⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
+ −
= −
2 2
2
2 1
1 sin
mk El
mk ul
θ γ
, 2.50
dengan γ adalah tetapan integral konstanta.
Jika digunakan rumus pada Lampiran B B.4, maka persamaan 2.50 menjadi
⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
+ −
=
2 2
2
2 1
1 cos
mk El
mk ul
θ .
2.51
Dengan mengganti kembali
r u
1 =
, persamaan 2.51 menjadi
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
+ +
= θ
cos .
2 1
1 1
2 2
2
mk El
l mk
r ,
2.52
atau
θ cos
. 2
1 1
.
2 2
2
mk El
k m
l r
+ +
= .
2.53
Mengingat persamaan 2.39, eksentrisitas untuk persamaan 2.53 adalah
2 2
2 1
mk El
e +
= .
2.54 Jika lintasan orbit planet berbentuk lingkaran, maka
= e
, sehingga 2
1
2 2
= +
mk El
, 2.55
atau PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2r k
E −
=
. 2.56
Dengan memasukkan persamaan 2.31 ke persamaan 2.56 diperoleh
V E
2 1
=
. 2.57
Jadi energi total
E
setengah dari nilai energi potensial V untuk planet yang mengorbit dengan lintasan berbentuk lingkaran.
Dari nilai eksentrisitas persamaan 2.37 dan 2.54 diperoleh
2 4
2 2
2 l
Em l
k m
A +
= ,
2.58 sehingga nilai eksentrisitas seperti pada persamaan 2.54
2 2
2 1
mk El
e +
= .
Untuk lintasan yang berbentuk elips nilai eksentrisitas adalah 0 e 1 Goldstein, 1950. Sebagai contoh ditinjau lintasan partikel bermassa
yang bergerak melingkar dalam medan sentral dengan gaya sentripetal sama dengan gaya
gravitasi Alonso, 1994. Energi kinetik partikel tersebut adalah m
2
2 1
mv T
=
. 2.59
Dengan memasukkan persamaan 2.6 ke persamaan 2.59 diperoleh
r GMm
T 2
1 =
. 2.60
Jika persamaan 2.31 dan persamaan 2.60 dimasukkan kedalam persamaan 2.40, maka energi total
E
sistem lintasan planet PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
r GMm
E 2
1 −
=
. 2.61
Jika energi total berharga negatif pada persamaan 2.61 menyatakan sistem dalam lintasan tertutup, artinya planet dengan pusat sistem terikat satu sama lain
Seno dan Sihono, 2007, maka persamaan 2.54 menjadi
2 2
2 1
mk El
e −
= .
2.62
2.4 Sistem Gerak Dua Planet
Dua planet akan saling mempengaruhi. Planet yang satu mempengaruhi planet yang lain atau sebaliknya. Sesuai dengan hukum III Newton keadaan gaya itu
adalah sama besar dan berlawanan arah. Untuk sistem dua planet dengan massa dan
yang masing-masing planet terletak di
1
m
2
m
1
r r
dan
2
r r
, dengan matahari sebagai pusat dengan massa
M
. Gaya dari masing-masing massa terhadap pusat yaitu massa
dan terhadap matahari dengan massa
1
m
2
m
M
ditulis
1 2
1 2
1
F dt
r d
m r
r = ,
2.63
2 2
2 2
2
F dt
r d
m r
r =
, 2.64
Untuk gaya interaksi F r
yang memenuhi hukum gravitasi Newton yaitu berbanding lurus dengan massa planet dan berbanding terbalik dengan kuadrat
jaraknya, untuk masing-masing planet yang berinteraksi dengan pusat massa
M
mempunyai gaya sebagai berikut:
1 2
1 1
1
ˆr r
M Gm
F −
= r
, 2.65
2 2
2 2
2
ˆr r
M Gm
F −
= r
, 2.66
Jadi momentum sudut gerak relatif massa mengelilingi
1
m
M
pusat gaya bernilai tetap besar dan arahnya Zahara, 1997.
Jika dalam suatu sistem terdapat dua planet maka diantara kedua planet itu timbul keadaan saling mempengaruhi. Pengaruh mempengaruhi ini juga bergantung
pada jarak masing-masing planet dalam sistem itu. Pengaruh ini berbentuk gaya yaitu gaya internal untuk membedakan gaya dari luar.
Ditinjau dua planet dan
yang mengelilingi pusat massa
1
m
2
m
M
yang sama, kedudukan masing-masing adalah
1
r r
dan
2
r r
, kedudukan relatif terhadap
adalah
1
m
2
m
21
r r
, maka kita dapatkan bentuk koordinat gambar sebagai berikut:
Gambar 2.3 Interaksi sistem dua planet dengan
21 1
2
r r
r r
r r
+ =
,
12 1
2
θ θ
θ +
= , dan
12 1
2 2
1 2
2 21
cos .
2 θ
r r
r r
r r
r r
− +
= ,
2.67 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dari gambar.2.3 dengan hukum II Newton diperoleh
12 1
2 1
2 1
F F
dt r
d m
r r
r +
= ,
2.68
21 2
2 2
2 2
F F
dt r
d m
r r
r +
= ,
2.69 dengan
dan adalah gaya ekternal sistem, tanda negatif merupakan arah antara
dengan berlawanan arah maka
12
F r
21
F r
21
F
21
r
21 12
F F
r r
− =
, Halliday dan Resnick, 1984.
2.5 Polinomial Legendre
Polinomial Legendre didefinisikan sebagai
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
⋅⋅ ⋅
− −
− ⋅
− −
− +
− −
− ⋅⋅
⋅ −
− =
− −
4 2
3 2
1 2
4 2
3 2
1 1
2 2
1 1
3 2
1 2
j j
j j
x j
j j
j j
j x
j j
j x
j j
j x
P .
2.70
Polinomial Legendre sebagai fungsi generator didefinisikan sebagai:
∑
∞ =
= +
−
2
2 1
1
j j
j
x P
h h
xh ,
. 1
h 2.71
Fungsi diatas disebut fungsi generator untuk polinomial Legendre dan berguna untuk mendapatkan sifat-sifat dari polinomial Legendre. Perhatikan bahwa
adalah polinomial dengan derajat
x P
j
j Boas, 1966. Beberapa polinomial
Legendre pertama ditulis sebagai berikut: ,
1 =
x P
3 5
2 1
3 3
x x
x P
− =
,
x x
P =
1
,
3 30
35 8
1
2 4
4
+ −
= x
x x
P
, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1 3
2 1
2 2
− =
x x
P
,
15 70
63 8
1
3 5
5
x x
x x
P +
− =
. 2.72
Untuk kasus diatas .
j j
j
P P
1 1
, 1
1 −
= −
= PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
