzy yang pendukungnya merupakan satu titik di dalam universe disebut fuzzy singleton.
Batas dari fungsi tujuan untuk beberapa himpunan fuzzy A didefinisikan sebagai daerah dari universe berisi elemen-elemen yang memiliki keanggotaan
tak nol tetapi juga keanggotaan tidak lengkap yaitu batas terdiri dari elemen- elemen x dari universe sehingga
�
1.
Universitas Sumatera Utara
Himpunan fuzzy convex dilukiskan oleh fungsi keanggotaan yang nilai keanggotaan merupakan penambahan tepat secara monoton atau nilai
keanggotaan merupakan pengurangan tepat secara monoton atau nilai keanggotaan merupakan penambahan tepat secara monoton kemudian nilai
keanggotaan merupakan pengurangan tepat secara monoton dengan menambahkan nilai untuk elemen dalam universe. Dengan kata lain, jika untuk
beberapa nilai elemen x, y, z dalam himpunan fuzzy A, relasi yang
mengandung arti bahwa
�
min [
�
,
�
] 2.1
2.1.1. Fungsi Keanggotaan
Fungsi keanggotaan membership function adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaannya sering juga disebut
dengan derajat keanggotaan yang memiliki interval antara 0 sampai 1 [8]. Sebuah himpunan fuzzy A dari bilangan riil
didefinisikan oleh fungsi keanggotaannya dinotasikan oleh A
�
∶ → 0,1 2.2
Jika maka
�
dikatakan sebagai derajat keanggotaan x dalam A. Himpunan fuzzy dalam disebut normal jika terdapat
sehingga
�
= 1 .
Universitas Sumatera Utara
2.1.2. Bilangan Fuzzy Triangular
Sebuah himpunan fuzzy A disebut bilangan fuzzy triangular dengan nilai tengah a, sebelah kiri
0 , dalam disebut convex jika A adalah unimodal sebagai sebuah fungsi. Bilangan fuzzy dan sebelah kanan
0. Fungsi keanggotaannya adalah sebagai berikut :
�
= 1
−
−
− 1
−
−
+ 2.3
Penyokong A adalah − , + . Bilangan fuzzy triangular dengan nilai tengah a
dilihat sebagai nilai kwantitas fuzzy. “ x dekat terhadap a “atau” x hampir sama
dengan a ”.
1
− + x Gambar 2.1 Bilangan Fuzzy Triangular
2.1.3. Bilangan Fuzzy Trapezoidal
Sebuah himpunan fuzzy A disebut bilangan fuzzy trapezoidal dengan interval toleransi [a,b], sebelah kiri dan kanan . Fungsi keanggotaannya adalah sebagai
berikut :
Universitas Sumatera Utara
�
= 1
−
−
− 1
1 −
−
+ 2.4
Penyokong A adalah − , + . Bilangan fuzzy trapezoidal dapat dilihat
sebagai nilai kwantitas fuzzy. “ x mendekati pada interval [a,b] ”.
1
x − a
b +
Gambar 2.2 Bilangan Fuzzy Trapezoidal
2.2 Goal Programming
2.2.1 Konsep Dasar dari Goal Programming
Dalam bukunya [9], Linier goal programming LGP merupakan pengembangan Linier Programming LP. LGP diperkenalkan oleh Charnes dan Cooper pada awal
tahun 60-an. Perbedaan utama dari LGP dan LP terletak pada struktur dan penggunaan fungsi tujuan. Dalam LP fungsi tujuannya hanya mengandung satu tujuan, sementara
dalam LGP semua tujuan apakah satu atau beberapa digabungkan dalam sebuah fungsi tujuan. Ini dapat dilakukan dengan mengekspresikan tujuan itu dalam bentuk
kendala goal constraint, memasukkan suatu variabel simpangan deviational variable dalam kendala itu untuk mencerminkan seberapa jauh tujuan itu dicapai, dan
menggabungkan variabel simpangan dalam fungsi tujuan. Dalam LP tujuannya bisa
Universitas Sumatera Utara
maksimasi atau minimisasi, sementara dalam LGP tujuannya adalah meminimumkan penyimpangan-penyimpangan dari tujuan-tujuan tertentu. Ini berarti semua masalah
LGP adalah masalah minimisasi. a.
Berikut ini adalah definisi dari beberapa istilah dan lambang yang biasa digunakan dalam LGP.
Decision variable Variabel keputusan : seperangkat variabel yang tidak diketahui dalam model LGP dilambangkan dengan
j
x
, dimana j = 1,2,…,n yang
akan dicari nilainya Right hand side values RHS : nilai – nilai yang biasanya menunjukkan
ketersediaan sumber daya dilambangkan dengan
i
b
yang akan ditentukan kekurangan atau kelebihan penggunaannya.
Goal Tujuan : keinginan untuk meminimumkan angka penyimpangan dari suatu nilai RHS pada suatu goal constraint kendala tujuan tertentu.
Goal Constraint Kendala Tujuan : sinonim dari istilah goal equation, yaitu suatu tujuan yang diekspresikan dalam persamaan matematik dengan memasukkan
variabel simpangan. Preemptive priority factor : suatu system urutan yang dilambangkan dengan
k
P
, dimana k
= 1,2,…,K dan K menunjukkan banyaknya tujuan dalam model yang memungkinkan tujuan-tujuan disusun secara ordinal dalam model LGP. Sistem
urutan itu menempatkan tujuan-tujuan dalam susunan dengan hubungan seperti berikut :
�
1
�
2
⋯ �
1
P merupakan tujuan yang paling penting
2
P merupakan tujuan yang kurang penting dan seterusnya. Deviational vearible Variabel simpangan : variabel-variabel yang menunjukkan
kemungkinan penyimpangan negatif dari suatu nilai RHS kendala tujuan dalam
Universitas Sumatera Utara
model LGP dilambangkan dengan
i
d , dimana i = 1,2,…,m dan m adalah
banyaknya kendala tujuan dalam model atau penyimpangan positif dari suatu nilai RHS dilambangkan dengan
i
d . Variabel-variabel ini serupa dengan slack variabel dalam LP.
Differential weight bobot : timbangan matematik yang diekspresikan dengan angka kardinal dilambangkan dengan
ki
w
dimana k = 1,2,…, K: i =1,2,…m dan
digunakan untuk membedakan variabel simpangan i di dalam suatu tingkatan prioritas k.
Technological coeffient koefisien teknologi : nilai-nilai numerik dilambangkan dengan
ij
a
yang menunjukkan penggunaan nilai
i
b
per unit untuk menciptakan
j
x
. b.
Unsur-unsur Linear Goal Programming LGP Setiap model LGP paling sedikit terdiri dari tiga komponen yaitu, sebuah fungsi
tujuan, kendala tujuan dan kendala non-negatif.
Fungsi Tujuan
Ada tiga jenis fungsi tujuan dalam LGP, yaitu :
Minimumkan Z =
m i
i i
d d
1
Fungsi tujuan diatas digunakan jika variabel simpangan dalam suatu masalah tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot.
Minimumkan Z =
m i
i i
k
d d
P
1
untuk k = 1,2,…,K
Fungsi tujuan diatas digunakan dalam suatu masalah dimana urutan tujuan-tujuan diperlukan, tetapi variabel simpangan di dalam setiap tingkat prioritas memiliki
kepentingan yang sama.
Universitas Sumatera Utara
Minimumkan Z =
m i
i i
k ki
d d
P w
1
untuk k = 1,2,…,K
Fungsi tujuan diatas digunakan dalam suatu masalah dimana tujuan-tujuan diurutkan dan variabel simpangan pada setiap tingkat prioritas dibedakan dengan menggunakan
bobot yang berlainan
ki
w
[8].
x F
i
merupakan bentuk matematika yang mewakili tujuan dan
i
b
adalah nilai sisi kanan level aspirasi.
Ada tiga kemungkinan tujuan yaitu:
i i
b x
f
i i
b x
f
i i
b x
f
Kendala Tujuan
Ada enam jenis kendala tujuan yang berlainan yang maksud setiap jenis kendala itu ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan.pada tabel berikut:
Kendala Tujuan Variabel
simpangan dalam fungsi
tujuan Kemungkinan
Simpangan Penggunaan
Nilai RHS yang diinginkan
i i
j ij
b d
x a
i
d Negatif
=
i
b
i i
j ij
b d
x a
i
d Positif
=
i
b
i i
i j
ij
b d
d x
a
i
d Negatif dan positif
i
b
atau lebih
i i
i j
ij
b d
d x
a
i
d Negatif dan positif
i
b
atau kurang
Universitas Sumatera Utara
Kendala Tujuan Variabel
simpangan dalam fungsi
tujuan Kemungkinan
Simpangan Penggunaan
Nilai RHS yang diinginkan
i i
i j
ij
b d
d x
a
i
d dan
i
d Negatif dan positif
=
i
b
i i
j ij
b d
x a
i
d artf. Tidak ada
pas =
i
b
Setiap jenis kendala tujuan harus punya satu atau dua variabel simpangan yang ditempatkan pada fungsi tujuan. Dimungkinkan adanya kendala-kendala persamaan
linier. Persamaan pertama maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan dalam
masalah program linier maksimisasi. Persamaan kedua maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan
pada masalah program linier minimisasi. Persamaan ketiga, keempat dan kelima semuanya memperbolehkan penyimpangan dua arah,
tetapi persamaan kelima mencari penggunaan sumber daya yang diingginkan sama dengan
i
b
. Ini serupa dengan kendala persamaan dalam linier programming, tetapi tidak menempel pada solusi karena dimungkinkan adanya penyimpangan negatif dan
positif. Jika kendala persamaan dianggap perlu dalam perumusan model linear goal programming LGP, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah variabel
artifial
i
d , seperti pada persamaan keenam. Persamaan ketiga dan keempat memperbolehkan adanya penyimpangan positif dan negatif dari nilai RHSnya.
Kendala Non-Negatif
Seperti dalam liear programming, variabel-variabel model LGP biasanya bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Semua model LGP terdiri dari variabel simpangan
dan variabel keputusan, sehingga pernyataan non-negatif dilambangkan sebagai :
, ,
i i
j
d d
x
Universitas Sumatera Utara
Kendala Struktural
Disamping ketiga komponen yang telah disebutkan itu, dalam model LGP kadang- kadang terdapat komponen yang lain, yaitu kendala struktural artinya kendala-kendala
lingkungan yang tidak berhubungan langsung dengan tujuan-tujuan masalah yang dipelajari. Variabel simpangan tidak dimasukkan dalam kendala ini, karena itu,
kendala ini tidak diikutsertakan dalam fungsi tujuan.
2.3. Model Fuzzy Goal Programming
Pemaparan teori himpunan fuzzy untuk masalah goal programming pertama kali dikemukakan oleh Hannan1981 juga Ignizio 1982. Secara komprehensif berbagai
aspek teori keputusan dengan menggunakan pendekatan fuzzy goal programming didiskusikan oleh Rubin dan Narasimhan 1984 juga Tiwarki dkk 1986.
Aplikasinya untuk pemodelan keputusan untuk berbagai aspek yang luas, misalnya untuk persoalan manajemen lingkungan diungkapkan oleh Tiwari dkk 1985.
Ada sedikit perbedaan antara Goal Programming dan Fuzzy Goal Programming yaitu goal programming membutuhkan pengambil keputusan untuk
menetapkan dengan pasti nilai-nilai aspirasi untuk setiap tujuan yang ingin dia capai, sedangkan kemudian ditetapkan dalam cara yang tidak teliti. Tujuan fuzzy di sini
dianggap sebagai tujuan dengan tingkat aspirasi tidak tepat. Pertimbangan kepentingan relatif berbeda dan tujuan prioritas dalam tujuan fuzzy layak daripada
yang lain. Narasimhan telah menggunakan linguistik variabel, seperti sangat penting, kurang penting dan agak penting, untuk menggambarkan bobot fuzzy
tujuan, dan didefinisikan keanggotaan sesuai fungsi dengan menentukan interval derajat keanggotaan yang diinginkan untuk mencerminkan pentingnya.
Model formulasi fuzzy goal programming adalah sbb: Cari nilai
Universitas Sumatera Utara
�
1
,
2
, … ,
2.5 Sehingga memenuhi
� ≅ , = 1,2, … ,
S.t �� ≅ , � 0,
2.6 Dimana X adalah vektor variabel-variabel keputusan,
adalah ketidakjelasan level aspirasi ke- k tujuan
� = 1,2, … , , A adalah koefisien matriks, b adalah vektor nilai kanan sumber
�� ≅ mewakili kendala fuzzy, dimana dan menunjukkan pada versi fuzzy dari dan .
Sekarang dalam situasi pengambilan keputusan fuzzy, fuzzy goal dicirikan oleh fungsi keanggotaannya secara beturut-turut.
2.4 Bilevel programming