c. Menjumlahkan semua nilai setiap baris dari matriks yang telah dinormalisasi
dan membaginya dengan elemen tiap baris. Hasil pembagian tersebut menunjukkan nilai prioritas untuk masing-masing elemen.
2.1.5 Konsistensi
Dalam penilaian perbandingan berpasangan sering terjadi ketidakkonsistenan dari pendapat preferensi yang diberikan oleh pengambil keputusan. Konsistensi dari
penilaian berpasangan tersebut dievaluasi dengan menghitung
Consistency Ratio CR
. Saaty menetapkan apabila
CR
≤ 0,1, maka hasil penilaian tersebut dikatakan konsisten. Formulasi untuk menghitung adalah:
. Dimana,
CI = Consistency Indeks
Indeks Konsistensi dan
RI = Random Consistency Index
. Formula
CI
adalah: ; dimana
max
= nilai maksimum dari
eigen value
berordo
n
.
Eigen value
maksimum didapat dengan menjumlahkan hasil perkalian matriks perbandingan dengan
eigen vector
utama vektor prioritas dan membaginya dengan jumlah elemen. Nilai
CI
tidak akan berarti bila tidak terdapat acuan untuk menyatakan apakah
CI
menunjukkan suatu matriks yang konsisten atau tidak konsisten. Saaty mendapatkan nilai rata-rata
Random Index RI
seperti pada tabel berikut:
Tabel 2.4 Tabel Nilai Random Indeks RI
Ordo Matriks
1,2 3
4 5
6 7
8 9
10 11
12 13
RI
0,52 0,89 1,11 1,25 1,35 1,4 1,45 1,49 1,51 1,54 1,56
Universitas Sumatera Utara
2.1.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Defenisi. Misalkan
A
adalah sebarang matriksbujur sangkar. Skalar disebut sebagai
nilai eigen dari
A
jika terdapat vektor kolom bukan-nol
v
sedemikian rupa sehingga:
Sebarang vektor yang memenuhi hubungan ini disebut sebagai vektor eigen dari
A
yang termasuk dalam nilai eigen .
Dicatat bahwa setiap kelipatan skalar
kv
dari vektor eigen
v
yang termasuk dalam juga adalah vektor eigen karena:
Untuk mencapai nilai eigen dari matriks
A
yang berukuran
n × n,
maka dapat ditulis pada persamaan berikut:
Atau secara ekuivalen: Agar
menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan tak nol dari persamaan ini. Akan tetapi, persamaan di atas akan mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya
jika:
Ini dinamakan persamaan karakteristik
A
, skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari
A.
Bila diketahui bahwa nilai perbandingan elemen
A
i
terhadap elemen
A
j
adalah
a
ij
, maka secara teoritis matriks tersebut berciri positif berkebalikan, yakni . Bobot yang dicari dinyatakan dalam vektor
. Nilai
menyatakan bobot kriteria
A
n
terhadap keseluruhan set kriteria pada subsistem tersebut.
Universitas Sumatera Utara
Jika
a
ij
mewakili derajat kepentingan faktor
i
terhadap faktor
j
dan
a
ik
menyatakan derajat kepentingan dari faktor
j
terhadap faktor
k
, maka agar keputusan menjadi konsisten, kepentingan
i
terhadap faktor
k
harus sama dengan atau
jika untuk semua
i, j, k
. Untuk suatu matriks konsisten dengan vektor
w
, maka elemen dapat ditulis:
Jadi, matriks konsistennya adalah:
Seperti yang diuraikan di atas, maka untuk
pairwise comparison matrix
diuraikan menjadi:
Dari persamaan tersebut di atas dapat dilihat bahwa:
Dengan demikian untuk matriks perbandingan berpasangan yang konsisten menjadi:
Persamaan tersebut ekuivalen dengan bentuk persamaan matriks di bawah ini:
Universitas Sumatera Utara
Dalam teori matriks, formulasi ini diekspresikan bahwa
w
adalah eigen vektor dari matriks
A
dengan nilai eigen
n
. Perlu diketahui bahwa
n
merupakan dimensi matriks itu sendiri. Dalam bentuk persamaan matriks dapat ditulis sebagai berikut:
Tetapi pada prakteknya tidak dapat dijamin bahwa:
Salah satu penyebabnya yaitu karena unsur manusia
decision maker
tidak selalu dapat konsisten mutlak dalam mengekspresikan preferensi terhadap elemen-elemen
yang dibandingkan. Dengan kata lain, bahwa penilaian yang diberikan untuk setiap elemen persoalan pada suatu level hirarki dapat saja tidak konsisten
inconsistent
.
2.2 Himpunan
