Ketidak samaan kendala dinyatakan sebagai jenis „ , =‟, walaupun jenis persamaan
kendala „ . =‟ juga dinyatakan dalam formula di atas. Sebuah solusi yang tidak memenuhi semua kendala
+ dan semua batas variabel 2 yang dinyatakan di atas disebut solusi infisibel. Dengan kata lain, jika beberapa solusi memenuhi semua
kendala dan batas variabel, disebut sebagai solusi fisibel. Dengan demikian, disadari bahwa dalam kehadiran kendala, keseluruhan ruang variabel keputusan
� tidak harus fisibel. Himpunan semua solusi fisibel disebut daerah fisibel atau
�.
Walaupun ada perbedaan yang signifikan dalam cara bahwa sebuah fungsi kriteria dan sebuah fungsi tujuan didefinisikan, dalam pandangan yang luas
dinyatakan identik. Salah satu perbedaan menonjol antara single-objective dengan multi-objective adalah bahwa dalam optimasi multi-objective fungsi tujuan
merupakan sebuah ruang multi-dimensional, dalam tambahan pada ruang variabel keputusan biasa. Ruang tambahan ini disebut ruang tujuan,
�. Untuk setiap solusi dalam ruang variabel keputusan, ada sebuah titik di dalam ruang tujuan dinyatakan
dengan = =
1
,
2
, … , . Pemetaan terjadi antara – dimensi vektor
solusi dan sebuah − dimensi vektor tujuan.
Optimasi multi-objektive kadang-kadang mengacu pada optimasi vektor, karena sebuah vektor tujuan, sebagai ganti tujuan tunggal, dioptimalkan.
2.5.1.1 Masalah Optimasi Multi-Objective Linier dan Nonlinier
Jika semua fungsi tujuan dan fungsi kendala linier, hasil MOOP disebut program linier multi-objective. Seperti masalah pemrograman linier, program linier multi-
objective juga memiliki banyak sifat. Akan tetapi, jika beberapa fungsi tujuan atau fungsi kendala adalah nonlinier, hasil masalah itu disebut masalah nonlinier multi-
Universitas Sumatera Utara
objective. Sayangnya, untuk teknik penyelesaian masalah nonlinier sering tidak memiliki bukti yang konvergen. Karena kebanyakan kenyataanya masalah optimasi
multi-objective merupakan nonlinier pada dasarnya, tidak diasumsikan beberapa struktur khusus tujuan dan fungsi kendala di sini.
3 2
2
1 1
Gambar 2.3 Perwakilan hubungan dari ruang variabel keputusan dan ruang tujuan
2.5.1.2 Masalah Optimasi Konvex dan Nonkonvex
Definisi 2.1 Sebuah fungsi
∶ ℝ ⟶ ℝ merupakan fungsi konveks jika ada dua
pasangan solusi
1
,
2
� ℝ , maka kondisi berikut adalah benar:
1
+ 1 −
2 1
+ 1 −
2
2.9 untuk semua
1. Definisi di atas menimbulkan sifat fungsi konveks sebagai berikut:
1. Aproksimasi linier pada suatu titik dalam interval
1
,
2
selalu menaksir terlalu rendah nilai fungsi sebenarnya.
2. Matriks hessian adalah definit positif untuk semua .
3. Untuk sebuah fungsi konveks, minimum lokal selalu merupakan minimum
global. Gambar 2.3 mengilustrasikan sebuah fungsi konveks. Sebuah fungsi yang
menyatakan persamaan yang ditunjukkan dalam persamaan 2.2 dengan tanda „ ‟ sebagai ganti tanda
„ ‟ disebut sebuah fungsi nonkonveks. Untuk menguji jika sebuah
Universitas Sumatera Utara
fungsi adalah konveks dengan suatu interval, matriks hessian
2
dihitung dan diperiksa kedefinitan positif pada semua titik di dalam interval tersebut. Salah satu
cara memeriksa kedefinitan positif suatu matriks adalah menghitung nilai eigen matriks dan diperiksa untuk melihat apakah semua nilai eigen positif untuk menguji
apakah sebuah fungsi adalah nonkonveks dalam sebuah interval, matriks hessian −
2
diperiksa untuk mengetahui kedefinitan positif-nya. Jika matriks tersebut definit positif, fungsi adalah non-konveks.
Adalah sangat menyenangkan menyadari bahwa jika sebuah fungsi adalah nonkonveks, himpunan solusi memenuhi
0 mewakili himpunan konveks. Jadi, ruang pencarian fisibel yang dibentuk dengan fungsi kendala
nonkonveks akan melampirkan daerah konveks. −
1
+ 1 −
2 2
1
1
1
+ 1 −
2 2
Gambar 2.4 Ilustrasi fungsi convex
Definisi 2.1.2
Sebuah masalah optimasi multi-objective adalah konveks jika semua fungsi tujuan konveks dan daerah fisibel konveks atau semua
persamaan kendala adalah nonkonveks dan kesamaan kendala adalah linier.
Berdasarkan definisi ini, sebuah pemrograman linier multi-objective adalah masalah konveks.
2.6 Linear Fractional Programming
