Metode Elemen Hingga

2.7.1 Penyelesaian Masalah Nonlinier

Suatu proses iterasi dan penentuan inkremen adalah bagian yang sangat penting untuk menghasilkan solusi persamaan nonlinier. Keakuratan perhitungan sangat dipengaruhi oleh ukuran incremental beban terutama untuk masalah yang tergantung kepada riwayat pembebanan. Hal yang diperlukan dalam proses iterasi sangat dipengaruhi oleh riwayat pembebanan dan sebaliknya penambahan beban juga sangat dipengaruhi oleh proses iterasi dalam menentukan kekonvergenan analisis. Inkremen penambahan beban yang terlalu besar akan membutuhkan iterasi yang lebih banyak, pada beberpa kasus hal tersebut akan menimbulkan divergen. Di sisi lain Suatu proses iterasi dan penentuan inkremen adalah bagian yang sangat penting untuk menghasilkan solusi persamaan nonlinier. Keakuratan perhitungan sangat dipengaruhi oleh ukuran incremental beban terutama untuk masalah yang tergantung kepada riwayat pembebanan. Hal yang diperlukan dalam proses iterasi sangat dipengaruhi oleh riwayat pembebanan dan sebaliknya penambahan beban juga sangat dipengaruhi oleh proses iterasi dalam menentukan kekonvergenan analisis. Inkremen penambahan beban yang terlalu besar akan membutuhkan iterasi yang lebih banyak, pada beberpa kasus hal tersebut akan menimbulkan divergen. Di sisi lain

2.7.2 Metode Iterasi

Selain metode inkremen, juga metode iterasi sering digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah non-linier. Semakin berkembangnya perengkat penghitung yang mempunyai kemampuan lebih tinggi, sehingga dapat memberikan efisiensi dan hasil yang lebih akurat. Dalam prakteknya, analisis non-linier pada dasarnya menggunakan persamaam kesetimbangan system linier dengan cara membuat bagian-bagian kecil. Persamaam tersebut dapat diekspresikan sebagai berikut:

(2.18) dengan, ?@A = Matrik Kekakuan.

?@ABCD = BED

BCD = Perpindahan. BED = Beban Luar.

Persamaan di atas diselesaikan secara berulang sampai dicapai kekonvergensian. Dapat dijelaskan beberapa metode iterasi yang digunakan dalam studi analisis seperti berikut: Pada perangkat lunak MSC/NASTRAN, proses iterasi yang tersedia adalah:

1. Full Newton-Raphson.

2. Modified Newton-Raphson.

3. Newton-Raphson with Strain Correlation.

4. Secant Method.

Default proses iterasi yang dilakukan perangkat lunak MSC/NASTRAN adalah Metode Full Newton-Raphson. Serta metode untuk mempercepat konvergensi dan memperbaiki efektifitas iterasi yaitu dengan strategi perubahan matriks kekakuan secara adaptif. Dalam mengubah matriks kekakuan, perangkat lunak MSC/NASTRAN secara otomatis dapat mengevaluasi dan menentukan matriks kekakuan berdasarkan laju konvergensi. Pada setiap iterasi dapat ditentukan perlu tidaknya merubah matriks kekakuan berdasarkan estimasi waktu yang dibutuhkan.

Selain Metode Full Newton-Raphson, penyelesaian masalah non-linier yang lain adalah Metode Newton Modifikasi. Beberapa metode perhitungan untuk analisis non-linier telah dikembangkan untuk memperoleh solusi konvergen secara cepat. Pembahasan secara ringkas dua metode yaitu Metode Full Newton-Raphson dan Metode Newton Modifikasi, pada dasarnya kedua metode ini dianggap sebagai dua metode ekstrim dalam hal pengubahan matriks kekakuan untuk mendapatkan solusi.

2.7.3 Metode Full Newton-Raphson

Secara konsep metode ini menggunakan kekakuan yang selalu berubah setiap iterasi. Teknik solusinya akan diuraikan berikut ini. Tinjau satu titik kesetimbangan O yang disajikan dalam Gambar 2.11 dengan persamaan:

(2.19) dimana λ 0 adalah parameter penambahan beban, p adalah vector beban dan f vector gaya dalam yang merupakan fungsi perpindahan q 0 . Untuk kasus dimana persamaan

F G E − H(C G )=0

2.18 tidak seimbang, maka akan terdapat gaya sisa r(q i ) pada iterasi yang ke-I dan beban ke-n sebesar:

q 0 ment

Gambar 2.11 Metode Full Newton-Raphson

kemudian persamaan 2.19 diturunkan terhadap q maka diperoleh:

KL I(C 5 )=−

KM(L 0 )

KL = −@(C 5 )

Dimana K(qi) adalah kekakuan tangen pada perpindahan q i , jika solusi pendekatan q=q i , maka persamaan dapat dituliskan sebagai kerucut terpancung taylor.

dimana: &C 5 = ∆C 5N; − ∆C 5 (2.23)

Sehingga residu r(q i ) menjadi: Sehingga residu r(q i ) menjadi:

(2.25) bila variabel

&C P;

5 = @(C 5 ) (F J E − H(C 5 )

5 ) dalam penulisan diganti dengan 5P; @ Q maka persamaan 2.25 menjadi:

@(C P;

(2.26) Proses iterasi ini berulang sampai kekonvergensian pada satu titik yang diinginkan, pada Gambar 2.11 adalah titik C. Setiap langkah pada interval &C 5 diselesaikan dengan system persamaan linier dimana matrik kekakuannya selalu berubah.

&C 5P;

5 =@ Q (F J E − H(C 5 ))

2.7.4 Metode Modified Newton-Raphson

Dalam efisien waktu metode Newton Raphson dirasakan kurang efisien yang disebabkan pada setiap iterasi dimulai menyusun system kekakuan dan persamaan yang baru. Untuk mengurangi kelemahan ini maka dibuat modifikasi dengan memberikan kekakuan yang konstan pada setiap iterasi. Pada persamaan 2.25

kekakuan 5 @ G Q diberikan sama dengan @ Q untuk setiap iterasi sehingga persamaan menjadi:

(2.27) ini berarti kekakuan pada iterasi yang ke-I ( 5 @ Q ) adalah sama dengan kekakuan awal sebagai ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 2.12.

&C 5PG

5 =@ Q (F J E − H(C 5 ))