Pemodelan FEM Plane Stress Pemodelan Plane Frame

Daniel Pasaribu : Analisa Gaya Dalam Pada Rigid Zone Pertemuan Balok Dan Kolom Portal Beton Bertulang Dengan Menggunakan Model Strut And Tie, 2009. USU Repository © 2009

4.2 Pemodelan Finite Element Method

4.2.1 Pemodelan FEM Plane Stress

Matrik kekakuan global                                             − − − − − − + =                     zx yz xy z y x zx yz xy z y x E γ γ γ ε ε ε υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ τ τ τ σ σ σ 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1                                             − − − − − − + =                     zx yz xy z y x xy y x E γ γ γ ε ε ε υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ τ σ σ 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1                             − − − − − − − − − − +           xy y x xy y x E γ ε ε υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ τ σ σ 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 Daniel Pasaribu : Analisa Gaya Dalam Pada Rigid Zone Pertemuan Balok Dan Kolom Portal Beton Bertulang Dengan Menggunakan Model Strut And Tie, 2009. USU Repository © 2009 Yang akhirnya memberikan :                             − − − − − − + =           xy y x xy y x E γ ε ε υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ τ σ σ 1 2 1 1 1 1 1 1 1                         − − + =           xy y x xy y x E γ ε ε υ υ υ υ υ τ σ σ 2 1 1 1 1 1 [ ]               − + = 2 1 1 1 1 2 υ υ υ υ E D { } [ ] { } ε σ D = { } [ ] { } d B = ε [ ]           = m m j j i i m j i m i i A B β γ β γ β γ γ γ γ β β β 2 1 m j i y y − = β i m j y y − = β j i m y y − = β j m i x x − = γ Daniel Pasaribu : Analisa Gaya Dalam Pada Rigid Zone Pertemuan Balok Dan Kolom Portal Beton Bertulang Dengan Menggunakan Model Strut And Tie, 2009. USU Repository © 2009 m i j x x − = γ i j m x x − = γ Jadi, { } [ ] { } [ ][ ] { } d B D D = = ε σ

4.2.2 Pemodelan Plane Frame

Pemodelan portal menurut FEM Finite Element Method bentuk plane frame elemen yaitu dapat memikul gaya arah vertical, horizontal dan perputaran rotasi. Matriks kekakuan global dengan transformasi system koordinat sesuai dengan koordinat setiap batang adalah seperti berikut : [ ]                     − − − + − − − − + − − + + − − − − − − − + − + − − + − − − − − + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 6 6 2 6 6 6 12 12 6 12 12 6 12 12 6 12 12 2 6 6 4 6 6 6 12 12 4 12 12 6 12 12 6 12 12 l lC lS l lS lS lC C KS CS K lC C KS CS K lS CS K S KC lS CS K S KC l lC lS l lC lS lC C KS CS K l C KS CS K lS CS K S KC lS CS K S KC l EI K z Dimana : E = Modulus Elastisitas I z = Inersia Tampang L = Panjang bentang C = Cosinus sudut S = Sinus sudut z I Al K 2 = Daniel Pasaribu : Analisa Gaya Dalam Pada Rigid Zone Pertemuan Balok Dan Kolom Portal Beton Bertulang Dengan Menggunakan Model Strut And Tie, 2009. USU Repository © 2009 Untuk mencari mencari besarnya gaya-gaya batang yang terjadi maka digunakan persamaan : [ ] [ ][ ] d k f = dengan [ ] f adalah gaya-gaya batang, [ ] k adalah kekakuan batang dan [ ] d adalah displacement yang terjadi pada batang tersebut. Pada plane frame, gaya-gaya batang yang terjadi adalah gaya arah vertical V, horizontalH, dan rotasi M. Boundary condition yang terjadi antara lain adalah pada tumpuan jepit besarnya displacement yang terjadi adalah nol u = v = x = 0. Sedangkan untuk batang yang runtuh dan pada perletakan sendi dilepaskan sehingga perletakan bebas berputar maka pada ujung batang yang dilepas tersebut besarnya M = 0, sedangkan untuk H dan V memiliki suatu besaran. Hal ini dapat dimodelkan pada saat akan mencari besarnya gaya dalam batang dimana matriks kekakuan individu untuk batang yang dilepas akan berubah dengan salah satu ujungnya menjadi sendi. Sebagai contoh untuk portal sederhana seperti pada Gambar 3.6 maka akan diperoleh matriks [ ] [ ][ ] d k f = adalah : Gambar 4.1 Pemodelan Elemen Frame Daniel Pasaribu : Analisa Gaya Dalam Pada Rigid Zone Pertemuan Balok Dan Kolom Portal Beton Bertulang Dengan Menggunakan Model Strut And Tie, 2009. USU Repository © 2009                                                                             =                                       4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x v u x v u x v u x v u M V H M V H M V H M V H Sehingga didapat displacement sebagai berikut :                                         − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − =                     3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 M V H M V H x v u x v u Untuk mencari gaya dalam batang digunakan persamaan [f] = [k] [d] Dimana : [f] = gaya dalam batang [k] = matriks kekakuan local [d] = displacement local Displacement local dapat diperoleh dengan persamaan [d] = [T] [ ] d Daniel Pasaribu : Analisa Gaya Dalam Pada Rigid Zone Pertemuan Balok Dan Kolom Portal Beton Bertulang Dengan Menggunakan Model Strut And Tie, 2009. USU Repository © 2009 Dimana : [T] =                     − − 1 1 C S S C C S S C Maka diperoleh masing-masing gaya dalam batang [f] = [k] [d]. Sebagai contoh untuk batang 2-3 dapat diperoleh dengan matriks berikut :                                         − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − =                     3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 x v u x v u M V H M V H

4.3 Simulasi