Tujuan Penelitian Kontribusi Penelitian Metode Penelitian Model Fuzzy Goal Programming

Kendala ,   x b Ax , dimana x, c, dan d adalah vektor n x 1, b adalah vektor m x 1, 1 1 , d c merupakan transpose dari vektor c dan d yang adalah matriks m x n, dan  , adalah konstanta skalar.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk meminimumkan kekecewaan tingkat kepuasan kelompok pengambil keputusan dalam mencapai kesatuan derajat tertinggi dari masing – masing fungsi keanggotaan tujuan dengan meminimalkan variabel deviasinya sehingga diperoleh solusi yang paling optimal dan meminimumkan adanya pertentangan dari tujuan para pengambil keputusan.

1.5 Kontribusi Penelitian

Tulisan ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan referensi kepada organisasi dimana ada dua pengambil keputusan dalam mencapai solusi optimal dari sebuah permasalahan yang terjadi dan menghindari pencarian solusi yang berulang-ulang dan dapat meminimumkan konflik yang terjadi diantara dua pengambil keputusan dalam mencapai solusi optimal. Universitas Sumatera Utara

1.6 Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah: 1. Melakukan study pendekatan yang berhubungan dengan fuzzy set, goal programming, fuzzy goal programming, bi-level programming, multi-objektif, linear fractional programming 2. Menetapkan tujuan untuk semua fungsi objektif dalam dua level. 3. Menimbulkan fungsi keanggotaan untuk masing-masing tujuan di level pertama. 4. Merumuskan model FGP untuk masalah MOLFP level pertama. 5. Menyelesaikan model untuk mendapatkan solusi optimal. 6. Mengatur nilai toleransi maksimum positif dan negative pada vektor keputusan 7. Menimbulkan fungsi keanggotaan untuk vektor keputusan. 8. Menimbulkan fungsi keanggotaan untuk masing-masing fungsi tujuan di tingkat kedua. 9. Merumuskan model pendekatan FGP untuk masalah BL-MOLFP. 10. Menyelesaikan model untuk mendapatkan solusi yang memuaskan dari masalah BL-MOLFP. 11. Penarikan kesimpulan, yakni solusi yang memuaskan tercapai bagi para pengambil keputusan. Universitas Sumatera Utara BAB 2 Landasan Teori

2.1. Teori Himpunan Fuzzy

Definisi : Andaikan X titik-titik ruang objek, dengan elemen umum dari X yang dinotasikan dengan x, X = { x } [16]. Himpunan fuzzy adalah himpunan yang unsur-unsurnya memiliki derajat keanggotaan. Himpunan fuzzy diperkenalkan oleh Lutfih A. Zadeh 1965 sebagai perluasan dari pengertian himpunan klasik. Pada teori himpunan klasik, keanggotaan dari unsur-unsur dalam himpunan dinilai dalam hal biner menurut kondisi bivalen- elemen baik termasuk atau tidak termasuk dalam himpunan. Sebaliknya, teori himpunan fuzzy memungkinkan penilaian bertahap dari keanggotaan elemen dalam himpunan, ini digambarkan dengan bantuan sebuah fungsi keanggotaan yang dinilai dalam unit nyata interval [0,1]. Dalam teori himpunan fuzzy, himpunan A dikatakan crisp jika sebarang anggota-anggota yang ada pada himpunan A tersebut dikenakan fungsi yang akan bernilai 1 yakni jika � maka fungsi = 1. Namun jika �, maka nilai fungsi Universitas Sumatera Utara yang dikenakan pada adalah 0. Nilai fungsi yang dikenakan pada sebarang anggota himpunan A dikatakan sebagai nilai keanggotaan. Jadi pada himpunan crisp, hanya mempunyai 2 nilai keanggotaan yaitu 0 atau 1. Tetapi pada himpunan fuzzy, nilai keanggotaan dari anggota-anggotanya tidak hanya 0 dan 1 saja. Tapi berada pada interval tertutup [0,1]. Dengan kata lain himpunan A dikatakan fuzzy selama fungsi ∶ � → 0,1 . Himpunan Fuzzy didasarkan pada gagasan untuk memperluas jangkauan fungsi karakteristik sedemikian hingga fungsi tersebut akan mencakup bilangan real pada interval [0,1]. Nilai keanggotaannya menunjukkan bahwa suatu item dalam semesta pembicaraan tidak hanya berada pada 0 atau 1, namun juga nilai yang terletak diantaranya. Dengan kata lain, nilai kebenaran suatu item tidak hanya bernilai benar atau salah. Nilai 0 menunjukkan salah, nilai 1 menunjukkan benar, dan masih ada nilai-nilai yang terletak antara benar dan salah [8]. Misalkan diketahui klasifikasi sebagai berikut : MUDA umur 35 tahun SETENGAH BAYA 35 umur 55 tahun TUA umur 55 tahun Dengan menggunakan pendekatan crisp, amatlah tidak adil untuk menetapkan nilai SETENGAH BAYA. Pendekatan ini bisa saja dilakukan untuk hal-hal yang bersifat diskontinu. Misalkan klasifikasi untuk umur 55 dan 56 sangat jauh berbeda, umur 55 tahun termasuk SETENGAH BAYA, sedangkan umur 56 tahun sudah tidak termasuk tua. Demikian pula kategori MUDA dan TUA. Orang yang berumur 34 tahun dikatakan MUDA, sedangkan orang yang berumur 35 tahun sudah TIDAK MUDA lagi. Orang yang berumur 55 tahun termasuk SETENGAH BAYA, orang yang berumur 55 tahun lebih 1 hari sudah TIDAK SETENGAH BAYA lagi. Dengan Universitas Sumatera Utara demikian pendekatan crisp ini sangat tidak cocok untuk diterapkan pada hal-hal yang bersifat kontinu, seperti umur. Selain itu, untuk menunjukkan suatu umur pasti termasuk SETENGAH BAYA, atau tidak termasuk SETENGAH BAYA, dan menunjukkan suatu nilai kebenaran 0 atau 1, dapat digunakan nilai pecahan dan menunjuk 1 atau nilai yang dekat dengan 1 untuk umur 45 tahun, kemudian perlahan menurun menuju ke 0 untuk umur dibawah 35 tahun dan diatas 55 tahun. Pusat dari fungsi keanggotaan untuk beberapa himpunan fuzzy A didefinisikan sebagai daerah dari universe yang dicirikan oleh keanggotaan lengkap dan penuh dalam himpunan A yaitu pusat terdiri dari elemen-elemen x dari universe sehingga � = 1. Penyokong dari fungsi tujuan untuk beberapa himpunan fuzzy A didefinisikan sebagai daerah dari universe yang dicirikan oleh keanggotaan tak nol dalam himpunan A yaitu penyokong terdiri dari elemen-elemen x dari universe sehingga � 0. Suatu himpunan fuzzy yang pendukungnya merupakan satu titik di dalam universe disebut fuzzy singleton. Batas dari fungsi tujuan untuk beberapa himpunan fuzzy A didefinisikan sebagai daerah dari universe berisi elemen-elemen yang memiliki keanggotaan tak nol tetapi juga keanggotaan tidak lengkap yaitu batas terdiri dari elemen- elemen x dari universe sehingga � 1. Universitas Sumatera Utara Himpunan fuzzy convex dilukiskan oleh fungsi keanggotaan yang nilai keanggotaan merupakan penambahan tepat secara monoton atau nilai keanggotaan merupakan pengurangan tepat secara monoton atau nilai keanggotaan merupakan penambahan tepat secara monoton kemudian nilai keanggotaan merupakan pengurangan tepat secara monoton dengan menambahkan nilai untuk elemen dalam universe. Dengan kata lain, jika untuk beberapa nilai elemen x, y, z dalam himpunan fuzzy A, relasi yang mengandung arti bahwa � min [ � , � ] 2.1

2.1.1. Fungsi Keanggotaan

Fungsi keanggotaan membership function adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaannya sering juga disebut dengan derajat keanggotaan yang memiliki interval antara 0 sampai 1 [8]. Sebuah himpunan fuzzy A dari bilangan riil  didefinisikan oleh fungsi keanggotaannya dinotasikan oleh A � ∶  → 0,1 2.2 Jika  maka � dikatakan sebagai derajat keanggotaan x dalam A. Himpunan fuzzy dalam disebut normal jika terdapat  sehingga � = 1 . Universitas Sumatera Utara

2.1.2. Bilangan Fuzzy Triangular

Sebuah himpunan fuzzy A disebut bilangan fuzzy triangular dengan nilai tengah a, sebelah kiri 0 , dalam disebut convex jika A adalah unimodal sebagai sebuah fungsi. Bilangan fuzzy dan sebelah kanan 0. Fungsi keanggotaannya adalah sebagai berikut : � = 1 − − − 1 − − + 2.3 Penyokong A adalah − , + . Bilangan fuzzy triangular dengan nilai tengah a dilihat sebagai nilai kwantitas fuzzy. “ x dekat terhadap a “atau” x hampir sama dengan a ”. 1 − + x Gambar 2.1 Bilangan Fuzzy Triangular

2.1.3. Bilangan Fuzzy Trapezoidal

Sebuah himpunan fuzzy A disebut bilangan fuzzy trapezoidal dengan interval toleransi [a,b], sebelah kiri dan kanan . Fungsi keanggotaannya adalah sebagai berikut : Universitas Sumatera Utara � = 1 − − − 1 1 − − + 2.4 Penyokong A adalah − , + . Bilangan fuzzy trapezoidal dapat dilihat sebagai nilai kwantitas fuzzy. “ x mendekati pada interval [a,b] ”. 1 x − a b + Gambar 2.2 Bilangan Fuzzy Trapezoidal

2.2 Goal Programming

2.2.1 Konsep Dasar dari Goal Programming

Dalam bukunya [9], Linier goal programming LGP merupakan pengembangan Linier Programming LP. LGP diperkenalkan oleh Charnes dan Cooper pada awal tahun 60-an. Perbedaan utama dari LGP dan LP terletak pada struktur dan penggunaan fungsi tujuan. Dalam LP fungsi tujuannya hanya mengandung satu tujuan, sementara dalam LGP semua tujuan apakah satu atau beberapa digabungkan dalam sebuah fungsi tujuan. Ini dapat dilakukan dengan mengekspresikan tujuan itu dalam bentuk kendala goal constraint, memasukkan suatu variabel simpangan deviational variable dalam kendala itu untuk mencerminkan seberapa jauh tujuan itu dicapai, dan menggabungkan variabel simpangan dalam fungsi tujuan. Dalam LP tujuannya bisa Universitas Sumatera Utara maksimasi atau minimisasi, sementara dalam LGP tujuannya adalah meminimumkan penyimpangan-penyimpangan dari tujuan-tujuan tertentu. Ini berarti semua masalah LGP adalah masalah minimisasi. a. Berikut ini adalah definisi dari beberapa istilah dan lambang yang biasa digunakan dalam LGP.  Decision variable Variabel keputusan : seperangkat variabel yang tidak diketahui dalam model LGP dilambangkan dengan j x , dimana j = 1,2,…,n yang akan dicari nilainya  Right hand side values RHS : nilai – nilai yang biasanya menunjukkan ketersediaan sumber daya dilambangkan dengan i b yang akan ditentukan kekurangan atau kelebihan penggunaannya.  Goal Tujuan : keinginan untuk meminimumkan angka penyimpangan dari suatu nilai RHS pada suatu goal constraint kendala tujuan tertentu.  Goal Constraint Kendala Tujuan : sinonim dari istilah goal equation, yaitu suatu tujuan yang diekspresikan dalam persamaan matematik dengan memasukkan variabel simpangan.  Preemptive priority factor : suatu system urutan yang dilambangkan dengan k P , dimana k = 1,2,…,K dan K menunjukkan banyaknya tujuan dalam model yang memungkinkan tujuan-tujuan disusun secara ordinal dalam model LGP. Sistem urutan itu menempatkan tujuan-tujuan dalam susunan dengan hubungan seperti berikut : � 1 � 2 ⋯ � 1 P merupakan tujuan yang paling penting 2 P merupakan tujuan yang kurang penting dan seterusnya.  Deviational vearible Variabel simpangan : variabel-variabel yang menunjukkan kemungkinan penyimpangan negatif dari suatu nilai RHS kendala tujuan dalam Universitas Sumatera Utara model LGP dilambangkan dengan  i d , dimana i = 1,2,…,m dan m adalah banyaknya kendala tujuan dalam model atau penyimpangan positif dari suatu nilai RHS dilambangkan dengan  i d . Variabel-variabel ini serupa dengan slack variabel dalam LP.  Differential weight bobot : timbangan matematik yang diekspresikan dengan angka kardinal dilambangkan dengan ki w dimana k = 1,2,…, K: i =1,2,…m dan digunakan untuk membedakan variabel simpangan i di dalam suatu tingkatan prioritas k.  Technological coeffient koefisien teknologi : nilai-nilai numerik dilambangkan dengan ij a yang menunjukkan penggunaan nilai i b per unit untuk menciptakan j x . b. Unsur-unsur Linear Goal Programming LGP Setiap model LGP paling sedikit terdiri dari tiga komponen yaitu, sebuah fungsi tujuan, kendala tujuan dan kendala non-negatif.  Fungsi Tujuan Ada tiga jenis fungsi tujuan dalam LGP, yaitu : Minimumkan Z =      m i i i d d 1 Fungsi tujuan diatas digunakan jika variabel simpangan dalam suatu masalah tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot. Minimumkan Z =      m i i i k d d P 1 untuk k = 1,2,…,K Fungsi tujuan diatas digunakan dalam suatu masalah dimana urutan tujuan-tujuan diperlukan, tetapi variabel simpangan di dalam setiap tingkat prioritas memiliki kepentingan yang sama. Universitas Sumatera Utara Minimumkan Z =      m i i i k ki d d P w 1 untuk k = 1,2,…,K Fungsi tujuan diatas digunakan dalam suatu masalah dimana tujuan-tujuan diurutkan dan variabel simpangan pada setiap tingkat prioritas dibedakan dengan menggunakan bobot yang berlainan ki w [8]. x F i merupakan bentuk matematika yang mewakili tujuan dan i b adalah nilai sisi kanan level aspirasi. Ada tiga kemungkinan tujuan yaitu: i i b x f  i i b x f  i i b x f   Kendala Tujuan Ada enam jenis kendala tujuan yang berlainan yang maksud setiap jenis kendala itu ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan.pada tabel berikut: Kendala Tujuan Variabel simpangan dalam fungsi tujuan Kemungkinan Simpangan Penggunaan Nilai RHS yang diinginkan i i j ij b d x a     i d Negatif = i b i i j ij b d x a     i d Positif = i b i i i j ij b d d x a       i d Negatif dan positif i b atau lebih i i i j ij b d d x a       i d Negatif dan positif i b atau kurang Universitas Sumatera Utara Kendala Tujuan Variabel simpangan dalam fungsi tujuan Kemungkinan Simpangan Penggunaan Nilai RHS yang diinginkan i i i j ij b d d x a       i d dan  i d Negatif dan positif = i b i i j ij b d x a     i d artf. Tidak ada pas = i b Setiap jenis kendala tujuan harus punya satu atau dua variabel simpangan yang ditempatkan pada fungsi tujuan. Dimungkinkan adanya kendala-kendala persamaan linier. Persamaan pertama maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan  dalam masalah program linier maksimisasi. Persamaan kedua maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan  pada masalah program linier minimisasi. Persamaan ketiga, keempat dan kelima semuanya memperbolehkan penyimpangan dua arah, tetapi persamaan kelima mencari penggunaan sumber daya yang diingginkan sama dengan i b . Ini serupa dengan kendala persamaan dalam linier programming, tetapi tidak menempel pada solusi karena dimungkinkan adanya penyimpangan negatif dan positif. Jika kendala persamaan dianggap perlu dalam perumusan model linear goal programming LGP, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah variabel artifial  i d , seperti pada persamaan keenam. Persamaan ketiga dan keempat memperbolehkan adanya penyimpangan positif dan negatif dari nilai RHSnya.  Kendala Non-Negatif Seperti dalam liear programming, variabel-variabel model LGP biasanya bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Semua model LGP terdiri dari variabel simpangan dan variabel keputusan, sehingga pernyataan non-negatif dilambangkan sebagai : , ,    i i j d d x Universitas Sumatera Utara  Kendala Struktural Disamping ketiga komponen yang telah disebutkan itu, dalam model LGP kadang- kadang terdapat komponen yang lain, yaitu kendala struktural artinya kendala-kendala lingkungan yang tidak berhubungan langsung dengan tujuan-tujuan masalah yang dipelajari. Variabel simpangan tidak dimasukkan dalam kendala ini, karena itu, kendala ini tidak diikutsertakan dalam fungsi tujuan.

2.3. Model Fuzzy Goal Programming

Pemaparan teori himpunan fuzzy untuk masalah goal programming pertama kali dikemukakan oleh Hannan1981 juga Ignizio 1982. Secara komprehensif berbagai aspek teori keputusan dengan menggunakan pendekatan fuzzy goal programming didiskusikan oleh Rubin dan Narasimhan 1984 juga Tiwarki dkk 1986. Aplikasinya untuk pemodelan keputusan untuk berbagai aspek yang luas, misalnya untuk persoalan manajemen lingkungan diungkapkan oleh Tiwari dkk 1985. Ada sedikit perbedaan antara Goal Programming dan Fuzzy Goal Programming yaitu goal programming membutuhkan pengambil keputusan untuk menetapkan dengan pasti nilai-nilai aspirasi untuk setiap tujuan yang ingin dia capai, sedangkan kemudian ditetapkan dalam cara yang tidak teliti. Tujuan fuzzy di sini dianggap sebagai tujuan dengan tingkat aspirasi tidak tepat. Pertimbangan kepentingan relatif berbeda dan tujuan prioritas dalam tujuan fuzzy layak daripada yang lain. Narasimhan telah menggunakan linguistik variabel, seperti sangat penting, kurang penting dan agak penting, untuk menggambarkan bobot fuzzy tujuan, dan didefinisikan keanggotaan sesuai fungsi dengan menentukan interval derajat keanggotaan yang diinginkan untuk mencerminkan pentingnya. Model formulasi fuzzy goal programming adalah sbb: Cari nilai Universitas Sumatera Utara � 1 , 2 , … , 2.5 Sehingga memenuhi � ≅ , = 1,2, … , S.t �� ≅ , � 0, 2.6 Dimana X adalah vektor variabel-variabel keputusan, adalah ketidakjelasan level aspirasi ke- k tujuan � = 1,2, … , , A adalah koefisien matriks, b adalah vektor nilai kanan sumber �� ≅ mewakili kendala fuzzy, dimana dan menunjukkan pada versi fuzzy dari dan . Sekarang dalam situasi pengambilan keputusan fuzzy, fuzzy goal dicirikan oleh fungsi keanggotaannya secara beturut-turut.

2.4 Bilevel programming