6} A himpunan 7, 8, 9} A = {1, 2, 3, 4} Soal Uraian
157
MATEMATIKA
Siswa diminta untuk mengamati dengan cermat gabungan dari dua himpunan dari 4 model diagram Venn di bawah ini. Biarkan siswa untuk mengamati sendiri tanpa ada
penjelasan dari guru, agar mereka berikir dan mengkontruksi sendiri pengetauan tentang gabungan dan perbedaannya dengan irisan dari dua himpunan dari empat bentuk yang
ada, termasuk deinisi irisan dari dua himpunan.
Ayo Kita Menanya
? ?
Berilah motivasi, contoh pertanyaan, dan pertanyaan yang menggiring kepada pertanyaan yang diharapkan, agar siswa mampu merumuskan pertanyaan yang berkaitan dengan
gabungan dari dua himpunan. Pertanyaan yang diharapkan adalah: 1. Apa perbedaan antara gabungan dan irisan dari dua himpunan?
2. Mengapa untuk himpunan A = B hasil dari gabungan sama dengan irisan? 3. Apakah
A ∪ B sama dengan A + B?
Ayo Kita Menggali Informasi
+
=
+
Dalam kegiatan ini siswa diminta untuk memahami Soal 2.10 dan 2.11 tentang soal cerita kontekstual yang berkaitan dengan gabungan dua himpunan. Mintalah siswa
untuk memahami permasalahan dan alternatif pemecahannya tersebut dengan cermat dan teliti. Untuk mengetahui tingkat pemahaman siswa, guru dapat memberikan
contoh soal serupa untuk dikerjakan siswa. Guru dapat memberikan penguatan lagi tentang deinisi dari gabungan dari dua
himpunan, yaitu:
Misalkan S adalah himpunan semesta, gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota S yang merupakan anggota himpunan A atau
anggota himpunan B, dilambangkan dengan A ∪ B.
Gabungan dua himpunan ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}.
Ayo Kita Menalar
Dalam kegiatan ini siswa diminta untuk kerja kelompok yang terdiri dari 4 – 5 siswa. Dengan melakukan kegiatan menalar, diharapkan siswa mampu untuk menentukan
158
Buku Guru Kelas VII SMPMTs
anggota dari gabungan dua himpunan, mampu membuktikan bahwa ada hubungan antara kardinalitas himpunan dengan irisan dan gabungan dari dua himpunan, mampu
menggambar diagram Venn dari gabungan dua himpunan, dan mampu menyelesaikan soal cerita dari gabungan dua himpunan.
Alternatif jawaban dari kegiatan ini adalah 1. Hubungan antara kardinalitas himpunan dengan gabungan dan irisan adalah
sebagai berikut: Perhatikan kedua diagram Venn berikut.
a b
A B
S
• 5 •
7 • 9
• 17
• 15
• 13
• 11
• 1 • 3
• p
• s
• o
• p
• q
• r
A S
B
Gambar 2.14 Diagram Venn a dan b
Berdasarkan Gambar 2.14 a dan b diperoleh nA
= 5
nA = 4 nB
= 6
nB = 2 nA
∩ B = 2 nA
∩ B = 0 nA
∪ B = 9 nA
∪ B = 6 Ternyata:
Ternyata: 9 = 5 + 6 – 2
6 = 4 + 2 – 0 nA
∪ B = nA + nB – nA ∩ B nA ∪ B = nA + nB – nA ∩ B,
sehingga dapat disimpulkan
Untuk A dan B himpunan berlaku: nA ∪ B = nA + nB – nA ∩ B
2. Hubungan antara irisan dan gabungan dari 3 himpunan dapat dilihat pada gambar berikut.
159
MATEMATIKA
A
• 7 B
C S
• 11
• 13 • 10
• 8 • 9
• 6 • 4
• 2 • 1
• 5 • 3
• 12 • 17
• 16 • 18 • 15
• 14
Gambar 2.16 Diagram Venn himpunan A, B, dan C
Berdasarkan Gambar 2.16, diperoleh nA = 7
nB = 9 nC = 10
nA ∩ B = 3
nA ∩ C = 3
nB ∩ C = 4
nA ∩ B ∩ C = 2
nA ∪ B ∪ C = 18
Ternyata: 18 = 7 + 9 + 10 – 3 – 3 – 4 + 2
nA ∪ B ∪ C = nA + nB + nC
– nA∩B – nA∩C – nB∩C + nA∩B∩C Berdasarkan keterangan di atas diperoleh Informasi
Misalkan A, B, dan C adalah himpunan, maka
nA ∪ B ∪ C =
nA + nB + nC – nA ∩B – nA∩C – nB∩C + nA∩ B ∩ C
3. Agar lebih mudah, tentukan dulu semua anggota dari himpunan yang diketahui, yaitu
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 2, 3, 4},
B = {2, 3, 5, 7} C = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
a. Gambarlah diagrm Venn dari himpunan tersebut adalah
160
Buku Guru Kelas VII SMPMTs
A
• 7 B
C S
• 10 • 8
• 9 • 6
• 4 • 2
• 1 • 5
• 3
b. Anggota dari 1. A
∪ B ={2, 3} 2. A
∪ C ={2, 3, 4} 3. B
∪ C ={2, 3, 5, 7} 4. A
∩ B ∩ C ={2, 3} c. nA
∩ B ∩ C = 2
Ayo Kita Berbagi
Mintalah siswa untuk menukar jawaban Ayo kita menalar dengan teman sebangku dan berilah penguatan kembali tentang konsep gabungan dari dua himpunan. Apabila
masih ada siswa yang belum memahami sepenuhnya tentang konsep irisan dan gabungan dari dua himpunan, guru dapat memberikan soal lain tentang irisan dan
gabungan dari dua himpunan.
Ayo Kita
? ?
Berlatih 2.8
Alternatif penyelesaian Ayo Kita Berlatih 2.8
1. Diketahui himpunan A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, himpunan B = {1, 3, 5, 7}, C = {1, 2, 3, 4}, himpunan D = {4, 5, 6, 7}, tentukan anggota-anggota dari
a. A ∪ B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
b. A ∪ C ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
c. A ∪ D ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
d. B ∪ C ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
e. B ∪ D ={1, 3, 4, 5, 6, 7}
f. C
∪ D ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
161
MATEMATIKA
2. Diketahui S = {bilangan cacah kurang dari 15} A = {bilangan asli genap kurang dari 11}
B = {bilangan asli ganjil kurang dari 8} C = {bilangan asli lebih dari 4 dan kurang dari 7}
a. Anggota dari himpunan S
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {1, 3, 5, 7} C = { 5, 6}
b. Anggota dari B
∪ C = {1, 3, 5, 6, 7}
A ∪ B
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10} A
∪ C = {2, 4, 5, 6, 8, 10}
A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}
c. Gambarlah diagram Venn-nya A
• 7 B
C S
• 11 • 13
• 10 • 8
• 9 • 6
• 4 • 2
• 1
• 5 • 3
• 12 • 14
3. Diketahui S = {x │–10 ≤ x ≤ 10, x bilangan bulat }
P = {x │–5 ≤ x ≤ 5, x bilangan bulat}
Q = {x │–8 ≤ x ≤ 2, x bilangan bulat}
R = {x │–2 ≤ x ≤ 8, x bilangan bulat}
a. Anggota dari himpunan S
= {–10, –9, –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} P
= {–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
162
Buku Guru Kelas VII SMPMTs
Q = {–8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2}
R = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
b. Tentukan anggota dari P
∪ Q = {–8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
P ∪ R =
{–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Q
∪ R = {–8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
P ∪ Q ∪ R =
{–8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} c. Gambarlah diagram Venn-nya
P
• 7 •
–7 Q
R S
• 10 •
–10
• 8 •
–8
• 9 •
–9
• 6 •
–6
• 4 •
–4 • 2
• –2
• 1 •
–1 • 5
• –5
• 3 •
–3 • 0
4. Dalam suatu kelas terdapat 26 siswa gemar pelajaran Matematika, 20 siswa gemar Bahasa Indonesia, 10 siswa gemar keduanya, dan 5 siswa tidak gemar keduanya.
a. Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut adalah: P
Q S
• 16 • 5
• 10 • 10
Misalnya: P adalah himpunan siswa yang gemar Matematika Q adalah himpunan siswa yang gemar Bahasa Indonesia
b. Banyak siswa dalam kelas tersebut adalah: 16 + 10 + 10 + 5 = 41
Jadi banyaknya siswa dalam kelas tersebut adalah 41 siswa
163
MATEMATIKA