Metode Newton-Raphson Solusi Permasalahan Nonlinier

Sebuah perbedaan penting antara produk analisis harus dicatat di sini: secara default, Abaqus Standar mengasumsikan deformasi kecil, sementara Abaqus eksplisit mengasumsikan deformasi yang besar.

II.6.4 Solusi Permasalahan Nonlinier

ABAQUS menggunakan metode Newton-Raphson dalam mendapatkan solusi dari masalah non linier. Dalam analisa nonlinier tidak dengan memcahkan satu persamaan seperti pada analisa linier, solusi diperoleh dengan menerapkan bebantertentu secara bertahap sehinnga di peroleh solusi akhir. Seringkali abaqus harus malakukan beberapa kali proses iterasi, jumlah tanggapan incremental adalah perkiraan solusi untuk masalah non linier. Dengan demikian ABQUS melakukan incremental dan iterasi untuk mendapatkan solusi nonlinier.

II.6.4.1 Metode Newton-Raphson

Metode newton raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradient pada titik tersebut. Titik pendekatan ke n+1 dituliskan sebagai berikut � �+1 = � � − �� � � 1 � � 2.32 Universitas Sumatera Utara Metode ini tidak dapat digunakan ketika pendekatannya berada pada titik ekstrim atau puncak, karena pada titik ini nilai F 1 x=0 sehingga nilai penyebut dari �� � 1 � = 0 Secara grafis dapat dilihat sebagai berikut Gambar 2.27 Grafik pendekatan newton-raphson dengan titik pendekatan berada di puncak Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga. Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner. Bila titik pendekatan berada diantara dua titik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian divergensi. Universitas Sumatera Utara Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda Gambar 2.28 Grafik pendekatan newton-raphson dengan titik pendekatan berada diantara 2 titik puncak Untuk dapat menyelesaikan kedua permasalahan pada metode newton raphson ini, maka metode newton raphson perlu di modifikasi dengan : 1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut harus di geser sedikit, x 1 =x 1 ±δ dimana δ adalah konstanta yang ditentukan dengan demikian F 1 x i ≠0 dan metode newton raphson tetap dapat berjalan. Universitas Sumatera Utara 2. Untuk menghindari titik–titik pendekatan yang berada jauh, sebaliknya pemakaian metode newton raphson ini di dahului oleh metode tabel, sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson. Gambar 2.29 Langkah pertama iterasi Iterasi Kesetimbangan dan Konvergen dalam Abaqus Pada gambar menunjukkan respon nonlinier struktur pada penambahan beban kecil. Kekakuan awal di tunjukkan adalah K , yang di dasari pada u dan ∆P untuk menghitung koreksi perpindahan c a pada struktur.konfigurasi berubah menjadi u a . Kekakuan baru dari struktur menjadi K a berdasarkan u a dan I a sehingga perbedaan P dan I a dapat di hitung � � = � − � � 2.33 Dimana R a adalah kekuatan sisa dari iterasi Jika R a adalah 0 dalam derajat kebebasan model maka titik akan berada pada kurva beban-lendutan dan struktur akan berada dalam keseimbangan. Namun dalam Universitas Sumatera Utara nonlinier cukup mustahil untuk mendapatkan nilai nol sehingga abaqus membandingkannya dengan nilai toleransi kekuatan sisa, abaqus menerima pembaruan konfigurasi solusi keseimbangan. Secara umum diatur pada 0,5 dari nilai rata-rata kekuatan struktur dari waktu ke waktu. Abaqus secara otomatis melakukan hal ini. Jika nilai toleransi kurang, maka P dan I a akan seimbang sehingga u a akan berada pada konfigurasi kesetimbangan struktur pada dengan beban yang di tetapkan. Namun sebelumya abaqus akan melakukan koreksi perpindahan c a lebih kecil relative terhadap perpindahan total. ∆� � = � � − � jika c a lebih besar dari perpindahan incremental abaqus akan melakukan iterasi lain, keduanya harus sudah dirasa cukup untuk mendapatkan hasil sebelum dilakukan penambahan beban. Jika solusi dari iterasi belum juga diperoleh maka abaqus akan melakukan iterasi lain agar keseimbangan tercapai. Dalam lanjutan iterasi ini kekakuan yang dipakai adalah K a yang di peroleh dari hasil iterasi sebelumnya bersama dengan R a untuk menetukan koreksi perpindahan lainnya, c b . yang membuat system akan semakin dekat. Universitas Sumatera Utara Gambar 2.30 Langkah kedua iterasi Abaqus menghitung kekuatan sisa yang baru R b dengan menggunakan kekuatan dari konfigurasi yang baru pada struktur, u b . kemudian kekuatan sisa terbesar pada derajat kebebasan R b akan di bandingkan terhadap toleran si kekuatan sisa dan koreksi perpindahan untuk iterasi yang ke dua, c b . dibandingkan dengan peningkatan perpindahan sehingga ∆� � = � � − � , jika di perlukan abaqus akan melakukan iterasi lagi selanjutnya. Universitas Sumatera Utara BAB III METODE ANALISA III.1 Tekuk Lateral Pada Balok I Tapered Balok I Nonprismatis III.1.1 Pendahuluan Balok tapered secara luas digunakan pada konstruksi modern , tujuannya adalah untuk efesiensi struktur . Pada masa sekarang , badan-tapered berdinding tipis merupakan salah satu balok tapered yang paling terkenal dalam pengunaannya . Kekuatan dukungan lateralnya balok berdinding tipis secara terus menerus meningkat disebabkan oleh keruntuhan tekuk lateral tekuk torsi lateral , oleh sebab itu pembelajaran difokuskan pada tekuk lateral pada balok berdinding tipis . Kebanyakan pembahasan berkaitan dengan balok prismatic dan hanya sedikit yang membahas tentang balok tapered. Metode yang tepat untuk menghitung beban tekuk lateral pada balok tapered adalah membagi sebuah balok menjadi beberapa segmenbagian dan mengambil segmen – segmen tersebut sebagai ekuivalen balok prismatic , seperti yang diadopsi oleh Brown Lateral-tosional buckling of tapered I-beams. Journal of the Structural Division , ASCE 1981 pada analisa diferensial hingga . Pada metode ini , efek dari tapering runcingan tidak akan terpenuhi menjadi bagian – bagian bentuk ekspresi regangan linier, yang mungkin saja mengarah kepada beban – beban tekuk lateral yang tidak betul. Ronagh HR 2000 menemukkan eror pada beban tekuk lateral yang disebabkan oleh metode ini yang Universitas Sumatera Utara tidak bisa mengeliminasi terus mengunakan konfigurasi meshelemen yang baik pada analisa elemen hingga. Gambar 3.1 Balok I web-tapered Berdasarkan efek dari tapering terhadap regangan yang menurun , Kitipornchai dan Trahair 1972 membuat persamaan keseimbangan untuk analisa tekuk lateral pada balok tapered , dan hasil numeric diberikan dengan tujuan analisa diferensial hingga . Metode ini telah diperluas untuk balok tapered pada penampang mono-simetris. Selama Wekezer , Yang , Yau , Bradford , Cuk , Ronagh HR , Andrade dan Camotim menginvestigasi tekuk lateral pada balok tapered yang memanfaatkan metode elemen hingga , berdasarkan pontesi total yang diberikan . Sangat berharga bahwa semua literature yang disebutkan diatas regangan pada bagian – bagian balok tapered , seperti contoh , 2 sayap dan badan , diperoleh mengunakan hubungan yang sama diantara perpindahan dan regangan . Sebagai contoh , regangan linier longitudinal pada titik – titik balok, abaikan lokasinya , diperoleh dari diferensiasi perpindahan linier longitudinal pada titik ini dengan respek terhadap sumbu balok longitudinal . Universitas Sumatera Utara Metodologi ini telah ditemukan untuk menjatuhkan asumsi dasar pada struktur dinding tipis dan hasil analisa regangan yang tidak benar , khususnya untuk balok pada tapering. Sebuah percobaan telah dibuat untuk mempelajari tekuk lateral pada balok I web taperd double simetris . Asumsi dasar untuk struktur berdinding tipis , diajukan oleh Vlasov 1961, yang diadopsi untuk menentukan perpindahan hubungan regangan-perpindahan untuk pelat – pelat yang lain untuk memastikan bahwa efek dari taperingkeruncingan telah dipenuhi yang ditinjau pada rangka dalam teori dinding tipis . Berdasarkan hubungan ini , ekuivalen baru diberikan untuk bagian penampang pada badan-balok tapered . Selanjutnya , potensial total badan balok I tapered , berdasarkan dasar variasi klasik , yang diberikan. Menggunakan potensial total ini , program elemen hingga telah dikembangkan untuk mengetahui seberapa besar beban tekuk lateral pada balok tapered , dengan hasil teori sekarang yang dibandingkan dengan model elemen cangkang dan teori tipikal yang ada . Gambar 3.2 Deformasi aksial pada segmen balok tapered Universitas Sumatera Utara III.2 Beban Tengah Terpusat Jika balok dengan perletakan sederhana di bentang tengahnya diberi gaya terpusat, maka diagram momen nya adalah bilinear seperti pada gambar. Disini, seperti pada kasus momen ujung tidak merata, persamaan diferensialnya akan menghasilkan koefisien variabel. Sebagai gambaran, balok dengan perletakan sederhana yang dibebani gaya terpusat P dipusat geser pada bentang tengah penampang seperti pada gambar dibawah. Untuk memperoleh persamaan diferensial, kita perlu mencari hubungan momen eksternal yang ditimbulkan yang bekerja pada pada balok pada keadaan terdeformasi dengan momen internalnya. Dalam hal ini kita menggunakan dua koordinat system, yaitu x-y-z dan x’-y’-z’ seperti pada gambar. Pada balok yang tertekuk lateral, reaksi vertical P2 dan reaksi torsi 2 m Pu , dimana m u perpindahan lateral bidang luar dari pusat geser ditengah penampang akan mendapat sokongan. Dengan mengingat penampang sejauh z dari titik awalnya, variasi komponen dari momen external yang bekerja pada penampang tersebut yang mengenai koordinat x- y-z, dengan menggunakan aturan sekrup tangan kanan untuk vector momen,       − = z p P M ext x 2 2 3.1 = ext y M 3.2 2 u u p M m ext z − − = 3.3 Universitas Sumatera Utara Gambar 3.3: Balok dengan perletakan sederhana yang dibebani pada tengah bentang. Gambar 3.4 : Tekuk lateral pada balok dengan perletakan sederhana yang dengan beban tengah bentang Sumber : STRUCTURAL STABILITY, Theory and Implementation.W.F.Chen, Ph.d. dan E.M. Lui, Ph.d Universitas Sumatera Utara Pada gambar 3.5, kita melihat bahwa komponen dari momen external yang bekerja pada penampang pada balok yang terdeformasi yang mengenai koordinat x’- y’-z’ adalah : 2 2 2 u u P dz du z L P M dz du M M m ext z ext x ext x − +       − = − ≈ 3.4 ext z ext x ext y M dz dv M M − − ≈ γ 2 2 2 u u P dz dv z L P m − +       − − = γ 3.5 ext x ext z ext z M dz du M M + ≈       − + − − = z L P dz du u u P m 2 2 2 3.6 Momen perlawanan internalnya adalah : 2 2 int dz v d EI M x x − = 3.7 2 2 int dz u d EI M y y = 3.8 3 3 int dz d EC dz d GJ M w z γ γ − = 3.9 Universitas Sumatera Utara Gambar 3.5: Komponen-komponen momen Tanda minus pada persamaan 3.7 diatas menunjukkan bahwa Momen positif int x M menghasilkan gradien negative 2 2 dx v d , sesuai dengan aturan sekrup tangan kanan. Dengan menyamakan momen external dan momen internal dan mengabaikan syarat orde tertinggi, dapat ditetapkan persamaan keseimbangan: 2 2 2 2 =       − + z L P dz v d EI x . 3.10 2 2 2 2 =       − + z L P dz u d EI y γ . 3.11 Universitas Sumatera Utara 2 2 2 3 3 =       − − − + − z P P dz du u u P dz d EC dz d GJ m w γ γ . 3.12 Perlu dicatat bahwa syarat kedua dalam persamaan 3.4 dan 3.5 diatas diabaikan penulisannya pada persamaan 3.10 dan 3.11 karena nilai dudz, dvdz, dan u u m − , sangat kecil. Kita harus mengetahui bahwa dalam persamaan 3.61 diatas, yang menggambarkan perilaku lentur bidang dalam balok, tidak digabungkan dengan dua persamaan lainnya. Oleh karena itu hal tersebut tidak penting dalam analisis buckling ini. Perilaku tekuk torsi lateral balok digambarkan pada persamaan 3.10 dan persamaan 3.11. Dengan mengeliminasi u dari persamaan 3.10 dan persamaan 3.11 dan mencatat bahwa = dz du m ,dapat ditulis persamaan diferensial : 2 2 1 2 2 2 4 4 =             − + − γ γ γ z L P EI dz d GJ dz d EC y w . 3.13 Solusi untuk persamaan diferensial ini ditetapkan dengan metode deret tak terhingga. Hasilnya diplot dalam bentuk garis tebal pada gambar dibawah. Kurva tersebut masing-masing sesuai pada kasus pada saat beban bekerja pada sayap atas, pusat geser, dan pada sayap bawah pada penampang. Pada kasus dimana beban bekerja pada sayap atas merupakan keadaan yang paling berbahaya, karena lengan torsi bertambah besar. Disisi lain hal yang berbahaya ialah bekerjanya beban pada sayap bawah sehingga menyebabkan Universitas Sumatera Utara pengurangan lengan torsi. Jika beban bekerja pada sayap atas maka persamaan 3.6 menjadi :       − + − = u h u P M m m ext z 2 2 γ . 3.14 Dan pada saat beban bekerja pada sayap bawah maka persamaan 3.6 menjadi :       − − − = u h u P M m m ext z 2 2 γ . 3.15 Dimana m u dan γ m merupakan perpindahan lateral bidang luar dan putaran dari penampangbentang tengah balok masing-masing. Nilai dari 2 2 h atau h m m γ γ − menggambarkan jumlah kenaikan atau penurunanan pada lengan torsi yang diakibatkan beban yang bekerja dan kenaikan atau penurunan momen externalnya ext z M . Terbukti, jika ext z M semakin besar maka cr P akan semakin kecil dan sebaliknya. Maka pendekatan nilai teoritis cr P dari persamaan 3.1 diatas adalah : cr b cr cr M C L P M 4 = = . 3.16 Universitas Sumatera Utara 17 . 3 ....... .......... .......... ..........      = atas sayap pada beban Untuk B A geser pusat pada beban Untuk A bawah sayap pada beban Untuk AB C b Gambar 3.6: Perbandingan nilai teoritis dan nilai pendekatan beban terpusat Sumber : STRUCTURAL STABILITY, Theory and Implementation.W.F.Chen, Ph.d. dan E.M. Lui, Ph.d Dengan: Universitas Sumatera Utara Nilai A dan B dirumuskan oleh Nethercot dan Rockey 7 sebagai berikut. A=1.35 . 3.18 B=1+0.649W - 0.180W 2 . 3.19 Dimana : W= GJ EC L w π . Nilai pendekatan untuk nilai cr P dengan menggunakan persamaan 3.16 dan 3.19 diatas diplot atau digambarkan dengan garis putus-putus pada gambar diatas. Dapat kita lihat bahwa solusi pendekatan diatas memberikan gambaran solusi yang pasti secara teoritis. III.3 Pengaruh Kondisi Pembebanan Kasus dasar tekuk lateral dan puntiran yang terjadi pada balok WF dengan perletakan sederhana yang dibebani momen seragam pada sumbu utamanya telah diterima dan dapat dipertanggungjawabkan sesuai dengan solusi persamaan diatas. Rumus ini akan menghasilkan hasil yang konservatif dalam sebagian besar kasus. Akan tetapi sebagian besar balok dalam strukturnya tidak dibebani dengan momen seragam, dan sebagian besar kondisi perletakannya tidaklah sederhana. Kondisi pembebanan dan kondisi batas yang praktis dan sangat penting sayangnya tidak dapat memecahkan persamaan diferensial yang sangat rumit dan bahkan tidak mungkin dapat diselesaikan dengan analitis. Universitas Sumatera Utara III.3.1 Perilaku Balok Tanpa Kekangan Lateral Pada balok yang memikul beban transversal selain melentur terhadap sumbu kuatnya, juga dapat melentur kearah sumbu lemahnya. Sebagaimana kita ketahui bahwa bagian sayap tekan balok dihubungkan dengan bagian sayap tarik melalui badan balok sehingga dapat mencegah terjadinya ketidakstabilan sayap tekan terhadap tekuk. Komponen tekan dari suatu balok disokong seluruhnya oleh komponen tarik yangstabil. Jadi, tekuk global dari komponen tekan tidak terjadi sebelum kapasitas momen batas penampang belum tercapai. Namun apabila sayap tekan cukup besar, bagian sayap tekan dapat tertekuk kearah lateral yang dikenal sebagai lateral torsional buckling.Untuk mencegah terjadinya lateral torsional buckling ini, balok dapat diberi lateral support pada jarak tertentu, atau dengan memilih balok yang mempunyai momen inersia terhadap sumbu lemah mendekati sama besar dengan momen inersia sumbu kuatnya. III.3.2 Kekuatan Balok Akibat Beban Momen Murni Ada empat 4 kategori perilaku balok yang memikul momen lentur  Kekuatan momen plastis Mp tercapai dengan kapasitas rotasi cukup besar. Penampang seperti ini diijinkan dalam analisis dengan metoda plastis.  Kekuatan momen plastis tercapai dengan kapasitas rotasi kecil. Hal ini disebabkan kekakuan sayap atau badan kurang untuk menahan tekul lokal atau lateral support tidak memadai untuk menahan tekuk lateral ketika sayap dalam keadaan kondisi inelastis. Penampang ini tidal diijinkan pada analisis dengan metoda plastis. Universitas Sumatera Utara  Kekuatan momen tercapai, dimana diatas nilai tersebut tegangan sisa yang ada akan menyebabkan mulainya perilaku inelastis balok. Adanya tekuk lokal pada sayap atau badan atau tekuk lateral mencegah tercapainya kapasitas momen plastis.  Kekuatan momen Mr tercapai, dimana diatas nilai tersebut tegangan sisa yang ada akan menyebabkan mulainya perilaku inelastis balok. Adanya tekuk lokal pada sayap atau badan atau tekuk lateral mencegah tercapainya kapasitas momen plastis Mp.  Kekuatan penampang balok dibatasi oleh tekuk elastis baik akibat local buckling pada sayap atau badan, atau lateral torsional buckling. • Kuat Lentur Nominal Balok Kuat lentur nominal balok ditinjau dari kegagalan tekuk lateral sangat tergantung kepada panjang balok tanpa sokongan unbraced length didefinisikan parameter berikut ini: y yf p r F L 790 = y yf p pd r F M M L 15200 24800 1 + = 2 2 1 1 1 r yf yf y r F F X Fr F X r L − + + − = 2 2 1 4 2       = = GJ S I C X EGJA S X x y w x π Universitas Sumatera Utara Dengan : = yf F Tegangan leleh pada sayap = J Konstanta Torsi = w C Konstanta Warping = y r Radius girasi terhadap sumbu y = E Modulus Elastisitas = G Modulus Geser = x S Section modulus terhadap sumbu x = r F Tegangan sisa = A Luasan penampang profil Pada bagian berikut ada 4 empat kondisi balok dengan momen plastis dan kapasitas rotasi yang berbeda-beda.  Penampang kompak dengan pd b L L ≤ Momen plastis tercapai p n M M = dengan kapasitas rotasi besar 3 ≥ R .  Penampang kompak dengan pd b L L ≤ Momen plastis tercapai p n M M = dengan kapasitas rotasi kecil 3 R .  Penampang kompak dengan r b p L L L Momen plastis tidak tercapai p n r M M M ≤ . Karena terjadinya tekuk Universitas Sumatera Utara lateral pada daerah inelastis. Maka, p p r p b r p p n M L L L L M M M M ≤         − − − − =  Penampang kompak dan tidak kompak dengan r b L L Pada kasus ini akan terjadi lateral torsional buckling pada daerah elastic r n M M 2 2 1 1 2 1 2 r b r b x cr n L L X X L L X S M M + = = Gambar 3.7 : Kuat Momen Nominal Akibat pengaruh Lb • Pengaruh Gradient Momen Terhadap Ketidakstabilan Lateral Torsi Telah dijelaskan pada bab sebelumnya kuat lentur nominal n M terhadap tekuk lateral dikembangkan dari analisis balok diatas dua perletakan dengan beban yang bekerjaadalah momen lentur murni seragam. Bila momen yang bekerja tidak seragam atau beban yang bekerja adalah beban transversal, maka kuat lentur nominal n M akan bertambah. Untuk memperhitungkan pengaruh momen yang tidak seragam Universitas Sumatera Utara 3 , 2 3 , 05 , 1 75 , 1 2 2 1 2 1 ≤       +       + = M M M M C b atau beban yang bekerja adalah beban transversal, maka kuat lentur nominal dikalikan dengan faktor modifikasi b C . Peraturan AISC 1986 menetapkan faktor seperti b C yang diusulkan Salvadori: 3.20 Pengaruh distribusi beban sepanjang bentang balok yang tidak disokongdikekang terhadap kekuatan atau kapasitas tekuk lateral torsi elastic telah diteliti secara numeric oleh sejumlah peneliti. Hasil dari sejumlah buku atau tulisan, solusi pada bentuk persamaan 3.20 diatas sering dipakai untuk mencari nilai beban kritis. Solusi untuk kondisi pembebanan yang secara umum untuk beban yang bekerja pada pusat gesernya dapat dilihat pada table dibawah. Dengan menggunakan tanda atau nilai cr M pada kolom ketiga dan nilai b C pada kolom keempat dengan nilai cr M pada persamaan 3.20 diatas dapat kita hitung nilai beban kritisnya. Untuk pembebanan yang diagaran momennya tidak menyerupai dengan yang terdapat pada table 3.1a dibawah tersebut. Rumus empiris dirumuskan oleh Kirby dan Nethercot 3 untuk nilai b C . 2 3 4 3 12 max 3 max 2 max 1 + + + = M M M M M M C b . 3.21 Dimana 1 M , 2 M , dan 3 M momen pada ¼ panjang bentang, tengah bentang dan ¾ panjang bentang masing-masing dan max M adalah momen maximum sebagaimana ditunjukkan pada table 3.1b dibawah. Jika letak pembebanan tidak pada Universitas Sumatera Utara pusat geser, nilai-nilai beban kritis akan berbeda-beda. Untuk dua kasus pembebanan pada tabel dibawah Nethercot, dan Rockey 7 dan Nethercot 16 telah mengusulkan tanda untuk b C untuk digunakan pada persamaan 3.20 untuk memberikan nilai pendekatan beban kritis. Gambar dibawah menunjukkan perbandingan antara nilai beban kritis secara teoritis yang ditetapkan oleh Timoshenko dan Gere 2 untuk kasus beban yang terdistribusi dengan seragam dengan solusi pendekatan yang dirumuskan oleh Nethercot dan Rockey 7 Tabel 3.1. Gambar 3.8 : Bidang momen pada ¼, ½, dan ¾ bentang Universitas Sumatera Utara Tabel 3.1 : Nilai b C untuk berbagai jenis kasus pembebanan yang berbeda Beban yang diberikan seluruhnya pada pusat geser penampang Sumber : Structural stability Theory of implementation W.F. Chen, Phd. Universitas Sumatera Utara BAB IV APLIKASI

IV.1 Perhitungan Analitik

Berikut ini sebuah balok Profil IWF 600x300x14x23 yang dimodifikasi menjadi balok taper dengan rasio keruncingan ζ = 0,5 , berat sendiri balok � ��� = 1,75 ���, dimana balok tersebut tidak dikekang secara lateral. Fy = 240 MPa. Gambar 4.1 Aplikasi Pembebanan Balok I Tapered Tentukan: Beban terpusat yang dapat dipikul balok tersebut., jika: L=3 m, L=6 m, L=9m, L=12m Universitas Sumatera Utara