Pada matriks massa akan digunakan perhitungan dari respon struktur yang memberikan persamaan A-10 dan A-15, kemudian akan kembali kepada waktu di
lantai pertama dan di lantai bearing, dianalisa secara teliti.
4.2. Determinan Matriks Kekakuan
Gambar 14: Sistem Koordinat Matriks Kekakuan
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
Matriks kekakuan dari struktur bangunan setelah dianalisa adalah selalu lebih kompleks dari matriks massa. Dimana di dalam formulasi matriks massa hanya ada
satu koordinat transformasi yang dibutuhkan untuk lantai yang lain, dan matriks kekakuan diperoleh dari perhitungan pada kontribusi element yaitu kekakuan pada
lantai yang lain. Pada gambar menunjukan suatu individual elemen j di lantai i pada
struktur bangunan. Umumnya formulasi ditunjukan pada gambar ini, yaitu diantara banyak pandangan pada elemen- elemen kekakuan tersebut.
Elemen pada displacement- diplacement di dalam sistem koordinat lokal dari elemen tersebut diperoleh, seperti garis axis
, maka ini akan di determinan. Dan displacement- displacement akan mendapatkan reaksi dari displacement pada
elemen axis yaitu maka diperoleh:
A-16
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
Secara seragam matriks disusun dari persamaan- persamaan yang baru diperoleh dengan beberapa cara yaitu:
A-17 Persamaan matriks dikembangkan kembali yaitu:
A-18 Reaksi gaya pada displacement yaitu element di garis
pada sistem koordinat dapat dituliskan sebagai berikut :
A-19 Persamaan matriks dikembangkan dengan hasil yaitu:
A-20 Displacement- displacement lokal akan di determinan di dalam persamaan A-17 dan
A-18 sebagai fungsi dari semua displacement. Adapun persamaan A-19 dapat ditulis kembali yaitu:
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
A-21 Gaya- gaya harus di transfer ke
pada sistem koordinat. Kembali ke reaksi semula hampir sama dengan displacement tersebut. Matriks transformasi
menggunakan gaya- gaya yang berubah pada penggunaan perubahannnya yaitu:
A-22 Dengan pengembangan pada notasi yaitu:
A-23
Substitusi persamaan A-21 ke dalam persamaan A-22, dan pada gaya reaksi umum displacement adalah determinan ke dalam koordinat sistem
yaitu:
A-24
Kemudian dijabarkan, maka rumus diteliti pada bagian j dan pada lantai lainnya adalah i. Dan pada kontribusi sisi bagian yang lain harus diasumsikan ke determinan
kekakuan secara total pada lantai yang lain, yaitu:
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
A-25
Persamaan- persamaan ini dimasukan ke dalam kesatuan matriks dengan hasil sebagai berikut:
A-26 Dimana:
A-27
Pada gaya dan kemudian gaya ini diteruskan pada O dari axis OXY.
Displacement akan dianalisa di dalam pada sistem koordinat. Displacement
ini akan dipindahkan atau ditransfer ke garis axis OXY yaitu:
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
A-28 Persamaan ini dimasukan kedalam kesatuan matriks dengan hasil yaitu :
A-29 Dan gaya- gaya ini diperoleh displacement- displacement dengan menggunakan rumus
ke dalam sistem koordinat OXY. Adapun reaksi gaya pada displacement dapat
dituliskan di dalam sistem yaitu:
A-30 Dimana:
A-31
A-32
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
Matriks ada banyak model aplikasi diperoleh di dalam persamaan A-31 dan disederhanakan secara teliti pada persamaan tersebut menjadi :
A-33 Nilai hasil yang dicapai pada elemen tunggal dari kekakuan matriks
adalah:
A-34
A-35
A-36
A-37
A-38
A-39
A-40
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
A-41 A-42
Rumus ini diambil kembali dengan kontribusi dari sisi bagian j pada nilai kekakuan yang lebih pada lantai ke i . Penyelesaian persamaan A-34 , dan kemudian A-42
pada kombinasi dalam matriks tunggal single, diperoleh satu kesatuan matriks
kekakuan pada lantai ke i. 4.3. Determinan Pada Lokasi Shear Center
Gaya perhentian dari lantai i, diperoleh sama dengan banyak model matriks
kekakuan pada vektor displacement, maka gambaran- gambaran itu terlihat dari tiap lantai pada shear center. Adapun lokasi dari shear center haruslah dideterminan dari
perubahan property garis axis OXY dengan rumus persamaan dari getaran struktur bangunan. Pada gambar di bawah ini menunjukan shear center Sc pada lantai ke i.
Dengan catatan pada sisi adalah arah waktu positif, tidak seperti sisi di dalam
tahap berikutnya.
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
Gambar 15: Koordinat shear center Untuk mengetahui gaya shear pada shear center kembali ke semula, yaitu gaya
pertama dirubah ke koordinat , dimana pada paralel koordinat- koordinat
global dengan mula- mula dari shear center. Kemudian gaya- gaya ini akan kembali ke dasar pada axis global. Dengan cara yang sama akan dilakukan pada displacement-
displacement. Pada gambar di atas diperoleh analisa- analisa dari vektor- vektor yang digunakan untuk tujuan mendapatkan gaya axis global.
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
A-43 Gaya perubahan pada axis shear yang utama yaitu,
, pada sistem koordinat
, kemudian persamaan akan dijabarkan sebagai berikut :
A-44 Persamaan- persamaan juga dapat dijabarkan pada displacement- displacement,
kemudian gaya- gaya transformasi yang mengakibatkan terjadinya displacement menjadi prakiraan pada sisi ruas bagian yang sama. Persamaan A-44 dapat ditulis
kembali pada kesatuan matriks dari suluruh gaya transformasi pembentuk displacement- displacement, dan diambil dari persamaan A-43. Persamaan matriks
ini adalah:
A-45 Dimana:
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
A-46 Kemudian gaya ini haruslah di transformasi dari shear center ke global keseluruhan.
Persamaan- persamaan digunakan untuk hal yang sama pada waktu tertentu dalam persamaan A-25, dan notasi tanda ini akan berbeda- beda . Transformasi ini adalah:
A-47
Persamaan A-47, adalah kembali ke seluruh gaya- gaya pada kombinasi dengan displacement, dan dapat diletakan pada kesatuan matriks yaitu :
A-48 Dimana:
A-49
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
Pada variasi gaya dan displacemen- displacemen telah mengalami transformasi, dan reaksi pada displacemen dan haruslah diteliti. Adapun nilai untuk memulai suatu gaya
akan mempermudah mengetahui reaksi gaya dengan displacemen pada lantai ke- i,
yaitu kembali ke persamaan A-30.
A-50 Persamaan A-48 adalah substitusi ke dalam persamaan yaitu:
A-51 Dengan banyak ragam metode pada sisi ruas yang lain dari persamaan
dan notasi sebagai definisi yaitu,
dan dijabarkan yaitu:
A-52 Substitusi persamaan A-45 ke persamaan lain yaitu:
A-51 Dengan penggunaan
sebagai eliminasi dengan penambahan nilai dari sisi
ruas kiri hanya untuk reaksi gaya dengan displacement pada shear center pada lantai
ke – i yaitu:
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
A-52 Dimana:
A-53 Untuk kesatuan dengan pengembangan nilai persamaan yang lebih, akan
diperlihatkan pada persamaan matriks yaitu persamaan A-52 dan dapat dijabarkan sebagai berikut:
A-54 Dimana:
A-55 A-56
A-57 A-58
A-59 A-60
A-61
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
A-62 A-63
Karena reaksi gaya dengan displacement pada persamaan A-54 adalah di tengah
bentang shear center pada lantai ke- i, maka kekakuan matriks haruslah diambil suatu
nilai sebagai definisi. Dengan cara yang lain, yaitu dengan penambahan diagonal yang harus ditiadakan tambahan seperti
haruslah sama dengan nol. Bagian dari penelitian matematika adalah solusi untuk mencari nilai tambahan
menjadi nol. Defenisi pertama dengan menggunakan angle ß kemudian dijabarkan
yaitu :
A-64 Dimana:
A-65 Secara trigonometri,
. Diperoleh identitas ini, maka persamaan A-64 dapat dijabarkan sebagai berikut:
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
A-66 Dengan menggunakan persamaan A-56 dan D2 diperoleh persamaan:
A-67 Substitusi persamaan- persamaan A-64 dan A-66 di dalam persamaan A-67 yaitu
A-68 Dengan menggunakan kembali trigonometri identitas
dan dapat dijabarkan kembali yaitu:
A-69 Dimana, dari
, persamaan A-69 dapat disederhanakan menjadi:
A-70 Dengan analisa diperoleh,
persamaan akan menjadi nol ketika .
Di dalam perhitungan diaturlah penambahan menjadi nol,
dan harus mempunyai hasil yang juga sama dengan nol. Sebagai solusi dari
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
persamaan- persamaan A-57 dan A-59 dengan penambahan yang simultan dari dan
, dengan pengembangan diperoleh hasil yaitu:
A-71
A-72
Sekarang lokasi dari shear center dari lantai ke- i dapat dideterminan dengan dampak
kepada axis koordinat global dengan perantaraan persamaan A-71 dan A-72. Juga orientasi pada dari shear center dapat dideterminan melalui persamaan- persamaan
A-64, A-65 dan A-66. Penggunaan persamaan- persamaan A-71 dan A-72, dengan pengembangan
yang disederhanakan dari dapat dijabarkan. Dengan persamaan kekakuan
torsional, A-60, didapatlah yaitu: A-73
Dan sekarang dengan menggunakan matriks kekakuan secara umum dari persamaan
A-32, maka matriks kekakuan pada shear center dari lantai i dapat dikembangkan
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
dengan menggunakan persamaan- persamaan A-55, A-58 dan A-73. Hasil akhir dari matriks adalah:
A-74 4.4. Friction Gesekan
Penyelesaian dari thesis ini adalah perhitungan gesekan bearing pada respon struktur. Jika friction adalah yang diteliti di dalam suatu perhitungan, maka hal ini
akan dianalisa dan dikerjakan secara non- linear pada penjabarannya. Dimana secara detail penjabaran ini diteliti dan analisa dampak- dampak dari gesekan.
Gaya gesekan kembali dengan menggunakan banyak waktu dengan percepatan vertikal total dimana hasil ini adalah gaya pada percepatan vertikal ditambah
percepatan gravitasi g, serta penggunaan waktu dengan matriks massa pada gesekan konstan . Dimana, secara phisik dasar dijelaskan pada nilai , dan satu dari gesekan
statis dan satu dari gesekan kinetik. Koefisien statis diambil pada massa resistan
dari semua getaran. Koefisien kinetik
pada massa resistan untuk getaran yang terus- menerus. Begitu juga pada koefisien- koefisien dari gesekan akan dijelaskan pada respon dinamik dari
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
struktur. Sebagai defenisi, selama getaran, yang diteliti adalah waktu, ketika kecepatan dari struktur diredam menjadi nol. Pada kondisi seperti ini didefinisikan sebagai phase
“non- sliding” pada tahap struktur haruslah lebih di analisa dengan teliti pada gaya gesekan statis dan kembali kepada getaran.
Untuk perhitungan yang mendetail pada pase non- linear sebagai respon dari gesekan, maka gaya ini sangat diperlukan untuk dideterminan yaitu waktu pase
perhitungan non- sliding. Pada penggunaan metode ini dipergunakan persamaan- persamaan dari getaran- getaran dengan determinan gesekan resistan kepada getaran,
maka akan diteliti secara detail lagi gaya dinamik pada struktur bangunan. Kesatuan rumus ini adalah satu dimensi pada suatu analisa penelitian dari Mosthagel dan
Khordaverdian 1988.
4. 4. 1. Data – data Bahan sebagai Selimut Bearing
