Persamaan ini adalah MDOF ekivalen dengan persamaan a – 5; yang lain dari persamaan SDOF dikembangkan dengan matriks dalam persamaan c – 10, matriks
lain dihubungkan kepada bagian derajat kebebasan yang digunakan di dalam displacement- displacement dari struktur. Persamaan c – 10 diekpresikan kepada
persamaan- persamaan dari getaran untuk memperbaiki respon dari sistem MDOF.
2. 8. Analisa Single Story Linear
Perhitungan pada Respon Dinamik struktur bangunan pada daerah spesifik yang ruang geraknya adalah suatu proses yang sangat kompleks. Pada penjabaran
persamaan- persamaan dari struktur bangunan serta dengan analisa time history pada waktu yang sedikit menuju suatu nilai yang akurat. Analisa ini adalah yang pertama
kalinya ditemukan yaitu secara three dimensional struktur bangunan one- story satu lantai dengan tiga derajat kebebasan yaitu: dua pendekatan arah gerakan horijontal
dan daerah rotasi torsi. Perhitungan 3 derajat kebebasan ini mendekati level redaman isolasi pada lantai pertama yaitu total mendekati 6 derajat kebebasan. Untuk langkah
lebih maju dari thesis ini maka struktur yang simple ini dikembangkan secara absolut.
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
Gambar 10 : Lantai 1 Free body diagram.
2.8.1. Prosedur Analisa
Analisa ini adalah penjabaran persamaan gerakan lantai satu dengan lantai berikutnya. Gambar 1 menunjukan gambaran kembali ke free body diagram dengan
potongan struktur secara cermat dan akurat menuju ke lantai dua, dan yang jelas tetap pada lantai 1. Gaya- gaya elastis dan gaya- gaya damping selama terjadi guncangan
dapat terlihat pada gambar, tetapi kenyataannya pada bagian perpindahandisplacement dan kecepatanvelocity dari struktur, secara teliti,
berlangsung pada setiap lantai. Dengan mempelajari secara teliti pada gambar 10 persamaan dapat dituliskan:
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
2 -1
Gambar 11: Superstructure Free Body Diagram Gambar 11: menyatakan free body diagram dari gambar struktur dan yang dipotong
diantara bearing dan pada lantai, kemudian didapat hitungan yang akurat pada struktur. Pada kenyataannya dari gambar 10, gerakan gaya elastis dan gaya damping
tidak tampakan. Ada juga gaya gesekan bearing pada lantai base, tetapi juga tidak diperlihatkan. Gambaran gaya gesekan bergantung pada kecepatannya. Dengan
memperhatikan gambar 11 persamaan dalam kurung dapat dituliskan dalam sebagai berikut:
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
2-2 Dimana :
Gaya inertia lantai ke- i Gaya Damping lantai ke- i
Gaya Elastis lantai ke- i Gaya gesekan pada level bearing
lantai ke - i; b untuk base, 1 untuk lantai 1 atap Rumusan ini terjadi selama gesekan pada bearing yang dianalisa secara teliti ;
dan gesekan pada lantai akan diabaikan. Untuk memperjelas kasus gesekan pada level bearing, sangat simpel menyusun koefisien gesekan yaitu , dan menjadi nol serta
proses yang diperoleh dari suatu solusi. Dari persamaan 1 dan 2 diaplikasikan kepada 3 bagian; 2 arah horijontal
dan arah torsional dengan kembali pada momen- momennya. Pada penulisan persamaan ini adalah dengan 3 derajat kebebasan, dan persamaan matriks dituliskan
ke dalam persamaan 1 dan 2 yaitu:
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
2-3
2-4 Persamaan 2- 2 dan 2-3 dapat dikembangkan menjadi:
2-5
2.8.2. Persamaan- Persamaan Pada Gerakan Level Bearing.
Persamaan 4 dapat dikembangkan sesuai dengan persamaan semula. Dimana gaya gesekan tidaklah setimbang di dalamnya. Dengan definisinya, gaya gesekan
adalah persamaan yang normal dan gesekannya biasa dengan constanta . Gaya- gaya normal di dalam rumusan ini akan mengambil massa matriks secara berulang kali dan
percepatan vertikal total dari struktur bangunan, adalah gaya gravitasi yang
dijabarkan langsung pada percepatan vertikal gempa pada bearing- bearing, seperti persamaan berikut:
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
2-6 Yang mana:
2-7
2-8
2-9
2-10
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
2-11 percepatan gempa vertikal
Catatan matriks kekakuan adalah bagian kekakuan dari proses penjabaran.
Vektor perpindahan displacement dapat diperoleh selama posisi tepat pada metode dasar, dimana pada kombinasi linear dari mode shapes akan digunakan
prakiraan displacement perpindahan. Displacement perpindahan akan memberikan catatan fungsi dari mode shapes pada struktur yaitu:
2-12
2-13 Vektor- vektor
disatukan dalam banyak model, yaitu normal dan koordinat. Permodelan koordinat- koordinat memberikan dampak- dampak pada shape model
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
lainnya yaitu deformasi perubahan dari struktur, dari persamaan 12 dan persamaan 13.
Model Shapes akan dijabarkan sebagai solusi umum pada masalah Nilai
Eigen.
2-14
2-15 Mode Shapes secara aktual menggunakan Vektor Eigen dari persamaan 2-14 dan
persamaan 2-15 dan frekuensi- frekuensi alami pada perhitungan penggunaan nilai Eigen. Matriks dasar akan memberikan perhitungan hasil yaitu :
2-16 Dasar matriks lantai 1,
, adalah bagian persamaan 2-14 dan mariks pada base pada bearing- bearing,
, adalah penjabaran pada persamaan 2-15. Kolom- kolom matriks dasar diteruskan ke model shapes, dengan kolom
pertama perulangan model primer, serta pengiriman data frekuensi primer yang alami. Secara perhitungan baris yang lain dengan kembali ke matriks dasar memberikan
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
banyak model dari displacement perpindahan, dan suatu kombinasi pada bagian 3 komponen yang aktual dari Respon struktur yaitu pada persamaan 2-12 dan 2-13.
Dimana, kontribusi dasar displacement perpindahan yang lain pada 3 derajat kebebasan dari setiap lantai.
Mode Shapes adalah massa dengan sifat normal yang memberikan relasi sebagai berikut:
2-17 Persamaan 2-6 akan dipermudah, dengan menggunakan persamaan 2-17, dengan
subtitusi pertama persamaan 2-12 yaitu :
2-18 Kemudian, dengan analisa perhitungan cara yang lain pada persamaan deformasi dari
model matriks untuk level bearing, diteruskan menjadi persamaan:
2-19
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
Kemudian, massa dengan sifat normal memberikan persamaan 2-17, adalah menggunakan cara yang sederhana dengan ekspresi yaitu:
2-20 Persamaan matriks ini tetap pada 3 persamaan gerakan, yaitu 1 dari beberapa model
displacement perpindahan. Yang lain dari 3 persamaan ditunjukan pada persamaan 2-21, dengan n=1,2, atau 3, dengan kembali ke model displacement perpindahan
yang diteruskan pada persamaan:
2-21 Dengan substitusi menjadi:
2-22
2-23
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
2-24
2-25 Persamaan 2-22 adalah suatu ortogonal dari banyak model. Catatan, persamaan
2-23 adalah matriks damping yang klasik. Untuk perhitungan yang simple digunakan damping klasik akan pada thesis ini.
diberikan dengan cara kembali kepada damping ratio dari tiap lantai dengan model j. Persamaan- persamaan 2-24 dan
persamaan 2-25 adalah hasil dari matriks dengan banyak aplikasi dengan penyederhanaan persamaan dari getaran gaya pada tiap lantai.
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
Gambar 12 : Metode Percepatan Linear.
Persamaan 2-21 adalah tidak memberikan banyak solusi. Penyelesaian displacement perpindahan dari struktur adalah dengan menggunakan fungsi waktu, dan dengan
penjabaran linear interpolasi akan memberikan nilai perubahan pada percepatan acceleration. Gambar 3 menunjukan Metode Percepatan Linear, di dalam percepatan
acceleration telah diketahui dari awal sampai akhir dengan penggunaan waktu dan
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
prakiran garis lurus yang tidak diketahui percepatannya selama interval waktu berlangsung.
Situasi ini akan akurat dengan penggunaan waktu yang sedikit dan lebih efisien disebut
∆t. Sebagai contoh, daerah percepatan gempa diredam pada Lembah bagian
irigasi dari Utara- Selatan tahun 1940 Elcentro, dan gempa bumi California adalah meredam suatu interval waktu
∆t = 0,02 detik sumber, Copra 2001. Metode percepatan linear, diekpresikan pada model percepatan dari lantai
pertama dan gaya percepatan yang kemudian dituliskan sebagai berikut.
2-26
2-27
2-28
2-29 Dapat dilihat dari gambar 3:
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
Sekarang, dengan substitusi persamaan 2-26 ke persamaan 2-29 ke dalam persamaan 2-21 , maka persamaan menjadi:
2-30 Di dalam n = 1,2, dan 3
2-31
2-32 Persamaan 2-30 adalah sama dengan second- order non- homogeneous dengan
perbedaan persamaan dari solusi komplit dan solusi partikulir. Solusi homogeneous, adalah solusi persamaan 2-30 jika sisi sebelah kanan di kalkulasikan menjadi nol,
yaitu:
2-33 Frekuensi damping alami dituliskan dalam bentuk:
2-34
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
Bilangan- bilangan konstan dan
pada persamaan 2-33 dan batas pengambilan initial condition akan di determinan.
Solusi mendekati ke persamaan 2-30 adalah:
2-35 Dengan substitusi ke persamaan 2-35 dan diderivasi ke persamaan 2-30, constan
pada serta
diperoleh hasil yaitu:
2-36
2-37 Kombinasi dari solusi kompleks persamaan 2-33 dan solusi istimewa dari persamaan
2-35 diekspresi kepada yaitu:
2-38
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
Dapat dilihat dari gambar 3, , menjadi
dan mendekati suatu nilai :
2-39 2-40
Nilai dapat digunakan langsung untuk merubah menjadi konstan dan
, dan pada pelaksanaan persamaan- persamaan 2-39 dan 2-40 kepada persamaan 2-38
akan menjadi:
2-41
2-42 Sekarang persamaan disusun menjadi
dengan substitusi persamaan 2-41 dan 2-42 kembali memberikan solusi ke persamaan 2-38, dan memberikan ekpresi dari
adalah :
2-43 Persamaan ini dapat disederhanakan yaitu:
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
2-44
2-45
2-46
2-47 Hampir mendekati suatu persamaan baru yaitu dengan model kecepatan velocity
akan memberikan persamaan 2-38 dengan membuat suatu bagian yang teliti pada waktu dan evaluasi yaitu
. Model kecepatan velocity dapat dituliskan sebagai berikut:
2-48 Dimana :
2-49
2-50
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
Model percepatan dapat juga diberikan pada persamaan 2-38 mendapatkan 2 bagian dengan teliti dari waktu. Model percepatan dapat dituliskan sebagai berikut:
2-51 Dimana:
2-52
2-53 Dengan menggunakan persamaan 2-32, persamaan 2-51 dapat dituliskan sebagai
berikut:
2-54 Persamaan 2-54 di dalam kesatuannya dapat digunakan sebagai solusi dengan
menggunakan waktu sebagai metode, dan determinan dari respon bearing, serta diperoleh redaman percepatan gempa dengan respon gaya- gaya yang bekerja pada
lantai pertama. Dimana, respon gaya pada lantai pertama belum diketahui. Kemudian formulasi dibagi dan dideterminan dengan persamaan- persamaannya pada level
bearing yang memiliki respon dan pada lantai pertama yang belum diketahui juga.
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
2.8.3. Gerakan Dari Persamaan- persamaan Lantai Pertama
Dari gerakan persamaan- persamaan pada lantai pertama, model- model shape akan mendekati massa orthonormal dan dilanjutkan ke massa matriks
. Prakiraan ini membawa matriks massa untuk digunakan ke persamaan 2-5:
2-55
2-56
2-57 Kemudian, gaya damping adalah suatu asumsi yang klasik , dan dapat dipergunakan
dengan matriks diagonal. Prosedur ini diteruskan seperti mengerjakan persamaan deformasi 2-6 ke persamaan 2-21, persamaan 2-5 dapat dituliskan sebagai
berikut :
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
2-58 Kemudian:
2-59
2-60 Sekarang persamaan 2-58 dapat dituliskan dengan menggunakan metode persamaan
percepatan linear yaitu :
2-61
Persamaan ini dapat dituliskan dengan menggunakan fungsi waktu . Pada waktu integrasi, dan permodelan fungsi percepatan bersama model- model fungsi kecepatan
diteruskan menjadi :
2-62 Dengan fungsi integrasi didapat secara teliti yaitu model fungsi displacement dengan
determinan sehingga diperoleh yaitu :
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
2-63 Evaluasi persamaan 2-58 dengan menggunakan waktu
dan disubstitusi ke dalam persamaan 2-61, 2-62, dan 2-63, dengan penambahan ke persamaan 2-58,
dapat ditulis yaitu :
2-64 Kemudian :
2-65
2-66
2-67
Dengan persamaan 2-64 diperoleh suatu fenomena. Dengan substitusi persamaan 2- 54 ke persamaan 2-64, maka apablia tidak mengetahui kecepatan pada bearing yang
berada di luar persamaan, maka dengan analisa rumus diperoleh persamaan baru yaitu:
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
2-68 Disamping persamaan 2-68 menjadi bagian dari
dan formula rumus tambahan dengan penjabaran secara umum diperoleh yaitu :
2-69 Dimana:
2-70
2-71
2-72
2-73
Dengan menggunakan persamaan lainnya, nilai n di dalam persamaan 2-69 di dapat hasil yaitu 1, 2,atau 3 dituliskan langsung dengan kesetimbangan gaya. Dengan
pengembangan persamaan 3 komponen tersebut, maka di dapat persamaan yaitu:
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
2-74 2-75
2-76 Persamaan 2-74, 2-75, dan 2-76 dapat dibentuksuatu matriks yaitu:
2-77 Dari persamaan 2-77 diperoleh suatu hasil dengan determinan dan menggunakan
cara lain lain dengan memasukan maka diperoleh yaitu:
2-78 Dimana:
2-79
Persamaan percepatan ini menggunakan persamaan- persamaan 2-61, 2-62, dan 2- 63 dengan cara determinan diperoleh nilai percepatan, kecepatan dan diplacement
dari lantai pertama, dan secara teliti menggunakan nilai waktu . Analisa ini adalah
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
menggunakan waktu lebih pada seluruh respon struktur pada lantai pertama , maka dengan menggunakan waktu yang relatif kecil dapat diperoleh nilai keakuratan.
Sekarang ada beberapa hal yang belum diketahui dari percepatan, kecepatan dan displacement pada level bearing.
Determinan pada 3 persamaan sebelumnya, yaitu persamaan 2-54, 2-48, dan 2-43, diperoleh percepatan dengan sangat teliti sekali. Percepatan pada lantai
pertama sekarang dapat diperoleh, yaitu dengan menggunakan persamaan- persamaan sebelumnya, maka diperoleh solusi untuk respon pada level bearing. Dimana, nilai ini
untuk level bearing dan respon pada lantai pertama adalah nilai utama yang penting dengan menggunakan step waktu. Untuk meyakinkan seterusnya kesetimbangan
dengan waktu yang lain, maka dengan iterasi harus diperoleh 2 persamaan untuk getaran. Perbedaan diantara 2 iterasi tersebut dapat diabaikan, dan kemudian dengan
menggunakan waktu berikutnya diperoleh suatu keseimbangan. Kelebihan pada respon struktur akan diperoleh durasi yaitu dengan perhitungan secara teliti untuk
mengetahui respon struktur.
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
Displacement maksimum dan percepatan maksimum pada level bearing adalah nilai yang perlu untuk dianalisa secara teliti. Determinan dari displacement diperoleh
secara bebas pada level bearing dari struktur untuk menghindari kerusakan damping selama terjadi respon dinamik. Nilai percepatan penting dengan dideterminan secara
satu- persatu diperoleh dari getaran di dalam struktur.
2.8.4. Ringkasan dan Langkah- langkah Solusi
Proses solusi Single Story Multi Friction Pendulum System Base Isolator struktur adalah suatu dasar proses interaktif selama persamaan- persamaan yang telah
diteliti digunakan. Langkah- langkah dari proses ini adalah determinan pada respon struktur dengan waktu
, maka diperoleh sebagai berikut:
1. Menggunakan massa dan matriks kekakuan dengan menuliskan ke suatu
persamaan.
2. Model matriks ditunjukan dengan determinan pada persamaan 2-16 untuk
lantai yang lain sebagai solusi pada persamaan 2-14 dan persamaan 2-15.
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
3. Penggunaan matriks
adalah uraian persamaan 2-69 dan 2-70. Penggunaan vektor
adalah uraian pada persamaan 2-69 dan 2-71 serta 2-73.
4. Solusi persamaan 2-78, dan analisa dengan permodelan percepatan dari lantai
pertama. Kemudian diperoleh nilai inisial dari variabel selama penggunaan waktu terus berjalan.
5. Substitusi dari langkah ke- 4 kepada persamaan 2-61, 2-62, dan 2-63,
adalah perhitungan secara substitusi dengan nilai inisial dari permodelan percepatan, kecepatan, dan displacement, dari lantai pertama, secara tepat pada
waktu .
6. Analisa perhitungan secara substitusi dari langkah ke- 5 pada persamaan 2-31
dan 2-32 akan dideterminan pada parameter- parameter di level respon bearing pada struktur.
7. Substitusi parameter- parameter dideterminan pada langkah ke- 6 ke dalam
persamaan 2-43, 2-48 dan 2-51 kemudian dideterminan dengan nilai
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
inisial diperoleh permodelan displacement, kecepatan, dan percepatan, secara tepat pada level bearing struktur.
8. Pengecekan kesetimbangan. Substitusi nilai dari
, dan
ke dalam persamaan 2-58 di determinan diperoleh nilai yang baru dari
. Penggunaan persamaan 2-61, dideterminan kedua dengan nilai iterasi dari
lantai pertama dengan model percepatan.
9. Kembali pada langkah ke- 5 dan ke- 8 sampai deformasi perubahan pada
respon permodelan diantara iterasi akan diabaikan. Untuk dideterminan dengan respon aktual dari struktur persamaan 2-12 dan 2-13 dengan penggunaan
waktu yang derivatif, dan diperoleh solusi dengan menggunakan permodelan respon struktur. Nilai yang tepat dengan penggunaan respon yang aktual pada
level bearing pada lantai pertama dengan waktu .
Andreas Mulianta Saragih: Analisa Three Dimensional Bangunan Single Story Yang Menggunakan Multy Friction Pendulum System Pada Struktur, 2008.
USU e-Repository © 2008
3. ANALISA SINGLE STORY NON- LINEAR
