204029261 Kelas 07 SMP Matematika Guru

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN REPUBLIK INDONESIA 2013

Buku Guru

MATEMATIKA

SMP/MTs KELAS

VII

Hak Cipta © 2013 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Dilindungi Undang-Undang

MILIK NEGARA TIDAK DIPERDAGANGKAN

Disklaimer: Buku ini merupakan buku guru yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 2013. Buku guru ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah

koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini.

Katalog Dalam Terbitan (KDT)

Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Matematika : buku guru/Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.-- Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2013. xxii, 602 hlm. : ilus. ; 25 cm.

Untuk SMP/MTs Kelas VII ISBN 978-602-282-083-3 (jilid lengkap) ISBN 978-602-282-084-0 (jilid 1)

1.Matematika -- Studi dan Pengajaran

I. Judul

II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan 510

Kontributor Naskah : Bornok Sinaga, Pardomuan J.N.M.S Sinambela, Andri Kristianto Sitanggang, Tri Andri Hutapea, Sudianto Manullang, Lasker Pengarapan Sinaga, Mangara Simanjorang, Nuniek Afianti Agus, Ichwan Budi Utomo, Swida Purwanto, Lambas, Aris Hadiyan, dan Pinta Deniyanti.

Penelaah : Sisworo dan Agung Lukito. Penyelia Penerbitan : Politeknik Negeri Media Kreatif, Jakarta.

Cetakan Ke-1, 2013 Disusun dengan huruf Times New Roman, 11 pt.

ii

Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

Kata Pengantar

Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya.

Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara matematis akan dapat diselesaikan dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan. Karenanya matematika berperan sebagai alat komunikasi formal paling efisien. Perlu kemampuan berpikir kritis-kreatif untuk menggunakan matematika seperti uraian diatas: menentukan variabel dan parameter, mencari keterkaitan antar variabel dan dengan parameter, membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu gagasan, membuktikan kesetaraan antar beberapa rumusan matematika, menyelesaikan model abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh.

Buku Matematika Kelas X untuk Pendidikan Menengah ini disusun dengan tujuan memberi pengalaman konkret-abstrak kepada peserta didik seperti uraian diatas. Pembelajaran matematika melalui buku ini akan membentuk kemampuan peserta didik dalam menyajikan gagasan dan pengetahuan konkret secara abstrak, menyelesaikan permasalahan abstrak yang terkait, dan berlatih berfikir rasional, kritis dan kreatif.

Sebagai bagian dari Kurikulum 2013 yang menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi sikap, pengetahuan dan keterampilan, kemampuan matematika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran berkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan pengetahuan tentang metode-metode matematika, dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu permasalahan secara matematis dan menyelesaikannya, dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan.

Buku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan peserta didik untuk mencapai kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 2013, peserta didik diberanikan untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya. Peran guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap peserta didik dengan ketersedian kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam.

Sebagai edisi pertama, buku ini sangat terbuka dan terus dilakukan perbaikan dan penyempurnaan. Untuk itu, kami mengundang para pembaca memberikan kritik, saran dan masukan untuk perbaikan dan penyempurnaan pada edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut, kami ucapkan terima kasih. Mudah-mudahan kita dapat memberikan yang terbaik bagi kemajuan dunia pendidikan dalam rangka mempersiapkan generasi seratus tahun Indonesia Merdeka (2045).

Jakarta, Mei 2013 Menteri Pendidikan dan Kebudayaan

Mohammad Nuh

Matematika

iii

SURAT BUAT GURU

Bapak, Ibu guru kami yang terhormat, banyak hal yang sudah kita lakukan sebagai usaha membelajarkan peserta didik dengan harapan, mereka berketuhanan, berperikemanusiaan, berpengetahuan, dan berketerampilan melalui pendidikan matematika. Harapan dan tugas mulia ini cukup berat, menuntut tanggung jawab yang tidak habis-habisnya dari generasi ke generasi.

Banyak masalah pembelajaran matematika yang kita hadapi, bagaikan menelusuri sebuah lingkaran dengan titik-titik masalah yang tak berhingga banyaknya. Tokoh pendidikan matematika Soedjadi dan Yansen Marpaung menyatakan, kita harus berani memilih/menetapkan tindakan dan menghadapi resiko untuk meningkatkan kualitas pendidikan matematika di setiap sekolah tempat guru melaksanakan tugas profesionalitasnya. Artinya, guru sebagai orang yang pertama dan yang utama bertindak sebagai pengembang kurikulum yang mengenal karakteristik siswa dengan baik, dituntut bekerjasama memikirkan jalan keluar permasalahan yang terjadi. Pola pembelajaran yang bagaimana yang sesuai dengan karakteristik matematika dan karakteristik peserta didik di sekolah Bapak/Ibu ?.

Salah satu alternatif, kita akan mengembangkan pembelajaran matematika berbasis paham konstruktivisme. Buah pikiran ini didasari prinsip bahwa: (1) setiap anak lahir di bumi, mereka telah memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi budaya, (3) matematika adalah produk budaya, yaitu hasil konstruksi sosial dan sebagai alat pemecahan masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia. Untuk itu diperlukan perangkat pembelajaran, media pembelajaran, asesmen otentik dalam pelaksanaan proses pembelajaran di kelas.

Model pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik yang relevan dengan karakteristik matematika dan tujuan pembelajaran matematika cukup banyak, seperti (1) model pembelajaran berbasis masalah, (2) pembelajaran kontekstual, (3) pembelajaran kooperatif dan banyak model pembelajaran lainnya. Bapak/Ibu dapat mempelajarinya secara mendalam melalui aneka sumber pembelajaran.

Pokok bahasan yang dikaji dalam buku petunjuk guru ini, antara lain: (1) eksponen dan logaritma, (2) persamaan dan pertidaksamaan linier, (3) sistem persamaan dan pertidaksamaan linier, (4) matriks, (5) relasi dan fungsi, (6) barisan dan deret, (7) persamaan dan fungsi kuadrat, (8) limit dan (9) peluang yang tertera dalam kurikulum 2013. Berbagai konsep, aturan dan sifat-sifat dalam matematika ditemukan melalui pemecahan masalah nyata, media pembelajaran, yang terkait dengan materi yang diajarkan. Seluruh materi yang diajarkan berkiblat pada pencapaian kompetensi yang ditetapkan dalam kurikulum matematika 2013. Semua petunjuk yang diberikan dalam buku ini hanyalah pokok-pokoknya saja. Oleh karena itu, Bapak dan Ibu guru dapat mengembangkan dan menyesuaikan dengan keadaan dan suasana kelas saat pembelajaran berlangsung.

Akhirnya, tidak ada gading yang tak retak. Rendahnya kualitas pendidikan matematika adalah masalah kita bersama. Kita telah diberi talenta yang beragam, seberapa besar buahnya yang dapat kita persembahkan padaNya. Taburlah rotimu di lautan tanpa batas, percayalah kamu akan mendapat roti sebanyak pasir di tepi pantai. Mari kita lakukan tugas mulia ini sebaik-baiknya, semoga buku petunjuk guru ini dapat digunakan dan bermanfaat dalam pelaksanaan proses pembelajaran matematika di sekolah.

Jakarta, Pebruari 2013

Tim Penulis

iv

Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

DESKRIPSI SINGKAT MODEL PEMBELAJARAN BERBASIS KONSTRUKTIVISTIK

Model pembelajaran yang diterapkan dalam buku ini, dilandasi teori pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik yang memberi perhatian pada aspek-aspek kognisi dan mengangkat berbagai masalah real world yang sangat mempengaruhi aktivitas dan perkembangan mental siswa selama proses pembelajaran dengan prinsip bahwa, (1) setiap anak lahir di bumi, mereka telah memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi nilai budayanya, (3) matematika adalah hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia.

Pembelajaran matematika yang diharapkan dalam praktek pembelajaran di kelas adalah (1) pembelajaran berpusat pada aktivitas siswa, (2) siswa diberi kebebasan berpikir memahami masalah, membangun strategi penyelesaian masalah, mengajukan ide-ide secara bebas dan terbuka, (3) guru melatih dan membimbing siswa berpikir kritis dan kreatif dalam menyelesaikan masalah, (4) upaya guru mengorganisasikan bekerjasama dalam kelompok belajar, melatih siswa berkomunikasi menggunakan grafik, diagram, skema, dan variabel, (5) seluruh hasil kerja selalu dipresentasikan di depan kelas untuk menemukan berbagai konsep, hasil penyelesaian masalah, aturan matematika yang ditemukan melalui proses pembelajaran.

Rancangan model pembelajaran yang diterapkan mengikuti 5 (lima) komponen utama model pembelajaran yang dijabarkan sebagai berikut.

1. Sintaks

Pengelolaan pembelajaran terdiri 5 tahapan pembelajaran, yaitu:

a. Apersepsi

Tahap apersepsi diawali dengan menginformasikan kepada siswa kompetensi dasar dan indikator yang akan dicapai siswa melalui pembelajaran materi yang akan diajarkan. Kemudian guru menumbuhkan persepsi positif dan motivasi belajar pada diri siswa melalui pemaparan manfaat materi matematika yang dipelajari dalam penyelesaian masalah kehidupan serta meyakinkan siswa, jika siswa terlibat aktif dalam merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan kehidupan siswa dengan

Buku Guru Kelas VII SMP/MTs Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

b. Interaksi Sosial di antara Siswa, Guru, dan Masalah

Pada tahap orientasi masalah dan penyelesaian masalah, guru meminta siswa mencoba memahami masalah dan mendiskusikan hasil pemikiran melalui belajar kelompok. Pembentukan kelompok belajar menerapkan prinsip kooperatif, yakni keheterogenan anggota kelompok dari segi karakteristik (kemampuan dan jenis kelamin) siswa, berbeda budaya, berbeda agama dengan tujuan agar siswa terlatih bekerjasama, berkomunikasi, menumbuhkan rasa toleransi dalam perbedaan, saling memberi ide dalam penyelesaian masalah, saling membantu dan berbagi informasi. Guru memfasilitasi siswa dengan buku siswa, Lembar Aktivitas Siswa (LAS) dan Asesmen Otentik. Selanjutnya guru mengajukan permasalahan matematika yang bersumber dari lingkungan kehidupan siswa. Guru menanamkan nilai-nilai matematis (jujur, konsisten, tangguh menghadapi masalah) dan nilai-nilai budaya agar para siswa saling berinteraksi secara sosio kultural, memotivasi dan mengarahkan jalannya diskusi agar lebih efektif, serta mendorong siswa bekerjasama.

Selanjutnya, guru memusatkan pembelajaran pada siswa dalam kelompok belajar untuk menyelesaikan masalah. Guru meminta siswa memahami masalah secara individu dan mendiskusikan hasil pemikirannya dalam kelompok, dan dilanjutkan berdialog secara interaktif (berdebat, bertanya, mengajukan ide-ide, berdiskusi) dengan kelompok lain dengan arahan guru. Antar anggota kelompok saling bertanya-jawab, berdebat, merenungkan hasil pemikiran teman, mencari ide dan jalan keluar penyelesaian masalah. Setiap kelompok memadu hasil pemikiran dan menuangkannya dalam sebuah LAS yang dirancang guru. Jika semua anggota kelompok mengalami kesulitan memahami dan menyelesaikan masalah, maka salah seorang dari anggota kelompok bertanya pada guru sebagai panutan. Selanjutnya guru memberi scaffolding, yaitu berupa pemberian petunjuk, memberi kemudahan pengerjaan siswa, contoh analogi, struktur, bantuan jalan keluar sampai saatnya siswa dapat mengambil alih tugas-tugas penyelesaian masalah.

Matematika

xi xi

Pada tahapan ini, guru meminta salah satu kelompok mempresentasikan hasil kerjanya di depan kelas dan memberi kesempatan pada kelompok lain memberi tanggapan berupa kritikan disertai alasan-alasan, masukan bandingan pemikiran. Sesekali guru mengajukan pertanyaan menguji pemahaman/penguasaan penyaji dan dapat ditanggapi oleh kelompok lain. Kriteria untuk memilih hasil diskusi kelompok yang akan dipresentasikan antara lain: jawaban kelompok berbeda dengan jawaban dari kelompok lain, ada ide penting dalam hasil diskusi kelompok yang perlu mendapat perhatian khusus. Dengan demikian kelompok penyaji bisa lebih dari satu. Selama presentasi hasil kerja, guru mendorong terjadinya diskusi kelas dan mendorong siswa mengajukan ide-ide secara terbuka dengan menanamkan nilai soft skill.

Tujuan tahapan ini adalah untuk mengetahui keefektifan hasil diskusi dan hasil kerja kelompok pada tahapan sebelumnya. Dalam penyajiannya, kelompok penyaji akan diuji oleh kelompok lain dan guru tentang penguasaan dan pemahaman mereka atas penyelesaian masalah yang dilakukan. Dengan cara tersebut dimungkinkan tiap-tiap kelompok mendapatkan pemikiran-pemikiran baru dari kelompok lain atau alternatif jawaban yang lain yang berbeda. Sehingga pertimbangan-pertimbangan secara objektif akan muncul di antara siswa. Tujuan lain tahapan ini adalah melatih siswa terampil menyajikan hasil kerjanya melalui penyampaian ide-ide di depan umum (teman satu kelas). Keterampilan mengomunikasikan ide-ide tersebut adalah salah satu kompetensi yang dituntut dalam pembelajaran berdasarkan masalah, untuk memampukan siswa berinteraksi/berkolaborasi dengan orang lain.

d. Temuan Objek Matematika dan Penguatan Skemata Baru

Objek-objek matematika berupa model (contoh konsep) yang diperoleh dari proses dan hasil penyelesaian masalah dijadikan bahan inspirasi dan abstraksi konsep melalui penemuan ciri-ciri konsep oleh siswa dan mengkonstruksi konsep secara ilmiah. Setelah konsep ditemukan, guru melakukan teorema pengontrasan melalui pengajuan contoh dan bukan contoh. Dengan mengajukan sebuah objek, guru meminta siswa memberi alasan, apakah objek itu termasuk contoh atau bukan contoh konsep.

Guru memberi kesempatan bertanya atas hal-hal yang kurang dipahami. Sesekali guru menguji pemahaman siswa atas konsep dan prinsip yang ditemukan, serta melengkapi hasil pemikiran siswa dengan memberikan contoh dan bukan contoh konsep. Berdasar konsep yang ditemukan/direkonstruksi, diturunkan beberapa sifat

xii

Buku Guru Kelas VII SMP/MTs Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

e. Menganalisis dan Mengevaluasi Proses dan Hasil Penyelesaian Masalah

Pada tahapan ini, guru membantu siswa atau kelompok mengkaji ulang hasil penyelesaian masalah, menguji pemahaman siswa dalam proses penemuan konsep dan prinsip. Selanjutnya, guru melakukan evaluasi materi akademik dengan pemberian kuis atau meminta siswa membuat peta konsep atau memberi tugas di rumah atau membuat peta materi yang dipelajari.

2. Sistem Sosial

Pengorganisasian siswa selama proses pembelajaran menerapkan pola pembelajaran kooperatif. Dalam interaksi sosio kultural di antara siswa dan temannya, guru selalu menanamkan nilai-nilai soft skill dan nilai matematis. Siswa dalam kelompok saling bekerjasama dalam menyelesaikan masalah, saling bertanya/ berdiskusi antara siswa yang lemah dan yang pintar, kebebasan mengajukan pendapat, berdialog dan berdebat, guru tidak boleh terlalu mendominasi siswa, bersifat membantu dan gotong royong) untuk menghasilkan penyelesaian masalah yang disepakati bersama. Dalam interaksi sosio kultural, para siswa diizinkan berbahasa daerah dalam menyampaikan pertanyaan, kritikan, pendapat terhadap temannya maupun pada guru.

3. Prinsip Reaksi

Model pembelajaran yang diterapkan dalam buku ini dilandasi teori konstruktivis dan nilai budaya dimana siswa belajar yang memberi penekanan pembelajaran berpusat pada siswa, sehingga fungsi guru sebagai fasilitator, motivator dan mediator dalam pembelajaran. Tingkah laku guru dalam menanggapi hasil pemikiran siswa berupa pertanyaan atau kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan masalah harus bersifat mengarahkan, membimbing, memotivasi dan membangkitkan semangat belajar siswa.

Untuk mewujudkan tingkah laku tersebut, guru harus memberikan kesempatan pada siswa untuk mengungkapkan hasil pemikirannya secara bebas dan terbuka,

Matematika

xiii xiii

4. Sistem Pendukung

Agar model pembelajaran ini dapat terlaksana secara praktis dan efektif, guru diwajibkan membuat suatu rancangan pembelajaran yang dilandasi teori pembelajaran konstruktivis dan nilai soft skill matematis yang diwujudkan dalam setiap langkah- langkah pembelajaran yang ditetapkan dan menyediakan fasilitas belajar yang cukup. Dalam hal ini dikembangkan buku model yang berisikan teori-teori pendukung dalam melaksanakan pembelajaran, komponen-komponen model, petunjuk pelaksanaan dan seluruh perangkat pembelajaran yang digunakan seperti rencana pembelajaran, buku guru, buku siswa, lembar kerja siswa, objek-objek abstraksi dari lingkungan budaya, dan media pembelajaran yang diperlukan.

5. Dampak Instruksional dan Pengiring yang Diharapkan

Dampak langsung penerapan pembelajaran ini adalah memampukan siswa merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah dan terbiasa menyelesaikan masalah nyata dilingkungan siswa. Pemahaman siswa terhadap obek-objek matematika dibangun berdasarkan pengalaman budaya dan pengalaman belajar yang telah dimiliki sebelumnya. Kebermaknaan pembelajaran yang melahirkan pemahaman, dan pemahaman mendasari kemampuan siswa mentransfer pengetahuannya dalam menyelesaikan masalah. Kemampuan menyelesaikan masalah tidak rutin menyadarkan siswa akan kebergunaan matematika. Kebergunaan akan menimbulkan motivasi belajar secara internal dari dalam diri siswa dan rasa memiliki terhadap matematika akan muncul sebab matematika yang dipamami adalah hasil rekonstruksi pemikirannya sendiri. Motivasi belajar secara internal akan menimbulkan kecintaan terhadap dewi matematika. Bercinta dengan dewi matematika berarti penyatuan diri dengan keabstrakan yang tidak memiliki

xiv

Buku Guru Kelas VII SMP/MTs Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

memberikan pendapat atas apa saja yang dipelajari menggunakan pengalaman belajar yang dimiliki sebelumnya. Penerimaan individu atas perbedaan-perbedaan yang terjadi (perbedaan pola pikir, pemahaman, daya lihat dan kemampuan), serta berkembangnya kemampuan berkolaborasi antara siswa. Retensi pengetahuan matematika yang dimiliki siswa dapat bertahan lebih lama sebab siswa terlibat aktif di dalam proses penemuannya.

Dampak pengiring yang akan terjadi dengan penerapan model pembelajaran berbasis konstruktivistik adalah siswa mampu menemukan kembali berbagai konsep dan aturan matematika dan menyadari betapa tingginya manfaat matematika bagi kehidupan sehingga dia tidak merasa terasing dari lingkungannya. Matematika sebagai ilmu pengetahuan tidak lagi dipandang sebagai hasil pemikiran dunia luar tetapi berada pada lingkungan budaya siswa yang bermanfaat dalam menyelesaikan permasalahan di lingkungan budayanya. Dengan demikian terbentuk dengan sendirinya rasa memiliki, sikap, dan persepsi positif siswa terhadap matematika dan budayanya. Siswa memkamung bahwa matematika terkait dan inklusif di dalam budaya. Jika matematika bagian dari budaya siswa, maka suatu saat diharapkan siswa memiliki cara tersendiri memeliharanya dan menjadikannya Landasan Makna (landasan makna dalam hal ini berpihak pada sikap, kepercayaan diri, cara berpikir, cara bertingkah laku, cara mengingat apa yang dipahami oleh siswa sebagai pelaku- pelaku budaya). Dampak pengiring yang lebih jauh adalah hakikat tentatif keilmuan, keterampilan proses keilmuan, otonomi dan kebebasan siswa, toleransi terhadap ketidakpastian dan masalah-masalah non rutin.

PEDOMAN PENYUSUNAN RENCANA PEMBELAJARAN

Penyusunan rencana pembelajaran berpedoman pada kurikulum matematika 2013 dan sintaksis Model Pembelajaran. Berdasarkan analisis kurikulum matematika ditetapkan hal-hal berikut

1. Kompetensi dasar dan indikator pencapaian kompetensi dasar untuk tiap-tiap pokok bahasan. Rumusan indikator dan kompetensi dasar harus disesuaikan dengan prinsip-prinsip pembelajaran matematika berdasarkan masalah, memberikan pengalaman belajar bagi siswa, seperti menyelesaikan masalah autentik (masalah bersumber dari fakta dan lingkungan budaya), berkolaborasi, berbagi pengetahuan, saling membantu, berdiskusi dalam menyelesaikan masalah.

Matematika

xv

2. Materi pokok yang akan diajarkan, termasuk analisis topik, dan peta konsep (contoh disajikan di bawah).

3. Materi prasyarat, yaitu materi yang harus dikuasai oleh siswa sebagai dasar untuk mempelajari materi pokok. Dalam hal ini perlu dilakukan tes kemampuan awal siswa.

4. Kelengkapan, yaitu fasilitas pembelajaran yang harus dipersiapkan oleh guru,

misalnya: rencana pembelajaran, buku petunjuk guru, buku siswa, lembar aktivitas siswa (LAS), objek-objek budaya, kumpulan masalah-masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa, laboratorium, dan alat peraga jika dibutuhkan.

5. Alokasi waktu: banyak jam pertemuan untuk setiap pokok bahasan tidak harus

sama tergantung kepadatan dan kesulitan materi untuk tiap-tiap pokok bahasan. Penentuan rata-rata banyak jam pelajaran untuk satu pokok bahasan adalah hasil bagi jumlah jam efektif untuk satu semester dibagi banyak pokok bahasan yang akan diajarkan untuk semester tersebut.

6. Hasil belajar yang akan dicapai melalui kegiatan pembelajaran antara alain:

Produk : Konsep dan prinsip-prinsip yang terkait dengan materi pokok Proses

: Apersepsi budaya, interaksi sosial dalam penyelesaian masalah, memodelkan masalah secara matematika, merencanakan penyelesaian masalah, menyajikan hasil kerja dan menganalisis serta mengevaluasi kembali hasil penyelesaian masalah.

Kognitif : Kemampuan matematisasi, kemampuan abstraksi, pola pikir deduktif, berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, dan berpikir kreatif).

Psikomotor : Keterampilan menyelesaikan masalah, ketrampilan berkolaborasi, kemampuan berkomunikasi.

Afektif : Menghargai budaya, penerimaan individu atas perbedaan yang ada, bekerjasama, tangguh menghadapi masalah, jujur mengungkapkan pendapat dan senang belajar matematika.

Sintaksis pembelajaran adalah langkah-langkah pembelajaran yang dirancang dan dihasilkan dari kajian teori yang melandasi model pembelajaran berbasis

xvi

Buku Guru Kelas VII SMP/MTs Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

1. Kegiatan guru pada tahap apersepsi budaya antara lain:

a. Menginformasikan indikator pencapaian kompetensi dasar.

b. Menciptakan persepsi positif dalam diri siswa terhadap budayanya dan matematika sebagai hasil konstruksi sosial.

c. Menjelaskan pola interaksi sosial, menjelaskan peranan siswa dalam menyelesaikan masalah.

d. Memberikan motivasi belajar pada siswa melalui penanaman nilai matematis, soft skill dan kebergunaan matematika.

e. Memberi kesempatan pada siswa menanyakan hala-hal yang sulit dimengerti pada materi sebelumnya.

2. Kegiatan guru pada tahap penyelesaian masalah dengan pola interaksi edukatif

antara lain:

a. Membentukan kelompok

b. Mengajukan masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa

c. Meminta siswa memahami masalah secara individual dan kelompok

d. Mendorong siswa bekerjasama menyelesaikan tugas-tugas

e. Membantu siswa merumuskan hipotesis (dugaan).

f. Membimbing, mendorong/mengarahkan siswa menyelesaikan masalah dan mengerjakan LKS

Matematika

xvii xvii

h. Mengkondisikan antar anggota kelompok berdiskusi, berdebat dengan pola kooperatif

i. Mendorong siswa mengekspresikan ide-ide secara terbuka j. Membantu dan memberi kemudahan pengerjaan siswa dalam menyelesaikan

masalah dalam pemberian solusi

3. Kegiatan guru pada tahap persentasi dan mengembangkan hasil kerja antara lain:

a. Memberi kesempatan pada kelompok mempresentasikan hasil penyelesaian masalah di depan kelas

b. Membimbing siswa menyajikan hasil kerja

c. Memberi kesempatan kelompok lain mengkritisi/menanggapi hasil kerja kelompok penyaji dan memberi masukan sebagai alternatif pemikiran. Membantu siswa menemukan konsep berdasarkan masalah

d. Mengontrol jalannya diskusi agar pembelajaran berjalan dengan efektif

e. Mendorong keterbukaan, proses-proses demokrasi

f. Menguji pemahaman siswa

4. Kegiatan guru pada tahap temuan objek matematika dan penguatan skemata baru antara lain:

a. Mengarahkan siswa membangun konsep dan prinsip secara ilmiah

b. Menguji pemahaman siswa atas konsep yang ditemukan melalui pengajuan contoh dan bukan contoh konsep

c. Membantu siswa mendefinisikan dan mengorganisasikan tugas-tugas belajar yang berkaitan dengan masalah

d. Memberi kesempatan melakukan konektivitas konsep dan prinsip dalam mengerjakan soal tantangan

xviii

Buku Guru Kelas VII SMP/MTs Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

5. Kegiatan guru pada tahap menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian masalah antara lain:

a. Membantu siswa mengkaji ulang hasil penyelesaian masalah

b. Memotivasi siswa untuk terlibat dalam penyelesaian masalah yang selektif

c. Mengevaluasi materi akademik: memberi kuis atau membuat peta konsep atau peta materi.

Matematika

xix

FASE KONSTRUKSI MATEMATIKA

Jawab Penafsiran

Jawab mat

MATEMATIKA SEBAGAI ALAT

manipulasi

(bagian B, aplikasi)

A matematika

formal

idealisasi

MATEMATIKA SEBAGAI KEGIATAN MANUSIA

A (bagian A, konstruksi) S

1+n

vertikal

A INFORMAL

Gambar: Matematika Hasil Konstruksi Sosial (Adaptasi, Soedjadi (2004)

xx

Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

URU

xi

Matematika

xxi xxi

Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

BAB

Himpunan

A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR

Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar

Melalui proses pembelajaran himpunan, Melalui proses pembelajaran himpunan, siswa mampu:

siswa memiliki pengalaman belajar: 1. Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik,

• terlatih berpikir kritis dan berpikir konsisten dan teliti, bertanggung jawab,

kreatif;

resposnsif, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah.

• menemukan ilmu pengetahuan dari 2. Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan

pemecahan masalah nyata; ketertarikan diri pada matematika serta

• mengajak untuk melakukan penelitian memiliki rasa percaya pada daya serta

dasar dalam membangun konsep; kegunaan matematika, yang terbentuk

melalui pengalaman belajar. • dilatih bekerjasama dalam tim untuk

menemukan solusi permasalahan. 3. Menunjukkan perilaku ingin tahu dalam

melakukan aktivitas di rumah, sekolah, dan • dilatih mengajukan ide-ide secara bebas masyarakat sebagai wujud implementasi

dan terbuka; penyelidikan himpunan.

• merasakan manfaat matematika dalam 4. Memahami pengertian himpunan, himpunan

kehidupan sehari-hari. bagian, komplemen himpunan, operasi

himpunan dan menunjukkan contoh dan bukan contoh.

√ Himpunan (Set)

Istilah

√ Elemen

Penting:

√ Himpunan Bagian (Subset) √ Irisan (Intersection) √ Komplemen √ Gabungan (Union)

Matematika

B. PETA KONSEP

MASALAH

HIMPUNAN

OTENTIK DISAJIKAN DENGAN :

1. Mencacah 2. Menyatakan sifat yang

dimiliki 3. Notasi pembentukan 4. Diagram Venn

Himpunan Semesta

Himpunan Kosong

Anggota Himpunan

Kardinalitas Himpunan

Relasi Himpunan Operasi Himpunan

Subset Irisan

Gabungan Himpunan Kuasa

Superset Komplemen

Komplemen Himpunan Sama

Himpunan Ekuivalen SIFAT OPERASI

SIFAT RELASI HIMPUNAN

2 Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

C. MATERI PEMBELAJARAN

1. MENEMUKAN KONSEP HIMPUNAN

Membangun persepsi positif dengan menunjukkan proses penemuan konsep dan aturan himpunan menggunakan objek-objek nyata

pengamatan. Guru menunjukkan berbagai manfaat materi himpunan dalam memecahkan masalah nyata. Siswa diajak berpikir dan mengajukan ide-

ide secara bebas dan terbuka baik secara individu maupun kelompok dalam menanggapi pemecahan masalah dan bekerjasama memecahkannya.

Materi pembelajaran yang akan kita bahas saat ini adalah materi himpunan. Kamu pasti sering menghadapi masalah kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan himpunan, misalnya ketika guru menyuruh kamu mencatat nama-nama teman satu kelas yang absen pada hari tertentu, ketika orang tua menyuruh kamu mencatat nama- nama barang kebutuhan sehari-hari yang akan dibeli agar pada waktu belanja tidak

terlupakan, dan masih banyak lagi. Amatilah pengelompokan negara-negara yang menjadi peserta Piala Dunia

pertandingan sepak bola tahun 2010 di Afrika Selatan yang disajikan dalam Gambar

1.1 berikut.

2010 FIFA WORLD CUP SOUTH AFRICA

Grup A

Grup B

Grup C

Grup D Team Team Team Team

South Africa

Germany Mexico

Argentina

England

Australia Uruguay

Nigeria

USA

Serbia France

Korea Republic

Grup E

Grup F

Grup G

Grup H Team Team Team Team

Switzerland Japan

Paraguay

Korea DPR

Honduras Cameroon

New Zealand

Cote d’Ivoire

Gambar 1.1 Negara-negara Peserta Piala Dunia Pertandingan Sepak Bola Tahun 2010 di Afrika Selatan

Matematika

Misalkan nama negara-negara peserta piala dunia FIFA tersebut diwakili dengan huruf pertama dan keduanya, contoh: South Africa diwakili dengan huruf ‘So’, Brazil diwakili dengan huruf ‘Br’, dan seterusnya. Gambar 1.1 di atas dapat kita ubah dalam bentuk diagram berikut.

Grup A

Grup B

Grup C

Grup C

Grup E

Grup F

Grup G

Grup H

Gambar 1.2 Diagram Negara Peserta Piala Dunia Sepak Bola Tahun 2010

Berdasarkan gambar 1.2 di atas, kita temukan hal-hal berikut.

a. Negara yang tergabung di grup A adalah: {South Africa, Mexico, Uruguay, France}

b. Negara yang tergabung di grup E adalah: {Netherlands, Denmark, Japan, Cameroon}

c. Seluruh peserta tergabung di dalam 8 grup yaitu: {grup A, grup B, grup C, grup

D, grup E, grup F, grup G, grup H}

d. Australia berada di grup D.

e. Brazil dan Portugal sama-sama berada di grup G.

f. Setiap grup anggotanya adalah 4 negara.

g. Negara yang bertanding seluruhnya ada 32 negara. Seluruh negara peserta FIFA World Cup 2010 merupakan anggota himpunan semesta dari himpunan yang

menjadi objek pembicaraan.

4 Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

Masalah -1.1

PEDAGANG SEPATU

Toko ‘Laris Patu’ adalah sebuah toko yang khusus menjual sepatu sekolah

berbagai merek. Roby sang pemilik toko itu berencana ingin meningkatkan penjualan dalam bulan ini. Agar rencananya berhasil, dia ingin tahu merek sepatu apa saja yang banyak dipakai siswa. Untuk itu, dia memerlukan data tentang merek sepatu yang banyak dipakai siswa. Sumber:http://www.google.co.id

Bantulah Roby untuk menemukan data

Gambar 1.3. Sepatu Sekolah

yang diperlukan khusus di kelas kamu, dengan melakukan hal-hal berikut.

a) Sebutkanlah nama seluruh siswa laki-laki di kelasmu!

b) Sebutkanlah merek sepatu yang dipakai oleh seluruh siswa laki-laki di kelasmu!

c) Kelompokkanlah seluruh siswa laki-laki tersebut berdasarkan merek sepatu yang dipakai!

d) Berapa jenis merek sepatu yang dipakai oleh seluruh siswa laki-laki di kelasmu?

e) Merek sepatu apa yang paling banyak dipakai oleh siswa laki-laki di kelasmu? Sebutkan!

Alternatif Penyelesaian

Data berikut adalah data Yanti seorang siswa perempuan kelas VII SMP Negeri 2 Palipi. Siswa laki-laki di kelasnya ada 13 orang. Merek sepatu yang dipakai ketiga belas siswa itu adalah: Anto memakai sepatu merek Spotec, Rudi memakai sepatu merek Bata, Parto memakai sepatu merek Adidas, Burju memakai sepatu merek Spotec, Sartono memakai sepatu merek Bata, Bintang memakai sepatu merek

Matematika

Eagle, Rendi memakai sepatu merek Bata, Niko memakai sepatu merek Loggo, Felik memakai sepatu merek Adidas, Rolando memakai sepatu merek Adidas, Sunanto memakai sepatu merek Loggo, Dodi memakai sepatu merek Loggo, dan Putu memakai sepatu merek Adidas. Alternatif penyelesaian Masalah 1.1 di atas

ditunjukkan sebagai berikut.

a. Kelompok seluruh siswa laki-laki di kelas Yanti adalah {Anto, Rudi, Parto, Burju, Sartono, Bintang, Rendi, Niko, Felik, Rolando, Sunanto, Dodi, Putu}.

b. Merek sepatu yang digunakan oleh seluruh siswa laki-laki di kelas Yanti adalah {Spotec, Bata, Adidas, Eagle, Loggo}.

c. Kelompok siswa laki-laki berdasarkan merek sepatu yang digunakan yaitu:

● Kelompok siswa yang menggunakan sepatu merek Spotec adalah {Anto, Burju};

● Kelompok siswa yang menggunakan sepatu merek Bata adalah {Rudi, Sartono, Rendi};

● Kelompok siswa yang menggunakan sepatu merek Adidas adalah {Parto, Felik, Rolando, Putu};

● Kelompok siswa yang menggunakan sepatu merek Eagle adalah {Bintang};

d. Kelompok siswa yang menggunakan sepatu merek Loggo adalah {Niko, Sunanto, Dodi}.Banyak merek sepatu yang dipakai seluruh siswa laki-laki satu kelas Yanti adalah 5.

e. Merek sepatu yang dipakai paling sedikit adalah Eagle dan paling banyak adalah Adidas.

Tanpa mengubah makna, kalimat-kalimat pada alternatif penyelesaian Masalah 1.1 di atas dapat kita ubah menjadi sebagai berikut.

Himpunan seluruh siswa laki-laki di kelas Yanti adalah {Anto, Rudi, Parto, Burju, Sartono, Bintang, Rendi, Niko, Rolando, Sunanto, Dodi, Putu}.

Himpunan merek sepatu yang digunakan oleh seluruh siswa laki-laki di kelas Yanti adalah {Spotec, Bata, Adidas, Eagle, Loggo}.

Himpunan siswa berdasarkan merek sepatu yang digunakan yaitu:

6 Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

● Himpunan seluruh siswa laki-laki di kelas Yanti yang menggunakan sepatu merek Spotec adalah {Anto, Burju};

● Himpunan seluruh siswa laki-laki di kelas Yanti yang menggunakan sepatu merek Bata adalah {Rudi, Sartono, Rendi};

● Himpunan seluruh siswa laki-laki di kelas Yanti yang menggunakan sepatu merek Adidas adalah {Parto, Felik, Rolando, Putu};

● Himpunan seluruh siswa laki-laki di kelas Yanti yang menggunakan sepatu merek Eagle adalah {Bintang};

● Himpunan seluruh siswa laki-laki di kelas Yanti yang menggunakan sepatu merek Loggo adalah {Niko, Sunanto, Dodi}.

d. Banyak merek sepatu yang dipakai seluruh siswa laki-laki di kelas Yanti adalah 5.

e. Merek sepatu yang paling sedikit dipakai adalah merek Eagle dan yang paling banyak dipakai adalah sepatu merek Adidas.

Seluruh merek sepatu yang digunakan oleh seluruh siswa laki-laki di kelas Yanti merupakan anggota himpunan semesta dari himpunan yang menjadi objek pembicaraan.

Masalah -1.2

Pak Darwis, Pak Marto, dan Pak Sumantri adalah penduduk sebuah desa yang pekerjaannya beternak. Ternak yang dipelihara Pak Darwis adalah ayam, bebek, dan kambing. Ternak yang dipelihara Pak Marto adalah kerbau, kambing, dan sapi. Pak Sumantri memelihara ayam dan kambing.

a. Kelompok-kelompok apa saja yang bisa kamu sebutkan dari keterangan di atas?

b. Berapa banyak anggota-anggota kelompok yang kamu temukan? Sebutkanlah!

Alternatif Penyelesaian

a) Berdasarkan keterangan di atas kita dapat menemukan beberapa kelompok seperti berikut.

(1) Kelompok penduduk desa yang memelihara ternak. (2) Kelompok hewan ternak peliharaan Pak Darwis.

Matematika

(3) Kelompok hewan ternak peliharaan Pak Marto. (4) Kelompok hewan ternak peliharaan Pak Sumantri. (5) Kelompok hewan ternak berkaki dua. (6) Kelompok hewan ternak berkaki empat Tanpa mengubah arti, kelompok-kelompok yang kita temukan ini dapat juga disebut dengan himpunan seperti berikut ini: (1) Himpunan penduduk desa yang memelihara ternak. (2) Himpunan hewan ternak peliharaan Pak Darwis. (3) Himpunan hewan ternak peliharaan Pak Marto. (4) Himpunan hewan ternak peliharaan Pak Sumantri. (5) Himpunan hewan ternak berkaki dua. (6) Himpunan hewan ternak berkaki empat.

b) Karena kata kelompok dapat kita ganti dengan kata himpunan, anggota-anggota kelompok yang kita temukan di atas dapat kita sebut seperti berikut.

(1) Banyak anggota himpunan penduduk desa yang memelihara ternak adalah 3, yaitu banyak anggota {Pak Darwis, Pak Marto, Pak Sumantri}.

(2) Banyak anggota himpunan hewan ternak peliharaan Pak Darwis adalah 3, yaitu banyak anggota {ayam, bebek, kambing}.

(3) Banyak anggota himpunan hewan ternak peliharaan Pak Marto adalah 3, yaitu banyak anggota dari {kerbau, kambing, sapi}.

(4) Banyak anggota himpunan hewan ternak peliharaan Pak Sumantri adalah 2, yaitu banyak anggota dari {ayam, kambing}.

(5) Banyak anggota himpunan hewan ternak berkaki dua adalah 2, yaitu banyak anggota dari{ayam, bebek}.

(6) Banyak anggota himpunan hewan ternak berkaki empat adalah 3, yaitu banyak anggota dari {kambing, sapi, kerbau}.

Perhatikan kembali alternatif penyelesaian Masalah 1.1 dan Masalah 1.2 di atas. Kita menemukan hal-hal berikut.

8 Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

Dari alternatif penyelesaian Masalah 1.1: (1) Banyak anggota himpunan seluruh siswa laki-laki di kelas Yanti adalah 13.

Ketiga belas orang ini terkumpul dalam satu himpunan karena ada batasan atau karakteristik/sifat yang sama; yaitu, siswa laki-laki sekelas dengan Yanti.

(2) Banyak anggota himpunan merek sepatu yang digunakan oleh siswa laki-laki kelas Yanti hanya ada 5. Bukan berarti bahwa hanya ada 5 merek sepatu. Hal ini terjadi karena ada karakteristik/sifat yang membatasi sehingga banyak anggotanya hanya 5. Dalam hal ini karakteristik dimaksud adalah merek sepatu yang dipakai oleh seluruh siswa laki-laki sekelas denganYanti.

Dari alternatif penyelesaian Masalah 1.2: (1) Banyak anggota himpunan hewan ternak berkaki dua adalah 2. Hal ini

tidak berarti bahwa hewan ternak berkaki 2 hanya 2 jenis, tetapi karena ada karakteristik/sifat yang membatasi; yaitu, ternak peliharaan Pak Darwis, Pak Marto dan Pak Sumantri.

(2) Banyak anggota himpunan hewan ternak peliharaan Pak Sumantri adalah 2. Hal ini karena ada karakteristik/sifat yang membatasi yaitu ternak peliharaan Pak Sumantri.

Berdasarkan alternatif penyelesaian masalah-masalah di atas kita simpulkan definisi himpunan sebagai berikut.

Definisi 1.1

Himpunan adalah sekumpulan objek atau benda yang memiliki karakter - istik yang sama atau terdefinisi dengan jelas.

Maksud ’ terdefinisi dengan jelas’ adalah bahwa objek atau benda yang sekumpulan itu memiliki kesamaan ciri, sifat, ataupun karakteristik sehingga menjadi batasan-batasan bagi objek atau benda lain tidak ikut sebagai anggota himpunan/ kelompok tersebut.

Matematika

Contoh 1.1

Pada alternatif penyelesaian Masalah 1.1 butir (a) di atas, sepatu merek Nike bukan anggota himpunan merek sepatu yang dipakai teman sekelas Yanti karena tidak ada siswa teman sekelas Yanti yang memakai sepatu tersebut. Pada butir (b), Niko bukan anggota himpunan siswa yang menggunakan sepatu merek Adidas karena memang Niko menggunakan sepatu merek Loggo.

Agar nama sebuah himpunan tidak terlalu panjang kita dapat menuliskannya dengan huruf kapital, sementara anggota himpunan dapat dinyatakan/dituliskan dengan huruf kecil. Seluruh aggota himpunan dituliskan di dalam kurung kurawal dan untuk membedakan anggota-anggota himpunannya diberi tanda koma (,). Seperti contoh berikut ini.

Pada alternatif penyelesaian Masalah 1.2 di atas, kita dapat menamai himpunan yang kita temukan seperti berikut ini.

A adalah himpunan penduduk desa yang memelihara ternak. Himpunan A kita tuliskan sebagai berikut.

A = {Pak Darwis, Pak Marto, Pak Sumantri} -

B adalah himpunan hewan ternak yang dipelihara Pak Darwis

B = {ayam, bebek, kambing} -

C adalah himpunan hewan ternak yang dipelihara Pak Marto

C = {kerbau, kambing, sapi} -

D adalah himpunan hewan ternak yang dipelihara Pak Sumantri

D = {ayam, kambing} -

E adalah himpunan hewan ternak berkaki dua

E = {ayam, bebek} -

F adalah himpunan hewan ternak berkaki empat

F = {kambing, sapi, kerbau}

10 Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

Contoh 1.2

Himpunan A adalah himpunan semua huruf vokal dalam abjad latin. Penulisan himpunan A tersebut dapat kita lakukan sebagai berikut.

A = himpunan semua huruf vokal B Berdasarkan himpunan A, kita peroleh:

Nama himpunannya adalah himpunan A.

.y

Anggota himpunan A adalah a, i, u, e, dan o.

.z

Banyak anggota himpunan A adalah 5

.u

Gambar 1.4 Himpunan A dan Himpunan B

♦ Guru memberikan latihan kepada siswa.

Latihan

Sebagai latihan siswa:

Himpunan P adalah himpunan semua bilangan prima yang kurang dari 10. Sebutkan nama himpunan tersebut, sebutkan anggota-anggota himpunan tersebut, dan berapa banyak anggota himpunan tersebut?

♦ Guru menyuruh siswa mengamati Gambar 1.4. untuk menemukan hal-hal berikut.

Matematika

● Himpunan A memuat unsur x maka dikatakan bahwa x adalah anggota himpunan

A atau sering disebut x adalah elemen himpunan A, dilambangkan dengan x ∈ A.

● Himpunan B memuat unsur 2 maka dikatakan 2 adalah anggota himpunan B atau sering disebut 2 adalah elemen himpunan B dilambangkan dengan 2 ∈ B.

♦ Guru memberikan pertanyaan berikut kepada siswa.

● Apakah ada unsur lain di himpunan A selain x? Dengan cara seperti di atas sebutkan anggota-anggota yang lain himpunan A.

● Apakah ada unsur lain di himpunan B selain 2? Dengan cara seperti di atas sebutkan anggota-anggota yang lain himpunan B.

● Kesimpulan apa yang bisa siswa tarik?

♦ Guru bersama dengan siswa Perhatikan kembali Gambar 1.4 di atas. Kita menemukan juga hal-hal berikut.

● Himpunan A tidak memuat unsur 2 maka disebut “2 bukan anggota himpunan A” atau “2 bukan elemen himpunan A” yang disimbolkan dengan 2 ∈ A.

● Himpunan B tidak memuat unsur y maka dikatakan “y bukan anggota himpunan B” atau “y bukan elemen himpunan B” yang disimbolkan dengan y ∈ B.

● Dari himpunan A dan B, temukanlah unsur-unsur yang tidak ada di himpunan A dan himpunan B !

● Apa yang bisa disimpulkan oleh siswa? minta siswa berdiskusi dengan temannya!

12 Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

2. PENYAJIAN HIMPUNAN

Pernahkan siswa disuruh orang tua menyajikan makanan untuk sekeluarga? Jika pernah, hal apa saja yang siswa perhatikan sewaktu menyajikan makanan tersebut? Perhatikan gambar berikut!

Sumber: http://norafidahbpsrt.files.wordpress.com Sumber: http://www.btravindonesia.com Sumber: http://www.4.bp.blogspot.com

Gambar 1.5 Berbagai Jenis Penyajian Makanan

Berdasarkan Gambar 1.5 di atas, terdapat berbagai jenis penyajian makanan. Demikian juga dalam penyajian himpunan, dapat kita lakukan dengan cara yang berbeda pula. Terdapat beberapa cara untuk menyajikan suatu himpunan dengan tidak mengubah makna himpunan tersebut; antara lain sebagai berikut:

a. Mendaftarkan anggotanya ( enumerasi) Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan semua anggotanya yang dituliskan dalam kurung kurawal.

Contoh 1.3

A = {3, 5, 7}.

B = {2, 3, 5, 7}.

C = {a, i, u, e, o}

b. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki anggotanya. Perhatikan himpunan pada contoh 1.3 dan bandingkan dengan contoh di bawah ini!

Matematika

Contoh 1.4

A = Himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8

B = Himpunan semua bilangan prima yang kurang dari 10

C = Himpunan semua huruf vokal dalam abjad Latin

c. Menuliskan notasi pembentuk himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan tersebut. Himpunan ini dinotasikan sebagai berikut.

A = { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh 1.5

A = {x | 1 < x < 8, x adalah bilangan ganjil}, (dibaca A adalah himpunan yang anggotanya x, dengan (syarat) x lebih dari 1 dan x kurang dari 8 dan x adalah bilangan ganjil)

B = {y | y < 10, y adalah bilangan prima}

C = {z | z adalah huruf vokal dalam abjad Latin}

3. MENEMUKAN KONSEP HIMPUNAN SEMESTA DAN DIAGRAM VENN

Salah satu karakteristik matematika adalah memperhatikan semesta pembicaraannya. Penyelesaian suatu masalah dalam matematika dimungkinkan akan berbeda jika semesta pembicaraanya berbeda. Demikian juga anggota himpunan

tertentu ditentukan oleh semestanya. Agar kamu memahami konsep himpunan semesta, pahami dan selesaikanlah

Masalah 1.3 berikut.

14 Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

Masalah -1.3

Joko, Anto, dan Tedy adalah 3 orang siswa yang memperoleh nilai ulangan harian terendah di kelas Pak Sutedo pada pelajaran Pendidikan

Pancasila

dan

Kewarganegaraan. Pak Sutedo memberikan tugas tambahan bagi mereka untuk mencari nama-nama menteri sewaktu Bapak BJ Habibie menjabat presiden Republik Indonesia.

Joko

ditugaskan

mencari nama yang dimulai dari huruf A, Anto ditugaskan mencari Gambar 1.6 Presiden Republik Indonesia

nama yang dimulai dari huruf S, dan Tedy ditugaskan mencari nama yang dimulai dari huruf P.

(1) Langkah-langkah apa yang harus dilakukan ketiga siswa itu untuk menyelesaikan tugas yang diberikan Pak Sutedo?

(2) Apa persamaan tugas ketiga siswa itu? (3) Apa perbedaan tugas ketiga siswa itu?

Alternatif Penyelesaian

Perhatikan kembali pekerjaan siswa, langkah pertama yang harus dilakukan Joko, Anto, dan Tedy adalah mencari nama-nama menteri pada waktu Bapak BJ Habibie menjabat presiden RI, selanjutnya memilih nama sesuai dengan ketentuan yang diberikan.

● Seluruh menteri pada waktu Bapak BJ Habibie menjabat presiden RI

merupakan himpunan semesta dari himpunan menteri-menteri yang namanya dimulai dari huruf A, huruf S, dan huruf P.

● Akan berbeda hasil pekerjaan Joko, Anto, dan Tedy, jika himpunan semestanya adalah menteri-menteri pada waktu Ibu Megawati Soekarno Putri menjabat presiden RI.

Matematika

Pertanyaan Kritis

Misalkan langkah pertama yang dilakukan Joko adalah mencari nama- nama seluruh menteri yang pernah menjabat mulai dari presiden Soekarno sampai Presiden Susilo Bambang Yudoyono, apakah langkahnya tepat? Mengapa?

Misalkan S = Himpunan nama-nama menteri pada saat presiden B.J Habibie

A = Himpunan nama-nama menteri yang namanya dimulai dari huruf A = Himpunan nama-nama menteri yang namanya dimulai dari huruf S B = Himpunan nama-nama menteri yang namanya dimulai dari huruf P C

Kita dapat menyajikan keempat himpunan tersebut dalam satu diagram, yang disebut diagram venn berikut ini.

Gambar 1.7 Diagram Venn Coba beri nama titik-titik sebagai anggota himpunan A, B, dan C, yaitu nama-

nama menteri pada saat presiden B. J. Habibie, yang namanya dimulai huruf A, S, dan P.

16 Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

♦ Minta siswa untuk mencoba memberikan nama titik-titik sebagai anggota himpunan A, B, dan C , yaitu nama-nama menteri pada saat

presiden B. J. Habibie, yang namanya dimulai huruf A, S, dan P.

Masalah -1.4

Guru menugaskan empat orang siswa untuk menyebut bilangan yang kurang dari 10. Ikhsan menyebut dari bilangan prima, Khayan dari bilangan

bulat positif, Noni dari bilangan ganjil positif, dan Mia dari bilangan genap positif. Bantulah keempat siswa itu mengerjakan tugasnya! Apa persamaan dan

perbedaan tugas keempat orang siswa itu?

Alternatif Penyelesaian

Misalkan himpunan semua bilangan prima yang kurang dari 10 adalah A. Misalkan himpunan semua bilangan bulat positif yang kurang dari 10 adalah B. Misalkan himpunan semua bilangan ganjil positif yang kurang dari 10 adalah C. Misalkan himpunan semua bilangan genap positif yang kurang dari 10 adalah D. Maka dapat dituliskan:

- A = {2,3,5,7} - B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} - C = {1,3,5,7,9} - D = {2,4,6,8}

● Hasil pekerjaan keempat siswa itu menjadi berbeda karena objek bilangan yang dicari berbeda. Bilangan-bilangan yang menjadi anggota himpunan yang akan dicari Ikhsan adalah bilangan prima, Khayan adalah bilangan bulat positif, Noni adalah bilangan ganjil positif, dan Mia adalah bilangan genap positif.

Matematika

● Seluruh anggota himpunan bilangan prima, bilangan bulat positif, bilangan ganjil positif, dan bilangan genap positif merupakan himpunan semesta untuk himpunan yang ditugaskan kepada keempat orang siswa itu.

● Bagaimana jika himpunan semestanya diubah? Tentu berbeda bukan? ● Sajikanlah himpunan

A, B, C, dan D dalam sebuah diagram venn dengan semesta pembicaraannya (S) adalah himpunan bilangan bulat.

Gambar 1.8. Diagram Venn Himpunan Masalah 1.4

Berdasarkan masalah-masalah yang telah kita selesaikan di atas, kita berikan definisi himpunan semesta sebagai berikut.

18 Buku Guru Kelas VII SMP/MTs

Definisi 1.2

Himpunan semesta adalah himpunan seluruh unsur yang menjadi objek pembicaraan, dan dilambangkan dengan S.

Agar siswa lebih memahami konsep ini, sebutkanlah anggota himpunan hewan mamalia yang hidup di darat, temukan pula hewan mamalia yang hidup di air! Kesimpulan apa yang bisa kamu temukan?

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram Venn. Aturan dalam pembuatan diagram Venn adalah sebagai berikut.

(a) Menggambar sebuah persegi panjang untuk menunjukkan semesta dengan mencantumkan huruf S di pojok kiri atas.

(b) Menggambar bangun tertutup. (c) Memberi noktah (titik) berdekatan dengan masing-masing anggota himpunan.

Contoh 1.6

Misalkan A adalah himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8 sedangkan himpunan semestanya adalah bilangan ganjil.

B adalah himpunan semua bilangan prima yang kurang dari 10 sedangkan himpunan semestanya adalah bilangan prima.

C adalah himpunan huruf vokal sedangkan himpunan semestanya adalah huruf abjad latin.

Matematika

Penyajian himpunan dengan diagram Venn untuk contoh ini adalah sebagai berikut:

Gambar 1.9. Diagram Venn Himpunan Contoh 1.6

4. KARDINALITAS HIMPUNAN Masalah -1.5

Untuk merayakan hari ulang tahun Pak Zulkarnaen yang ke-50, dia mengajak istri dan ketiga anaknya makan di sebuah restoran. Sesampainya di