Teori Metode Elemen Hingga FEM Perhitungan Analitik

tersedia dari balok taper itu, menyebabkan industry bangunan baja dapat menyesuaikan harga pabrikasi dengan harga materialnya untuk mendapatkan struktur yang ekonomis dari bagian portal yang diinginkan. Bangunan baja bertingkat rendah, pada kolom maupun kasau biasanya dibuat sebagai balok taper untuk menempatkan dimana material structural yang diinginkan. Perencanaan balok I taper diatur dalam pasal tambahan pada AISC American Institute of Steel Construction LRFD Load and Resistance Factor Design. Kendati demikian, lampiran F melarang perencana pada balok taper memiliki area flens yang sama dan balok bukan balok langsing . Menariknya pada prakteknya bangunan baja bertingkat rendah memerlukan area flens yang tidak sama dan balok yang langsing, untuk mencapainya spesifikasi pada ketetapan untuk balok taper itu, dengan rasio kelangsingan htw dari tabel B5.1 pada spesifikasi jangan melebihi λ r dimana dirumuskan pada tegangan lentur dibawah ini : �� = 5.70 � � � � 2.31

II.5 Teori Metode Elemen Hingga FEM

Balok I nonprismatis yang merupakan material baja yang nonlinear dapat di analisis melalui rumus pendekatan yang berdasarkan metode elemen hingga. FEM merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menghitung gaya-gaya dalam yang terjadi dalam suatu komponen struktur. Finite element methode juga dapat dipakai untuk perhitungan struktur, fluida, elektrik, static, dinamik, dan lain-lain. FEM juga dikenal sebagai metode kekakuan atau displacement methode karena yang Universitas Sumatera Utara didapat terlebih dahulu dari perhitungan adalah perpindahan baru kemudian mencari gaya batang. Dikarenakan perhitungan matematis yang kompleks, FEM secara utama dikembangkan untuk deformasi linear yang kecil dimana matriks kekakuan konstan. Pada kasus deformasi yang besar, matriks kekakuan dan gaya dalam menjadi fungsi dari perpindahan. Nonlinear FEM digunakan untuk memperbaiki parameter material dari pandangan pelat elastis yang tinggi. Dalam bab ini, dikembangkan model FEM nonlinear untuk deformasi geometri yang besar. dalam hal ini akan digunakan suatu model untuk memperbaiki deformasi yang ada pada struktur balok. Suatu balok merupakan suatu batang, yang berarti satu dimensi lebih besar dari dua elemen struktur yang dapat menahan gaya transversal pada perletakan yang ada. Balok yang umum dapat digunakan sebagai struktur tersendiri atau dikombinasikan untuk membentuk struktur portal bangunan yang umum digunakan pada bangunan dan dapat digunakan pada varisai beban secara luas dengan berbagai arah. Karena kita bekerja pada gambaran struktur 2D , maka digunakan suatu balok sederhana yang membentuk suatu balok 3D di bawah pengaruh gaya yang dipakai pada balok .

II.6 Program Abaqus

Analisa tekuk lateral pada balok I nonprismatis dengan menggunakan program Abaqus 6.10, maka dalam hal ini akan dijelaskan lebih dalam mengenai program Abaqus itu sendiri. Abaqus adalah paket program simulasi rekayasa yang kuat, didasarkan pada metode elemen hingga, yang dapat memecahkan masalah Universitas Sumatera Utara mulai dari analisis linier relatif sederhana sampai simulasi nonlinier yang paling menantang. Abaqus berisi perpustakaan yang luas dari unsur-unsur yang dapat memodelkan hampir semua geometri apapun. Program ini memiliki daftar yang sangat luas dari model material yang dapat mensimulasikan perilaku sebagian besar bahan rekayasa, termasuk logam, karet, polimer, komposit, beton bertulang, busa yang lentur dan kuat, dan bahan geoteknik seperti tanah dan batuan. Gambar 2.22 Tampilan Program AbaqusCAE 6.10 Dirancang sebagai alat simulasi untuk keperluan umum, Abaqus dapat digunakan untuk mempelajari lebih dari sekedar masalah struktural stres perpindahan. Program ini dapat mensimulasikan masalah di berbagai bidang seperti perpindahan panas, difusi massal, manajemen termal dari komponen listrik ditambah termal- listrik analisis, akustik, mekanika tanah ditambah cairan pori-stres analisis, analisis piezoelektrik, dan dinamika fluida. Abaqus menawarkan berbagai kemampuan untuk simulasi aplikasi linier dan nonlinier. Masalah dengan beberapa komponen dimodelkan dengan mengaitkan Universitas Sumatera Utara geometri mendefinisikan masing-masing komponen dengan model bahan yang sesuai dan menentukan interaksi komponen. Dalam Abaqus, analisis nonlinier otomatis memilih penambahan beban yang tepat dan toleransi konvergensi dan terus menyesuaikan mereka selama analisis untuk memastikan bahwa solusi yang akurat dan efisien diperoleh. Semua analisis dibahas sejauh ini telah linear: ada hubungan linier antara beban diterapkan dan respon dari sistem. Sebagai contoh, jika sebuah pegas nonlinier meluas statis oleh 1 m di bawah beban 10 N, maka akan memperpanjang oleh 2 m ketika beban 20 N diterapkan. Ini berarti bahwa dalam fleksibilitas Abaqus Standar analisis linier dari struktur hanya perlu dihitung sekali dengan merakit matriks kekakuan dan pembalik itu. Tanggapan linier dari struktur untuk kasus beban lainnya dapat ditemukan dengan mengalikan vektor baru beban oleh matriks kekakuan terbalik. Selain itu, respon struktur terhadap kasus berbagai beban dapat ditingkatkan oleh konstanta dan atau ditumpangkan pada satu sama lain untuk menentukan responnya terhadap kasus beban yang sama sekali baru, dengan ketentuan bahwa kasus beban baru adalah jumlah atau beberapa dari yang sebelumnya. Ini prinsip superposisi kasus beban mengasumsikan bahwa kondisi batas yang sama digunakan untuk semua kasus beban

II.6.1 Komponen Dari Model Analisis Abaqus

Model ABAQUS terdiri dari beberapa komponen yang berbeda yang bersama-sama menggambarkan fisik masalah yang akan dianalisis dan hasil yang akan diperoleh. Minimal model analisis terdiri dari: Universitas Sumatera Utara

II.6.1.1 Geometri diskrit

Elemen hingga dan node menentukan geometri dasar struktur fisik yang dimodelkan dalam ABAQUS. Setiap elemen dalam model merupakan bagian diskrit struktur fisik yang diwakili oleh unsure yang saling berhubungan satu sama lain oleh node. Koordinat dari node terhubung dengan elemen yang mana setiap node terhubung satu samalain dengan node yang terdiri dari model geometri. Gabungan dari keseluruhan elemen dan node pada model di sebut mesh.biasanya mesh hanya perkiraan dari struktur geometri yang sebenarnya. Jenis elemen, lokasi, bentuk serta jumlah elemen yang saling bertautan mempengaruhi hasil dari simulasi. Semakin besar kerapatan mesh dengan semakin besarnya jumlah elemen pada mesh akan semakin akurat hasil yang di peroleh.dengan kerapatan yang meningkat pada mesh maka waktu yang dibutuhkan untuk menganalisis dan mengumpulkan hasil juga meningkat. Hasil yang diperoleh biasanya pendekatan untuk solusi fisik yang ditinjau . besarnya perkiraan yang di buat dalam model geometri, perilaku material dan kondisi batas serta beban yang di berikan menentukan seberapa sesuai hasil simulasi yang dilakukan.

II.6.1.2 Properti Elemen

ABAQUS memiliki berbagai macam elemen, banyak elemen geometri tidak didefinisikan sepenuhnya oleh koordinat node, seperti lapisan shell komposit atau dimensi bagian I-beam tidak didefinisikan oleh node elemen. Data geometris tambahan yang mendefinisikan sifat fisik elemen diperlukan untuk menentukan model geometri yang benar. Universitas Sumatera Utara Sifat dari material yang di gunakan harus di tentukan, data dari bahan berkualitas tinggi dengan modelmateri yang kompleks sehinnga ketepatan dari hasil ABAQUS terbatas dengan data material yang di berikan.

II.6.2 Beban dan Kondisi Batas

Bentuk paling umum dari pembebanan adalah: • Beban titik • Beban tekanan pada permukaan • Distribusi traksi pada permukaan • Beban terdistribusi dan momen di tepi shell • Kekuatan tubuh, seperti gaya gravitasi, • Beban termal Kondisi batas untuk membatasi model dalam kondisi tetap, atau bergerak seperti yang di tentukan. Hal ini lah yang memberikan kekakuan pada model.

II.6.3 Analisis Nonlinier

Masalah struktur nonlinier adalah dimana perubahan kekakuan struktur sebagai deformasi. Semua struktur fisik nonlinier. Analisis linier adalah pendekatan nyaman yang sering memadai untuk keperluan desain. Hal ini jelas tidak memadai untuk simulasi struktural, termasuk proses manufaktur, seperti tempa, analisis kecelakaan, dan analisis komponen karet, seperti ban atau mesin tunggangan. Karena kekakuan kini bergantung pada perpindahan, fleksibilitas awal tidak bisa lagi dikalikan dengan beban yang diterapkan untuk menghitung perpindahan untuk beban Universitas Sumatera Utara apapun. Dalam analisis implisit nonlinear matriks kekakuan struktur harus dirakit dan dibolak-balik berkali-kali selama analisis, sehingga jauh lebih mahal untuk memecahkan daripada analisis implisit linear. Dalam analisis eksplisit biaya meningkat dari analisis nonlinier adalah karena penurunan dalam interval waktu yang stabil. Karena respon dari sistem nonlinier bukan fungsi linear dari besarnya beban yang diterapkan, tidak mungkin untuk menciptakan solusi untuk kasus beban yang berbeda oleh superposisi. Setiap kasus beban harus didefinisikan dan dipecahkan sebagai analisis terpisah. Ada tiga sumber non-linear dalam simulasi mekanika struktural:  Nonlinier Bahan  Nonlinier Batas  Nonlinier Geometri

II.6.3.1 Nonlinier Bahan

Kebanyakan logam memiliki hubungan stress strain cukup linear pada nilai regangan rendah Bahan., Tetapi pada strain tinggi materi, di mana titik respon menjadi nonlinier dan ireversibel. Nonlinieritas material mungkin berkaitan dengan faktor-faktor lain selain kekakuan. Data nilai regangan dan kegagalan material keduanya bentuk nonlinieritas material. Sifat material juga bisa menjadi fungsi temperatur dan bidang standar lainnya Universitas Sumatera Utara Gambar 2.23 Stres-regangan kurva untuk bahan elastis-plastik di bawah ketegangan uniaksial Grafik 2.24 Tegangan-regangan kurva untuk bahan karet

II.6.3.2 Nonlinier Batas

Nonlinier Batas terjadi jika kondisi batas berubah selama analisis. Pertimbangkan Universitas Sumatera Utara balok kantilever, yang ditunjukkan pada Gambar 2.25, yang mengalihkan bawah beban yang diterapkan sampai berhenti. P Gambar 2.25 Balok kantilever dibebani sampai berhenti di tumpuan Defleksi vertikal ujung berhubungan linier dengan beban jika defleksi kecil sampai kontak berhenti. Maka ada perubahan mendadak dalam kondisi batas pada ujung balok, mencegah defleksi vertikal lanjut, sehingga respon dari balok tidak lagi linear. Nonlinearities Boundary sangat terputus: bila kontak terjadi selama simulasi, ada perubahan besar dan seketika dalam respon struktur. Contoh lain dari nonlinier batas adalah memasukkan bahan ke dalam cetakan, relatif mudah di bawah tekanan diterapkan sampai mulai memasuki cetakan. Sejak saat itu tekanan harus ditingkatkan untuk terus membentuk ke dalam cetakan karena perubahan kondisi batas.

II.6.3.3 Nonlinier Geometri

Sumber ketiga nonlinier berhubungan dengan perubahan geometri struktur selama analisis. Nonlinier geometrik terjadi setiap kali besarnya perpindahan mempengaruhi respon struktur. Hal ini bisa disebabkan oleh: • Besar defleksi atau rotasi. • tegangan beban awal. Universitas Sumatera Utara Sebagai contoh, balok kantilever dimuat secara vertikal di ujung Gambar 2.26 Defleksi besar balok kantilever Jika defleksi ujung kecil, analisis dapat dianggap sebagai kurang linier. Namun, jika defleksi ujung besar, bentuk struktur berubah, karena adanya perubahan kekakuan. Selain itu, jika beban tidak tetap tegak lurus balok, aksi beban pada struktur terjadi perubahan signifikan. Sebagai mengalihkan kantilever balok, beban dapat dianggap menjadi tegak lurus komponen balok dan komponen bertindak sepanjang balok. Kedua efek ini berkontribusi pada respon nonlinier dari balok kantilever yaitu, perubahan kekakuan balok sebagai beban yang dibawanya meningkat. Orang akan berharap defleksi besar dan rotasi untuk memiliki dampak yang signifikan terhadap cara struktur membawa beban. Akan tetapi, perpindahan tidak perlu harus relatif besar untuk dimensi struktur untuk nonlinier geometri untuk menjadi penting. Dalam contoh ini ada perubahan dramatis dalam kekakuan panel seperti deformasi. Dengan demikian, meskipun besarnya perpindahan, relatif terhadap dimensi panel, cukup kecil, ada nonlinier geometrik yang signifikan dalam simulasi, yang harus dipertimbangkan. Universitas Sumatera Utara Sebuah perbedaan penting antara produk analisis harus dicatat di sini: secara default, Abaqus Standar mengasumsikan deformasi kecil, sementara Abaqus eksplisit mengasumsikan deformasi yang besar.

II.6.4 Solusi Permasalahan Nonlinier

ABAQUS menggunakan metode Newton-Raphson dalam mendapatkan solusi dari masalah non linier. Dalam analisa nonlinier tidak dengan memcahkan satu persamaan seperti pada analisa linier, solusi diperoleh dengan menerapkan bebantertentu secara bertahap sehinnga di peroleh solusi akhir. Seringkali abaqus harus malakukan beberapa kali proses iterasi, jumlah tanggapan incremental adalah perkiraan solusi untuk masalah non linier. Dengan demikian ABQUS melakukan incremental dan iterasi untuk mendapatkan solusi nonlinier.

II.6.4.1 Metode Newton-Raphson

Metode newton raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradient pada titik tersebut. Titik pendekatan ke n+1 dituliskan sebagai berikut � �+1 = � � − �� � � 1 � � 2.32 Universitas Sumatera Utara Metode ini tidak dapat digunakan ketika pendekatannya berada pada titik ekstrim atau puncak, karena pada titik ini nilai F 1 x=0 sehingga nilai penyebut dari �� � 1 � = 0 Secara grafis dapat dilihat sebagai berikut Gambar 2.27 Grafik pendekatan newton-raphson dengan titik pendekatan berada di puncak Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga. Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner. Bila titik pendekatan berada diantara dua titik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian divergensi. Universitas Sumatera Utara Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda Gambar 2.28 Grafik pendekatan newton-raphson dengan titik pendekatan berada diantara 2 titik puncak Untuk dapat menyelesaikan kedua permasalahan pada metode newton raphson ini, maka metode newton raphson perlu di modifikasi dengan : 1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut harus di geser sedikit, x 1 =x 1 ±δ dimana δ adalah konstanta yang ditentukan dengan demikian F 1 x i ≠0 dan metode newton raphson tetap dapat berjalan. Universitas Sumatera Utara 2. Untuk menghindari titik–titik pendekatan yang berada jauh, sebaliknya pemakaian metode newton raphson ini di dahului oleh metode tabel, sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson. Gambar 2.29 Langkah pertama iterasi Iterasi Kesetimbangan dan Konvergen dalam Abaqus Pada gambar menunjukkan respon nonlinier struktur pada penambahan beban kecil. Kekakuan awal di tunjukkan adalah K , yang di dasari pada u dan ∆P untuk menghitung koreksi perpindahan c a pada struktur.konfigurasi berubah menjadi u a . Kekakuan baru dari struktur menjadi K a berdasarkan u a dan I a sehingga perbedaan P dan I a dapat di hitung � � = � − � � 2.33 Dimana R a adalah kekuatan sisa dari iterasi Jika R a adalah 0 dalam derajat kebebasan model maka titik akan berada pada kurva beban-lendutan dan struktur akan berada dalam keseimbangan. Namun dalam Universitas Sumatera Utara nonlinier cukup mustahil untuk mendapatkan nilai nol sehingga abaqus membandingkannya dengan nilai toleransi kekuatan sisa, abaqus menerima pembaruan konfigurasi solusi keseimbangan. Secara umum diatur pada 0,5 dari nilai rata-rata kekuatan struktur dari waktu ke waktu. Abaqus secara otomatis melakukan hal ini. Jika nilai toleransi kurang, maka P dan I a akan seimbang sehingga u a akan berada pada konfigurasi kesetimbangan struktur pada dengan beban yang di tetapkan. Namun sebelumya abaqus akan melakukan koreksi perpindahan c a lebih kecil relative terhadap perpindahan total. ∆� � = � � − � jika c a lebih besar dari perpindahan incremental abaqus akan melakukan iterasi lain, keduanya harus sudah dirasa cukup untuk mendapatkan hasil sebelum dilakukan penambahan beban. Jika solusi dari iterasi belum juga diperoleh maka abaqus akan melakukan iterasi lain agar keseimbangan tercapai. Dalam lanjutan iterasi ini kekakuan yang dipakai adalah K a yang di peroleh dari hasil iterasi sebelumnya bersama dengan R a untuk menetukan koreksi perpindahan lainnya, c b . yang membuat system akan semakin dekat. Universitas Sumatera Utara Gambar 2.30 Langkah kedua iterasi Abaqus menghitung kekuatan sisa yang baru R b dengan menggunakan kekuatan dari konfigurasi yang baru pada struktur, u b . kemudian kekuatan sisa terbesar pada derajat kebebasan R b akan di bandingkan terhadap toleran si kekuatan sisa dan koreksi perpindahan untuk iterasi yang ke dua, c b . dibandingkan dengan peningkatan perpindahan sehingga ∆� � = � � − � , jika di perlukan abaqus akan melakukan iterasi lagi selanjutnya. Universitas Sumatera Utara BAB III METODE ANALISA III.1 Tekuk Lateral Pada Balok I Tapered Balok I Nonprismatis III.1.1 Pendahuluan Balok tapered secara luas digunakan pada konstruksi modern , tujuannya adalah untuk efesiensi struktur . Pada masa sekarang , badan-tapered berdinding tipis merupakan salah satu balok tapered yang paling terkenal dalam pengunaannya . Kekuatan dukungan lateralnya balok berdinding tipis secara terus menerus meningkat disebabkan oleh keruntuhan tekuk lateral tekuk torsi lateral , oleh sebab itu pembelajaran difokuskan pada tekuk lateral pada balok berdinding tipis . Kebanyakan pembahasan berkaitan dengan balok prismatic dan hanya sedikit yang membahas tentang balok tapered. Metode yang tepat untuk menghitung beban tekuk lateral pada balok tapered adalah membagi sebuah balok menjadi beberapa segmenbagian dan mengambil segmen – segmen tersebut sebagai ekuivalen balok prismatic , seperti yang diadopsi oleh Brown Lateral-tosional buckling of tapered I-beams. Journal of the Structural Division , ASCE 1981 pada analisa diferensial hingga . Pada metode ini , efek dari tapering runcingan tidak akan terpenuhi menjadi bagian – bagian bentuk ekspresi regangan linier, yang mungkin saja mengarah kepada beban – beban tekuk lateral yang tidak betul. Ronagh HR 2000 menemukkan eror pada beban tekuk lateral yang disebabkan oleh metode ini yang Universitas Sumatera Utara tidak bisa mengeliminasi terus mengunakan konfigurasi meshelemen yang baik pada analisa elemen hingga. Gambar 3.1 Balok I web-tapered Berdasarkan efek dari tapering terhadap regangan yang menurun , Kitipornchai dan Trahair 1972 membuat persamaan keseimbangan untuk analisa tekuk lateral pada balok tapered , dan hasil numeric diberikan dengan tujuan analisa diferensial hingga . Metode ini telah diperluas untuk balok tapered pada penampang mono-simetris. Selama Wekezer , Yang , Yau , Bradford , Cuk , Ronagh HR , Andrade dan Camotim menginvestigasi tekuk lateral pada balok tapered yang memanfaatkan metode elemen hingga , berdasarkan pontesi total yang diberikan . Sangat berharga bahwa semua literature yang disebutkan diatas regangan pada bagian – bagian balok tapered , seperti contoh , 2 sayap dan badan , diperoleh mengunakan hubungan yang sama diantara perpindahan dan regangan . Sebagai contoh , regangan linier longitudinal pada titik – titik balok, abaikan lokasinya , diperoleh dari diferensiasi perpindahan linier longitudinal pada titik ini dengan respek terhadap sumbu balok longitudinal . Universitas Sumatera Utara Metodologi ini telah ditemukan untuk menjatuhkan asumsi dasar pada struktur dinding tipis dan hasil analisa regangan yang tidak benar , khususnya untuk balok pada tapering. Sebuah percobaan telah dibuat untuk mempelajari tekuk lateral pada balok I web taperd double simetris . Asumsi dasar untuk struktur berdinding tipis , diajukan oleh Vlasov 1961, yang diadopsi untuk menentukan perpindahan hubungan regangan-perpindahan untuk pelat – pelat yang lain untuk memastikan bahwa efek dari taperingkeruncingan telah dipenuhi yang ditinjau pada rangka dalam teori dinding tipis . Berdasarkan hubungan ini , ekuivalen baru diberikan untuk bagian penampang pada badan-balok tapered . Selanjutnya , potensial total badan balok I tapered , berdasarkan dasar variasi klasik , yang diberikan. Menggunakan potensial total ini , program elemen hingga telah dikembangkan untuk mengetahui seberapa besar beban tekuk lateral pada balok tapered , dengan hasil teori sekarang yang dibandingkan dengan model elemen cangkang dan teori tipikal yang ada . Gambar 3.2 Deformasi aksial pada segmen balok tapered Universitas Sumatera Utara III.2 Beban Tengah Terpusat Jika balok dengan perletakan sederhana di bentang tengahnya diberi gaya terpusat, maka diagram momen nya adalah bilinear seperti pada gambar. Disini, seperti pada kasus momen ujung tidak merata, persamaan diferensialnya akan menghasilkan koefisien variabel. Sebagai gambaran, balok dengan perletakan sederhana yang dibebani gaya terpusat P dipusat geser pada bentang tengah penampang seperti pada gambar dibawah. Untuk memperoleh persamaan diferensial, kita perlu mencari hubungan momen eksternal yang ditimbulkan yang bekerja pada pada balok pada keadaan terdeformasi dengan momen internalnya. Dalam hal ini kita menggunakan dua koordinat system, yaitu x-y-z dan x’-y’-z’ seperti pada gambar. Pada balok yang tertekuk lateral, reaksi vertical P2 dan reaksi torsi 2 m Pu , dimana m u perpindahan lateral bidang luar dari pusat geser ditengah penampang akan mendapat sokongan. Dengan mengingat penampang sejauh z dari titik awalnya, variasi komponen dari momen external yang bekerja pada penampang tersebut yang mengenai koordinat x- y-z, dengan menggunakan aturan sekrup tangan kanan untuk vector momen,       − = z p P M ext x 2 2 3.1 = ext y M 3.2 2 u u p M m ext z − − = 3.3 Universitas Sumatera Utara Gambar 3.3: Balok dengan perletakan sederhana yang dibebani pada tengah bentang. Gambar 3.4 : Tekuk lateral pada balok dengan perletakan sederhana yang dengan beban tengah bentang Sumber : STRUCTURAL STABILITY, Theory and Implementation.W.F.Chen, Ph.d. dan E.M. Lui, Ph.d Universitas Sumatera Utara Pada gambar 3.5, kita melihat bahwa komponen dari momen external yang bekerja pada penampang pada balok yang terdeformasi yang mengenai koordinat x’- y’-z’ adalah : 2 2 2 u u P dz du z L P M dz du M M m ext z ext x ext x − +       − = − ≈ 3.4 ext z ext x ext y M dz dv M M − − ≈ γ 2 2 2 u u P dz dv z L P m − +       − − = γ 3.5 ext x ext z ext z M dz du M M + ≈       − + − − = z L P dz du u u P m 2 2 2 3.6 Momen perlawanan internalnya adalah : 2 2 int dz v d EI M x x − = 3.7 2 2 int dz u d EI M y y = 3.8 3 3 int dz d EC dz d GJ M w z γ γ − = 3.9 Universitas Sumatera Utara Gambar 3.5: Komponen-komponen momen Tanda minus pada persamaan 3.7 diatas menunjukkan bahwa Momen positif int x M menghasilkan gradien negative 2 2 dx v d , sesuai dengan aturan sekrup tangan kanan. Dengan menyamakan momen external dan momen internal dan mengabaikan syarat orde tertinggi, dapat ditetapkan persamaan keseimbangan: 2 2 2 2 =       − + z L P dz v d EI x . 3.10 2 2 2 2 =       − + z L P dz u d EI y γ . 3.11 Universitas Sumatera Utara 2 2 2 3 3 =       − − − + − z P P dz du u u P dz d EC dz d GJ m w γ γ . 3.12 Perlu dicatat bahwa syarat kedua dalam persamaan 3.4 dan 3.5 diatas diabaikan penulisannya pada persamaan 3.10 dan 3.11 karena nilai dudz, dvdz, dan u u m − , sangat kecil. Kita harus mengetahui bahwa dalam persamaan 3.61 diatas, yang menggambarkan perilaku lentur bidang dalam balok, tidak digabungkan dengan dua persamaan lainnya. Oleh karena itu hal tersebut tidak penting dalam analisis buckling ini. Perilaku tekuk torsi lateral balok digambarkan pada persamaan 3.10 dan persamaan 3.11. Dengan mengeliminasi u dari persamaan 3.10 dan persamaan 3.11 dan mencatat bahwa = dz du m ,dapat ditulis persamaan diferensial : 2 2 1 2 2 2 4 4 =             − + − γ γ γ z L P EI dz d GJ dz d EC y w . 3.13 Solusi untuk persamaan diferensial ini ditetapkan dengan metode deret tak terhingga. Hasilnya diplot dalam bentuk garis tebal pada gambar dibawah. Kurva tersebut masing-masing sesuai pada kasus pada saat beban bekerja pada sayap atas, pusat geser, dan pada sayap bawah pada penampang. Pada kasus dimana beban bekerja pada sayap atas merupakan keadaan yang paling berbahaya, karena lengan torsi bertambah besar. Disisi lain hal yang berbahaya ialah bekerjanya beban pada sayap bawah sehingga menyebabkan Universitas Sumatera Utara pengurangan lengan torsi. Jika beban bekerja pada sayap atas maka persamaan 3.6 menjadi :       − + − = u h u P M m m ext z 2 2 γ . 3.14 Dan pada saat beban bekerja pada sayap bawah maka persamaan 3.6 menjadi :       − − − = u h u P M m m ext z 2 2 γ . 3.15 Dimana m u dan γ m merupakan perpindahan lateral bidang luar dan putaran dari penampangbentang tengah balok masing-masing. Nilai dari 2 2 h atau h m m γ γ − menggambarkan jumlah kenaikan atau penurunanan pada lengan torsi yang diakibatkan beban yang bekerja dan kenaikan atau penurunan momen externalnya ext z M . Terbukti, jika ext z M semakin besar maka cr P akan semakin kecil dan sebaliknya. Maka pendekatan nilai teoritis cr P dari persamaan 3.1 diatas adalah : cr b cr cr M C L P M 4 = = . 3.16 Universitas Sumatera Utara 17 . 3 ....... .......... .......... ..........      = atas sayap pada beban Untuk B A geser pusat pada beban Untuk A bawah sayap pada beban Untuk AB C b Gambar 3.6: Perbandingan nilai teoritis dan nilai pendekatan beban terpusat Sumber : STRUCTURAL STABILITY, Theory and Implementation.W.F.Chen, Ph.d. dan E.M. Lui, Ph.d Dengan: Universitas Sumatera Utara Nilai A dan B dirumuskan oleh Nethercot dan Rockey 7 sebagai berikut. A=1.35 . 3.18 B=1+0.649W - 0.180W 2 . 3.19 Dimana : W= GJ EC L w π . Nilai pendekatan untuk nilai cr P dengan menggunakan persamaan 3.16 dan 3.19 diatas diplot atau digambarkan dengan garis putus-putus pada gambar diatas. Dapat kita lihat bahwa solusi pendekatan diatas memberikan gambaran solusi yang pasti secara teoritis. III.3 Pengaruh Kondisi Pembebanan Kasus dasar tekuk lateral dan puntiran yang terjadi pada balok WF dengan perletakan sederhana yang dibebani momen seragam pada sumbu utamanya telah diterima dan dapat dipertanggungjawabkan sesuai dengan solusi persamaan diatas. Rumus ini akan menghasilkan hasil yang konservatif dalam sebagian besar kasus. Akan tetapi sebagian besar balok dalam strukturnya tidak dibebani dengan momen seragam, dan sebagian besar kondisi perletakannya tidaklah sederhana. Kondisi pembebanan dan kondisi batas yang praktis dan sangat penting sayangnya tidak dapat memecahkan persamaan diferensial yang sangat rumit dan bahkan tidak mungkin dapat diselesaikan dengan analitis. Universitas Sumatera Utara III.3.1 Perilaku Balok Tanpa Kekangan Lateral Pada balok yang memikul beban transversal selain melentur terhadap sumbu kuatnya, juga dapat melentur kearah sumbu lemahnya. Sebagaimana kita ketahui bahwa bagian sayap tekan balok dihubungkan dengan bagian sayap tarik melalui badan balok sehingga dapat mencegah terjadinya ketidakstabilan sayap tekan terhadap tekuk. Komponen tekan dari suatu balok disokong seluruhnya oleh komponen tarik yangstabil. Jadi, tekuk global dari komponen tekan tidak terjadi sebelum kapasitas momen batas penampang belum tercapai. Namun apabila sayap tekan cukup besar, bagian sayap tekan dapat tertekuk kearah lateral yang dikenal sebagai lateral torsional buckling.Untuk mencegah terjadinya lateral torsional buckling ini, balok dapat diberi lateral support pada jarak tertentu, atau dengan memilih balok yang mempunyai momen inersia terhadap sumbu lemah mendekati sama besar dengan momen inersia sumbu kuatnya. III.3.2 Kekuatan Balok Akibat Beban Momen Murni Ada empat 4 kategori perilaku balok yang memikul momen lentur  Kekuatan momen plastis Mp tercapai dengan kapasitas rotasi cukup besar. Penampang seperti ini diijinkan dalam analisis dengan metoda plastis.  Kekuatan momen plastis tercapai dengan kapasitas rotasi kecil. Hal ini disebabkan kekakuan sayap atau badan kurang untuk menahan tekul lokal atau lateral support tidak memadai untuk menahan tekuk lateral ketika sayap dalam keadaan kondisi inelastis. Penampang ini tidal diijinkan pada analisis dengan metoda plastis. Universitas Sumatera Utara  Kekuatan momen tercapai, dimana diatas nilai tersebut tegangan sisa yang ada akan menyebabkan mulainya perilaku inelastis balok. Adanya tekuk lokal pada sayap atau badan atau tekuk lateral mencegah tercapainya kapasitas momen plastis.  Kekuatan momen Mr tercapai, dimana diatas nilai tersebut tegangan sisa yang ada akan menyebabkan mulainya perilaku inelastis balok. Adanya tekuk lokal pada sayap atau badan atau tekuk lateral mencegah tercapainya kapasitas momen plastis Mp.  Kekuatan penampang balok dibatasi oleh tekuk elastis baik akibat local buckling pada sayap atau badan, atau lateral torsional buckling. • Kuat Lentur Nominal Balok Kuat lentur nominal balok ditinjau dari kegagalan tekuk lateral sangat tergantung kepada panjang balok tanpa sokongan unbraced length didefinisikan parameter berikut ini: y yf p r F L 790 = y yf p pd r F M M L 15200 24800 1 + = 2 2 1 1 1 r yf yf y r F F X Fr F X r L − + + − = 2 2 1 4 2       = = GJ S I C X EGJA S X x y w x π Universitas Sumatera Utara Dengan : = yf F Tegangan leleh pada sayap = J Konstanta Torsi = w C Konstanta Warping = y r Radius girasi terhadap sumbu y = E Modulus Elastisitas = G Modulus Geser = x S Section modulus terhadap sumbu x = r F Tegangan sisa = A Luasan penampang profil Pada bagian berikut ada 4 empat kondisi balok dengan momen plastis dan kapasitas rotasi yang berbeda-beda.  Penampang kompak dengan pd b L L ≤ Momen plastis tercapai p n M M = dengan kapasitas rotasi besar 3 ≥ R .  Penampang kompak dengan pd b L L ≤ Momen plastis tercapai p n M M = dengan kapasitas rotasi kecil 3 R .  Penampang kompak dengan r b p L L L Momen plastis tidak tercapai p n r M M M ≤ . Karena terjadinya tekuk Universitas Sumatera Utara lateral pada daerah inelastis. Maka, p p r p b r p p n M L L L L M M M M ≤         − − − − =  Penampang kompak dan tidak kompak dengan r b L L Pada kasus ini akan terjadi lateral torsional buckling pada daerah elastic r n M M 2 2 1 1 2 1 2 r b r b x cr n L L X X L L X S M M + = = Gambar 3.7 : Kuat Momen Nominal Akibat pengaruh Lb • Pengaruh Gradient Momen Terhadap Ketidakstabilan Lateral Torsi Telah dijelaskan pada bab sebelumnya kuat lentur nominal n M terhadap tekuk lateral dikembangkan dari analisis balok diatas dua perletakan dengan beban yang bekerjaadalah momen lentur murni seragam. Bila momen yang bekerja tidak seragam atau beban yang bekerja adalah beban transversal, maka kuat lentur nominal n M akan bertambah. Untuk memperhitungkan pengaruh momen yang tidak seragam Universitas Sumatera Utara 3 , 2 3 , 05 , 1 75 , 1 2 2 1 2 1 ≤       +       + = M M M M C b atau beban yang bekerja adalah beban transversal, maka kuat lentur nominal dikalikan dengan faktor modifikasi b C . Peraturan AISC 1986 menetapkan faktor seperti b C yang diusulkan Salvadori: 3.20 Pengaruh distribusi beban sepanjang bentang balok yang tidak disokongdikekang terhadap kekuatan atau kapasitas tekuk lateral torsi elastic telah diteliti secara numeric oleh sejumlah peneliti. Hasil dari sejumlah buku atau tulisan, solusi pada bentuk persamaan 3.20 diatas sering dipakai untuk mencari nilai beban kritis. Solusi untuk kondisi pembebanan yang secara umum untuk beban yang bekerja pada pusat gesernya dapat dilihat pada table dibawah. Dengan menggunakan tanda atau nilai cr M pada kolom ketiga dan nilai b C pada kolom keempat dengan nilai cr M pada persamaan 3.20 diatas dapat kita hitung nilai beban kritisnya. Untuk pembebanan yang diagaran momennya tidak menyerupai dengan yang terdapat pada table 3.1a dibawah tersebut. Rumus empiris dirumuskan oleh Kirby dan Nethercot 3 untuk nilai b C . 2 3 4 3 12 max 3 max 2 max 1 + + + = M M M M M M C b . 3.21 Dimana 1 M , 2 M , dan 3 M momen pada ¼ panjang bentang, tengah bentang dan ¾ panjang bentang masing-masing dan max M adalah momen maximum sebagaimana ditunjukkan pada table 3.1b dibawah. Jika letak pembebanan tidak pada Universitas Sumatera Utara pusat geser, nilai-nilai beban kritis akan berbeda-beda. Untuk dua kasus pembebanan pada tabel dibawah Nethercot, dan Rockey 7 dan Nethercot 16 telah mengusulkan tanda untuk b C untuk digunakan pada persamaan 3.20 untuk memberikan nilai pendekatan beban kritis. Gambar dibawah menunjukkan perbandingan antara nilai beban kritis secara teoritis yang ditetapkan oleh Timoshenko dan Gere 2 untuk kasus beban yang terdistribusi dengan seragam dengan solusi pendekatan yang dirumuskan oleh Nethercot dan Rockey 7 Tabel 3.1. Gambar 3.8 : Bidang momen pada ¼, ½, dan ¾ bentang Universitas Sumatera Utara Tabel 3.1 : Nilai b C untuk berbagai jenis kasus pembebanan yang berbeda Beban yang diberikan seluruhnya pada pusat geser penampang Sumber : Structural stability Theory of implementation W.F. Chen, Phd. Universitas Sumatera Utara BAB IV APLIKASI

IV.1 Perhitungan Analitik

Berikut ini sebuah balok Profil IWF 600x300x14x23 yang dimodifikasi menjadi balok taper dengan rasio keruncingan ζ = 0,5 , berat sendiri balok � ��� = 1,75 ���, dimana balok tersebut tidak dikekang secara lateral. Fy = 240 MPa. Gambar 4.1 Aplikasi Pembebanan Balok I Tapered Tentukan: Beban terpusat yang dapat dipikul balok tersebut., jika: L=3 m, L=6 m, L=9m, L=12m Universitas Sumatera Utara Section properties penampang profil IWF 600x300x14x23 adalah sebagai berikut : ℎ � = 600 mm � � = 137x10 7 mm 4 � � = 300 mm � � =10,6x10 7 mm 4 � � = 14 mm � � = 24,9 cm � � = 23 mm � � = 6,90 cm A = 22240 mm 2 r = 28 mm w = 175 Kgm Dengan gambar berikut merupakan proses pemotongan dan penyambungan balok I prismatic menjadi balok I nonprismatis. Gambar 4.2 Proses Pembuatan Balok I Tapered nonprismatic I beam Universitas Sumatera Utara • Kontrol terhadap kelangsingan penampang : Sayap Flange � � = 170 �� � � � = 170 √240 � � = 10,97 Dimana : � = � � 2 � � � = 300 223 � = 6,521 Badan web � � = 1680 �� � � � = 1680 √240 � � = 108,44 Universitas Sumatera Utara Dimana : � = ℎ 2 � � � = �ℎ � + ℎ � − ℎ � � � � − 2�� � + �� � � � = �400 + 800 − 400 2250 4500 � − 223 + 28 14 � = 35,571 • Kuat lentur nominal pada penampang ini adalah: � � = � � � � = � � � � � � = 1,12 � � � � S x = b f h 2 6 − b f −t w h−2t f 3 6h S x1 = 300. 400 2 6 − 300 − 14 400 − 2. 23 3 6. 400 S x1 = 2713544,54 mm 3 Universitas Sumatera Utara S x2 = 3402118,006 mm 3 S x3 = 4121110,48 mm 3 S x4 = 4870314,84 mm 3 S x5 = 5649616 mm 3 S x6 = 6458944,937 mm 3 S x� = � � �1 + ⋯ + � �6 6 � mm 3 S x� = 4535941,467 mm 3 Jadi, � � = 1,12 × 4535941,467 × 240 � � = � � = 1219,261 ��� Gambar 4.3 Penampang Balok I Nonprismatis ζ= 0.5 Universitas Sumatera Utara • Kontrol terhadap tekuk torsi lateral � � = 790 �� � � � = 790 √240 × 6,90 × 10 � � = 3518,6 �� � � = � � � 1 �� � − � � � �1 + �1 + � 2 �� � − � � � 2 Dimana : � 1 = � � � ����� 2 � 2 = 4 � � � � � � � ��� 2 Dengan : = yf F Tegangan leleh pada sayap = J Konstanta Torsi = w C Konstanta Warping = y r Radius girasi terhadap sumbu y = E Modulus Elastisitas = G Modulus Geser Universitas Sumatera Utara = x S Section modulus terhadap sumbu x = r F Tegangan sisa = A Luasan penampang profil � 1 = 2 � � 3 � � 3 + � � 3 � � 3 � 1 = 2. 23 3 . 300 3 + 14 3 . �400 − 223� 3 � 1 = 2757192 �� 4 � 2 = 2830365,333 �� 4 � 3 = 2903538,667 �� 4 � 4 = 2976712 �� 4 � 5 = 3049885,333 �� 4 � 6 = 3123058,667 �� 4 �̅ = � � 1 + ⋯ + � 6 6 � mm 4 �̅ = 2940125,333 �� 4 Dimana, � � = ℎ 2 � � 4 Universitas Sumatera Utara Gambar 4.4 Pembagian balok menjadi 5 bagian 6 penampang Maka, � � = � � � � 3 + h − 2t f t w 3 12 � �1 = 51830948 �� 4 � �2 = 51849241,33 �� 4 � �3 = 51867534,67 �� 4 � �4 = 51885828 �� 4 � �5 = 51904121,33 �� 4 � �6 = 51922414,67 �� 4 � �� = � � �1 + ⋯ + � �6 6 � �� 4 � �� = 51876681,28 �� 4 Universitas Sumatera Utara Maka, � � = ℎ 2 � � 4 � �1 = 2.073 × 10 12 �� 6 � �2 = 2,987 × 10 12 �� 6 � �3 = 4,066 × 10 12 �� 6 � �4 = 5,313 × 10 12 �� 6 � �5 = 6,727 × 10 12 �� 6 � �6 = 8,308 × 10 12 �� 6 � �� = � � �1 + ⋯ + � �6 6 � �� 6 � �� = 4,912 × 10 12 �� 6 Untuk nilai G dipakai G = 80000 Nmm Pada bagian berikut ini nilai tegangan sisa r F yang umumnya kita ambil =70MPa � 1 = � � � ����� 2 Dimana, � = 2� � + � � Universitas Sumatera Utara � 1 = 2300 × 23 + 400 − 46 × 14 � 1 = 18756 �� 2 � 2 = 19876 �� 2 � 3 = 20996 �� 2 � 4 = 22116 �� 2 � 5 = 23236 �� 2 � 6 = 24356 �� 2 Maka, �̅ = � � 1 + ⋯ + � 6 6 � �� 2 �̅ = 21556 �� 2 � 1 = � 4535941,467 � 21. 10 4 . 80000. 2940125,333 .21556 2 � 1 = 15980,453 ��� � 2 = 4 � � � � � � � ��� 2 Universitas Sumatera Utara � 2 = 4 4,912 × 10 12 51876681,28 � 4535941,467 80000 × 2940125,333 � 2 � 2 = 1,409 × 10 −4 ��� ����, � � = � � � 1 �� � − � � � �1 + �1 + � 2 �� � − � � � 2 = 69 × 15980,453 240 − 70 �1 + �1 + 1,409 × 10 −4 240 − 70 2 = 11696,934 �� � � = 11696,934 ��  Untuk L = 3 m, � � = 3000 �� , � � = 3518,6 ��, � � = 11696,934 �� Karena, � � � � Maka, � � = � � � � = � � . � � � � = 1,12 × 4535941,467 × 240 Universitas Sumatera Utara � � = 1219,261 ��� � � ���� = ∅� � = 0,9 × 1219,261 ��� = 1097,335��� � � = � ���� = 1 8 � ��� � 2 + 1 4 � � � � � = 1 8 1,2 × 1,75 × 3 2 + 1 4 � � × 3 1097,335 = 2,3625 + 0,75 � � � � = 1459,963 �� � = 1459,963 1,6 �� � = 912,477 �� Maka, untuk balok dengan L = 3 m, � �� = 912,477 ��  Untuk L = 6 m, � � = 6000 �� , � � = 3518,6 ��, � � = 11696,934 �� Maka, Karena � � � � ≤ � � , maka kuat nominal dapat dihitung dengan persamaan berikut : � � = � � �� � + �� � − � � � � � � −� � � � −� � �� ≤ � � Dengan : Universitas Sumatera Utara � � = � � �� � − � � � � � = 4535941,467240 − 70 � � = 771,110 ��� Maka, � � = � � �� � + �� � − � � � � � � −� � � � −� � �� ≤ � � = 1,316 �771,110 + 1219,261 − 771,110 11696,934 − 6000 11696,934 − 3518,6� ≤ � � � � = 1425 ��� � � = 1219,261 ��� ∅� � = 0,9 × 1219,261 = 1097,335 ��� � � ���� = ∅� � = 1097,335 ��� � � = � ���� = 1 8 � ��� � 2 + 1 4 � � � � � = 1 8 1,2 × 1,75 × 6 2 + 1 4 � � × 6 1097,335 = 9,45 + 1,5 � � � � = 725,257 �� � = 725,257 1,6 �� � = 453,286 �� Maka, untuk balok dengan L = 6 m, � �� = 453,286 �� Universitas Sumatera Utara  Untuk L = 9 m, � � = 9000 �� , � � = 3518,6 ��, � � = 11696,934 �� Maka, Karena � � � � ≤ � � , maka kuat nominal dapat dihitung dengan persamaan berikut : � � = � � �� � + �� � − � � � � � � −� � � � −� � �� ≤ � � = 1,316 �771,110 + 1219,261 − 771,110 11696,934 − 9000 11696,934 − 3518,6� ≤ � � � � = 1209,266 ��� � � = 1219,261 ��� ∅� � = 0,9 × 1209,266 = 1088,339 ��� � � ���� = ∅� � = 1088,339 ��� � � = � ���� = 1 8 � ��� � 2 + 1 4 � � � � � = 1 8 1,2 × 1,75 × 9 2 + 1 4 � � × 9 1088,339 = 21,2625 + 2,25 � � � � = 474,256 �� � = 474,256 1,6 �� Universitas Sumatera Utara � = 296,41 �� Maka, untuk balok dengan L = 9 m, � �� = 296,41 ��  Untuk L = 12 m, � � = 12000 �� , � � = 3518,6 ��, � � = 11696,934 �� Maka, Karena � � � � , maka kuat nominal dapat dihitung dengan persamaan berikut : � � = � �� = � � � � � �� . � � . �. � + � �.� � � � 2 � � . � � ≤ � � � � = 1,316 � 12. 10 3 �21. 10 4 . 51876681,28. 8. 10 4 . 2940125,333 + � �. 21. 10 4 12. 10 3 � 2 51876681,28 . 4,912. 10 12 ≤ � � � � = 628,951 ��� � � � � = 628,951 ��� � � = 1219, 261 ��� ∅� � = 0,9 × 628,951 = 566,056 kNm � � ���� = ∅� � = 566,056 kNm � � = � ���� = 1 8 � ��� � 2 + 1 4 � � � Universitas Sumatera Utara � � = 1 8 1,2 × 1,75 × 12 2 + 1 4 � � × 12 566,056 = 37,8 + 3 � � � � = 176,085 �� � = 176,085 1,6 �� � = 110,053 �� Maka, untuk balok dengan L = 12 m, didapat � �� = 110,053 �� Universitas Sumatera Utara

IV.2 Simulasi Program Abaqus Ver. 6.10 Analisa Nonlinier Balok I Nonprismatis