Pengaruh sudut antar planet terhadap bentuk lintasan sistem dua planet.

(1)

vii

PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET (θ₁₂) TERHADAP BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET

ABSTRAK

Telah dilakukan studi terhadap pengaruh sudut (θ₁₂)untuk sistem dua planet yang mengorbit pusat yang sama secara numerik mengunakan paket programMaple 10. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa besar sudut antar planet (θ₁₂) menentukan bentuk lintasan planet.

(2)

viii

INTER PLANET ANGLE (θ₁₂) EFFECT TO THE TRAJECTORY FORM OF TWO

PLANETS SYSTEM

ABSTRACT

Inter planet angle (θ₁₂) effect to the trajectory form of two planets system which orbiting the same centre have been performed numerically using Maple 10 program packet. The obtained results show that the inter planet angle (θ₁₂)value determine the planet trajectory form.

(3)

PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET (

θ12

) TERHADAP

BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET

Skripsi

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Fisika

Oleh:

THOMAS JOKO KRISMANTO

NIM: 003214016

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

(4)

INTER PLANET ANGLE (

θ12

) EFFECT ON THE

TRAJECTORY FORM OF TWO

PLANETS SYSTEM

Scription

Presented as Partial Fulfillment of the requirements to obtain the Sarjana Sains Degree

In Physics

By:

THOMAS JOKO KRISMANTO

NIM: 003214016

PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTEMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

(5)

(6)

(7)

v K eh i d u p a n i n i a d a l a h b el a ja r

d a r i w a k t u k e w a k t u

sa m p a i k i t a ta k d a p a t m er a sa k a n

p a n a s d i n gi n n y a d u n i a .

Sem u a b egi t u m u d a h b a gi k em a u a n d a n t ek a t

y a n g k u a t .

Ku per sembahkan skr ipsi ini buat bapak dan ibu dan ketiga kakakku Isbandini,Her iyanto dan Sr i Astuti

(8)

(9)

vii

PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET (θ₁₂) TERHADAP BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET

ABSTRAK

(10)

viii

INTER PLANET ANGLE (θ₁₂) EFFECT TO THE TRAJECTORY FORM OF TWO

PLANETS SYSTEM

ABSTRACT

(11)

KATA PENGANTAR

Syukur kepada Tuhan Yesus yang selalu membimbing penulis dalam setiap detik kehidupan penulis selama penulisan skripsi ini. Suatu kehormatan yang besar bagi saya dapat memperoleh kesempatan memahami agungnya alam semesta karya tangan Tuhan yang sempurna selama mempelajari ilmu fisika.

Banyak pihak yang telah membantu saya dalam menyelesaikan karya ilmi-ah ini yang membuat saya selalu berdiri dan maju terus. Oleh karena itu dengan rendah hati saya mengucapkan banyak terimakasih kepada:

1. Bapak Drs. Drs. Vet Asan Damanik, M.Si sebagai dosen pembimbing yang dengan sangat sabar dan sepenuh hati serta meluangkan waktu di saat libur untuk membimbing saya dalam menyelesaikan skripsi ini. Saya terkesan dengan jawaban “mudah” setiap saya menanyakan hasil pekerjaan saya dan suatu hal yang tidak saya pahami, itu membuat tak ada yang sulit bagi saya yang ada hanyalah “mau dan maju terus”.

2. Bapak, Ibu, Kakak dan seluruh keluarga besar yang telah memberi dukungan dan semangat penuh, dukungan keluarga tak ternilai bagi saya.

3. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Ir.G.Heliarko,S.J S.S.,BST.,M.Sc.,M.A. beserta staf.

(12)

Dr. Ign Edi Santoso, M,Si, Bapak Prof. Liek Wilardjo, Bapak Drs.BA. Tjipto Sujitno, M.T, APU, Bapak Drs. Albertus Setyoko, M.Si (almarhum), Bapak Prasetyadi, S.Si, dan Ibu Dwi Nugraheni Rositawati, S.Si.

5. Laboran program studi fisika Bapak Sugito, Mas Agus, Mas Sis yang banyak membantu saya dalam penggunaan laboratorium selama studi. 6. Pegawai Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi.

7. Pegawai Perpustakaan unit kampus III Paingan.

8. Semua teman di Program Studi Fisika angkatan”00 yang sama-sama berjuang serta teman beda angkatan yang sama-sama berjuang dalam menyelesaikan skripsi yang tidak bisa saya sebutkan satu persatu. Terimakasih atas segala dukungan dan smangatnya.

9. Teman-teman MUDIKA yang selalu memberi semangat dan menghibur. 10. Kepada “virtus compusoft” yang telah meminjami saya satu unit

komputer dan hp selama penulisan skripsi serta memberi dukungan baik materi maupun smangat yang tak pernah padam. MAJU dan SUKSES untuk “virtus compusoft” dan menjadi besar untuk menolong sesama. 11.Terima kasih kepada keluarga bapak ibu Wahyudi yang tak henti-henti menanyakan skripsi selama satu tahun ini, itu sangat memberi dukungan dan semangat bagi saya.

12. Buat temen-temen yang ada disekelilingku yang tak bisa saya sebutkan satu persatu, terimakasih atas doa dan dukungannya.God Bless.

(13)

Saya menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun diterima dengan senang hati.

Yoyakarta, Januari 2008 Penulis

(14)

xii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan sesungguhnya bahwa skripsi yang telah saya tulis ini tidak memuat karya orang lain kecuali yang telah disebutkan dalam Daftar Pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, Januari 2008

Penulis

(15)

xiii DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ………. i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………..….. iii

HALAMAN PENGESAHAN ………..….. iv

HALAMAN MOTTO PERSEMBAHAN ………... v

HALAMAN LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ... vi

ABSTRAK ……….………. vii

ABSTRACT ……… viii

KATA PENGANTAR ………... ix

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ………... xii

DAFTAR ISI ………... xiii

DAFTAR GAMBAR ………... xv

BAB I. PENDAHULUAN ………. 1

1.1. Latar Belakang ……….………....…. 1

1.2. Perumusan Masalah ……….. 2

1.3. Batasan Masalah ………... 2

1.4. Tujuan Penelitian ……….. 3

1.5. Manfaat Penelitian ………… .………... 3

1.6. Sistematika Penulisan Laporan Penelitian ………..………... 3

BAB II. DASAR TEORI ………... 5

2.1. Hukum Kepler ………... 5

2.2. Gerak Benda dengan Gaya Sentral ………... 8

2.3. Hukum Kekekalan Energi dan Persamaan Gerak Planet …….. 13

2.4. Sistem Gerak Dua Planet ... 18

2.5. Polinomial Legendre ………. 20

(16)

xiv

3.1. Jenis Penelitian ……….. 22

3.2. Sarana Penelitihan ………. 22

3.3. Langkah-Langkah Penelitihan ……….. 22

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ………….……….... 23

4.1. Sistem Dua Planet ……….. 23

4.2. Bentuk Lintasan Planet ………... 34

4.3. Pembahasan ……….. 41

BAB V. PENUTUP ………... 44

5.1 Kesimpulan ………... 44

5.2 Saran ………... 44

DAFTAR PUSTAKA ………... 45

LAMPIRAN Lampiran A ………. 46

Lampiran B . ………... 55

(17)

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Bentuk lintasan (orbit) planet 5

Gambar 2.2 Luas yang disapu planet dalam waktu ∆t 6

Gambar 2.3 Interaksi sistem dua planet 19

Gambar 4.1 Dua planet berinteraksi 23

Gambar 4.2 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudutθ₁₂ =00 35

Gambar 4.3 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudutθ₁₂ =300 35

Gambar 4.4 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =600 36

Gambar 4.5 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut 0 12 =90 θ 36

Gambar 4.6 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut 0 12 =120 θ 37

Gambar 4.7 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudutθ₁₂ =1500 37

Gambar 4.8 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut 0 12 =180 θ 38

Gambar 4.9 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut 0 12 =210 θ 38

(18)

xvi

Gambar 4.10 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut 0

12 =240

θ 39

Gambar 4.11 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut 0

12 =270

θ 39

Gambar 4.12 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =3000 40 Gambar 4.13 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa

M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =3300 40 Gambar 4.14 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa

M secara kualitatif untuk sudut 0 12 =360

(19)

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Dalam pembahasan tentang astronomi khususnya hukum gerak planet sangat jarang membahas pengaruh interaksi antar planet terhadap bentuk lintasan planet yang berinteraksi. Pembahasan mengenai gerak planet hanya terbatas pada hukum Kepler dan hukum Newton secara umum, yaitu bahwa pergerakan planet yang satu sangat berpengaruh terhadap planet yang lain dan bentuk lintasannya adalah berbentuk elips (Sears dkk, 1987).

Hukum-hukum yang dapat menjelaskan posisi dan orbit planet dirumuskan antara tahun 1601 dan 1619 oleh astronom dan ahli matematika Jerman Johanes Kepler(1571-1630). Kepler sebagai asisten Tycho Brahe (1546-1601) memanfaatkan data pengamatan yang dikumpulkan oleh Tycho Brahe dan mengolahnya secara matematis sehingga menghasilkan perumusan matematis gerak planet.

Hukum Kepler menyatakan bahwa semua planet mengorbit matahari dan gerak semu planet yang terlihat dari bumi dapat digunakan untuk menentukan secara tepat posisi dari planet. Hukum Kepler menyatakan bahwa kedudukan planet terhadap matahari selalu berubah secara periodik dengan bentuk lintasan elips (Suwitra, 2001). Perubahan kedudukan (posisi) planet terhadap matahari menunjukkan bahwa terjadi interaksi antar planet sehingga setiap planet mempunyai posisi terjauh dan terdekat dari matahari. Posisi terjauh dari matahari disebut aphelium, sedangkan posisi terdekat planet dari matahari disebut perihelium.

(20)

Karena alasan itulah penulis tertarik untuk mengkaji lebih jauh tentang interaksi dua planet terhadap gerak planet khususnya pengaruh bentuk lintasan planet relatif terhadap matahari sebagai fungsi sudut antar planet. Dengan menggunakan persamaan energi dan sudut yang terbentuk antara dua planet yang mengorbit matahari akan ditentukan bentuk lintasan sistem dua planet.

1.2. Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut bahwa pengaruh interaksi antar planet yang mengorbit matahari jarang dibahas khususnya terkait dengan pengaruh sudut antar planet terhadap bentuk lintasan planet, maka yang menjadi permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana pengaruh sudut antar planet terhadap bentuk lintasan (orbit) sistem dua planet yang mengorbit titik pusat (matahari).

1.3. Batasan Masalah

Masalah yang diteliti dibatasi pada

1. Interaksi dua planet yang bergerak mengorbit suatu titik pusat yang sama. 2. Energi total sistem dua planet hanya memperhitungkan energi kinetik dan

energi potensial gravitasi.

3. Sistem dua planet yang berinteraksi.

(21)

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk

1. Merumuskan persamaan gerak sistem dua planet yang mengorbit titik pusat massa yang sama.

2. Menyelesaikan persamaan gerak sistem dua planet sehingga diperoleh bentuk lintasan planet sebagai fungsi sudut yang dibentuk dua planet dengan menggunakan paket program Maple 10.

1.5. Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk:

Pengembangan ilmu pengetahuan khususnya pengetahuan tentang gerak dua planet yang mengorbit titik pusat yang sama.

1.6. Sistematika Penulisan Laporan Penelitian

Sistematika laporan penelitian ini adalah sebagai berikut: BAB I. PENDAHULUAN

Dalam Bab ini dijelaskan uraian mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, sistematika penulisan laporan penelitian.

BAB II. DASAR TEORI

Dalam Bab II dijabarkan dasar teori yang terkait dengan hukum gerak planet, yaitu hukum Kepler, hukum Newton, gerak benda dengan gaya sentral,

(22)

hukum kekekalan energi dan persamaan gerak planet, sistem dua planet dan polinomial Legendre.

BAB III. METODE PENELITIAN

Pada Bab III menjelaskan tentang metode penelitian yang ditempuh dalam penelitian ini.

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam Bab IV dibahas tentang sistem dua planet yang berinteraksi, bentuk lintasan planet dan pembahasan.

BAB V. PENUTUP

(23)

BAB II DASAR TEORI

2.1. HUKUM KEPLER

Keteraturan gerak planet dapat dijelaskan oleh mekanika benda langit yang kemudian dikembangkan untuk menjelaskan gerak dan lintasan planet sehingga dapat diketahui bentuk orbit planet. Kepler membandingkan data yang dikumpulkan Tycho Brahe (1546-1601) dengan hasil pengamatannya dan kemudian mengolahnya secara matematis sehingga menghasilkan tiga buah hukum gerak planet yang kemudian dikenal sebagai hukum Kepler (Sears dkk, 1987).

Hukum Kepler tersebut adalah:

1. Planet bergerak dalam bidang datar dengan orbitnya berbentuk elips dan matahari sebagai salah satu titik fokusnya (Gambar 2.1). Ini berarti kedudukan planet terhadap matahari selalu berubah. Titik terjauh dari matahari disebut aphelium dan titik terdekat dari matahari disebut perihelium.

A B

M a b

Gambar 2.1 Bentuk lintasan (orbit) planet

(24)

2. Vektor yang menghubungkan matahari dengan planet menyapu luas yang sama untuk waktu yang sama (Gambar 2.2). Dari Gambar 2.2, jika lintasan AB ditempuh dengan waktu yang sama dengan lintasan CD, maka luas AM B sama dengan CMD.

M rr A

∆

vr m

r rr+∆r

∆

Gambar 2.2 Luas yang disapu planet dalam waktu ∆t.

Jika jari-jari lintasan planet adalah rdan sudut yang dibentuk selama waktu adalah

∆ ∆θ, maka

∆A= r⋅∆s

2 1

θ ∆ ⋅ ⋅

= r r

2 1

θ ∆

= 2

2 1

r . (2.1)

Jika ∆t →0, maka ∆θ →0, sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis menjadi 2

0 ₂

lim A = r

∆ ∆

→

∆θ θ ,

atau

d r

dA 2

2 1

(25)

3. Rasio kuadrat periode revolusi planet (T) terhadap kubik dari sumbu elips (r) adalah sama untuk seluruh planet :

C r T ₌

3 2

. (2.3)

Nilai tetapan Cdapat dijabarkan dari hukum II Newton khususnya tentang gerak melingkar atau suatu benda bergerak dalam medan atau gaya sentral. Jika suatu benda bermassa mbergerak melingkar dengan jari-jari r, maka periode (T ) adalah

v r

T = 2π , (2.4)

dengan adalah kecepatan, dan gaya sentripetal yang bekerja sama dengan gaya sentrifugal

r v m F

= . (2.5)

Jika ₂

r Mm G

F = dimasukkan ke persamaan (2.5), maka diperoleh

v2 r

GM ₌

, (2.6)

dengan adalah tetapan gaya gravitasi universal. Dari persamaan (2.4) dan (2.6) akhirnya diperoleh

GM r

T 2

3 2

4π

= , (2.7)

dengan ₂

2 11 10 . 673 , 6

kg Nm

G= − .

(26)

GM C

2 4π

= . (2.8)

2.2. Gerak Benda dengan Gaya Sentral

Penggunaan hukum III Newton berbunyi (Goldstein, 1950): untuk sistem aksi akan selalu ada reaksi yang melawan yang besarnya sama dengan aksi. Jumlah hukum III Newton diterapkan dalam medan gaya sentral antara dua buah benda dan , maka aksi yang dilakukan benda pertama terhadap benda kedua

1 m

m (Fr₁₂) akan

menimbulkan reaksi pada benda kedua (Fr₂₁) yang besarnya sama dan berlawanan arah dengan (Fr₁₂). Jadi dapat dituliskan

Faksi Freaksi. r r

−

Jika aksi tersebut berupa gaya, maka reaksi juga berbentuk gaya. Gaya tarik menarik antar dua buah benda bermassa dan berbanding lurus dengan massa dan

serta berbanding terbalik dengan kuadrat jarak ( 1

m m₂ m₁

m r) antar m₁dan m₂.

Jika benda bermassa mmengalami gaya yang arahnya selalu ke suatu titik yang tetap, maka benda tersebut mangalami gaya sentral. Gaya yang arahnya selalu menunju suatu titik yang tetap disebut gaya sentral. Contoh gaya sentral adalah gaya yang dialami oleh suatu benda yang mengorbit benda lain seperti planet yang mengorbit matahari sebagai pusat orbit planet. Sesuai dengan hukum II Newton, gaya Fr yang dialami suatu benda bermassa mdengan percepatan adalah ar

a m

Fr = r (2.9) Vektor posisi dan vektor sudut planet ditulis

r r

(27)

θ θ

θr₌ ˆ_. _(2.11)

Perubahan rˆ dan terhadap waktu di tulis sebagai berikut θˆ

dt d dt

dˆ _θ_ˆ θ

= , (2.12)

dt d r dt

dθ θ

ˆ ˆ

−

= , (2.13)

Kecepatan radial planet dt r d r r dt dr dt r d vr ˆ ˆ+ = = r r

. (2.14)

Dari persamaan (2.12) dan (2.14) diperoleh

ˆ θθˆ

dt d r r dt dr dt r

dr ₌ ₊

. (2.15)

Jika persamaan (2.15) diturunkan terhadap waktu (t), maka diperoleh percepatan planet

θ ˆ θ θ θ θˆ

2 2 2 2 2 2 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = dt d r dt d dt dr dt d dt dr r dt d r dt r d dt r d a_r r r

. (2.16)

Persamaan gerak planet untuk r berubah dalam gaya sentral dapat ditulis sebagai f(r)rˆ=mar_r . (2.17) Jika persamaan (2.16) dimasukkan ke dalam persamaan (2.17), maka diperoleh

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

= θ _ˆ θ θ θ θˆ

ˆ ) ( 2 2 2 2 2 dt d r dt d dt dr dt d dt dr r dt d r dt r d m r r

f . (2.18)

Dari persamaan (2.18) terikat bahwa

. )

(r m

f = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 dt d r dt r d θ

(28)

dan

0 = _⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ +

⋅

2 2

dt d r dt d dt dr dt d dt dr

m θ θ θ . (2.20)

Jadi kalau sebuah benda bergerak dalam medan gaya sentral, sesuai dengan hukum II Newton, benda tersebut hanya mempunyai percepatan radial (ar_r) sedangkan percepatan sudut (ar_θ) sama dengan nol.

Benda yang bergerak melingkar mempunyai momentum sudut (lr) yang diberikan oleh

p r

lr = r× r , (2.21)

dengan pr=mvr_r adalah momentum linier. Jika persamaan (2.14) dimasukkan ke persamaan (2.21), maka diperoleh

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ ₊

= _. _ˆ θθˆ

dt d r r dt dr m r

lr r

₌ ˆ_×ˆ₊ 2 θ ˆ_×θˆ

r dt d mr r r dt dr

dt d

mr2 θ

= kˆ , (2.22)

sebab rˆ×rˆ=0 dan rˆ×θˆ=kˆ.

Jika nilai mutlak lr pada persamaan (2.22) dimasukkan ke dalam persamaan (2.19), maka diperoleh

f(r)=m. _⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− ₂2 ₃

2 2

r m

l dt

r d

. (2.23)

(29)

11 dt d d dr dt dr θ θ

= , (2.24)

memasukkan persamaan (2.22) ke persamaan (2.24) menghasilkan

θ d dr mr l dt dr 2

= . (2.25)

Dengan memisalkan

u =1, (2.26.a)

maka

du u

dr =− 1₂ , (2.26.b)

sehingga ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = θ d du u u m l dt dr 2 2 1 θ d du m l −

= . (2.27) Jika persamaan (2.27) diturunkan terhadap waktu ( ), maka diperoleh t

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = dt dr dt d dt r d 2 2 θ θ θ d d d du m l dt d ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = dt d d du m l d d θ θ

θ ⎟⎠

⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 2 2 2 2 θ d u d r m l −

= . (2.28)

(30)

3 2

2 2

2 )

(

r m

l d

u d r m

l m

f ₌₋ ₋

θ . (2.29)

Dengan mengganti u

r = 1, maka diperoleh bentuk persamaan diferensial orde dua

pada persamaan (2.29) menjadi

) 1 ( 2 2 2

u f u l

m u

d u d

− = +

θ . (2.30)

Sebuah benda bermassa yang berada dalam medan gravitasi mempunyai energi potensial

r k

V =− , (2.31)

dengan k =GMm.

Turunan energi potensial terhadap posisi r menghasilkan gaya atau secara matematis

dr dV r

f( )=−

₂ r

−

= , (2.32)

atau

2 )

( ku

f =− , (2.33)

memasukkan persamaan (2.33) ke persamaan (2.30) menghasilkan

2 2

l mk u d

u d ₊ ₌

θ . (2.34)

Persamaan diferensial orde dua pada persamaan (2.34) mempunyai penyelesaian berbentuk

(31)

cos( ₀) ₂

l mk A

u = θ −θ + , (2.35)

dengan A tetapan. Karena r

u= 1dan , maka persamaan (2.35) dapat ditulis

menjadi

0 0 =0

cos . 1

mk A l

mk l r

+ =

. (2.36)

Jika didefinisikan eksentrisitas

mk A l e

= , (2.37)

dan

mk l r

0 = , (2.38)

maka

cos 1

⋅ + =

e r

r . (2.39)

2.3. Hukum Kekekalan Energi dan Persamaan Gerak Planet

Persamaan gerak dan lintasan (orbit) planet dapat dijabarkan dari hukum kekekalan energi untuk medan (gaya) sentral menyatakan bahwa jumlah energi kinetik (T ) dan energi potensial (V ) adalah konstan, secara matematis dituliskan

V T

E= + . (2.40) Energi kinetik (T ) suatu benda (planet) bermassa ( ) yang mengorbit benda lain sejauh

m r sesuai dengan persamaan (2.15) adalah

(32)

₂ 2 2

2 1 2

mr l r

T = & + , (2.41)

dengan l adalah momentum sudut. Memasukkan persamaan (2.41) ke persamaan (2.40) menghasilkan

mr l r

E= + ₂ + 2 2

2 1 2

& . (2.42)

Jadi kecepatan planet ke arah r adalah

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − =

2 2

mr l V E m

r& . (2.43)

Dari kecepatan diperoleh waktu (t)tempuh planet sebagai fungsi dari posisi(r)

2 2

r m

l r

GM m

dr dt

− +

= (2.44.a)

2 2 2

2 2

m l GMr m

Er r

dr dt

− +

= (2.44.b)

∫

− +

= mak

m l GMr m

dr r t

min

2 2 2

2 2

. (2.44.c)

Dengan menggunakan persamaan Lampiran B (B.1) dan (B.2) penyelesaian untuk

persamaan (2.44.c) dengan memisalkan m

a= 2 , b=2GM, dan ₂ 2

m l

c=− . Hasil

(33)

15 ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − +

= m GM

Er m E GMm m E m l GMr m Er t 2 4 log 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1 2 2 2 mak r r m El m EGMr m r E min 2 1 3 2 2 2 2 2 4 4 2 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − +

+ . (2.45)

Perubahan sudut gerak planet sebagai fungsi momentum sudut dapat diperoleh dari persamaan (2.22), yaitu

₂ mr

ldt

dθ = . (2.46)

Dengan mengganti r dr dt

= , persamaan (2.46) menjadi r dr mr l d & 2 =

θ . (2.47)

Jika persamaan (2.43) dimasukkan ke persamaan (2.47) kemudian di integralkan maka diperoleh

∫

− − = 2 2 2

2 2 2 1

r l mV l mE r dr

θ . (2.48)

Dengan memasukkan persamaan (2.31), (2.26.a) dan (2.26.b) ke persamaan (2.48), menjadi

∫

− + − = 2 2 2 2 2 u l mku l mE du

θ . (2.49)

Dengan memisalkan y=−1, 2 ₂ l mk

f = ,

2

₂

l

mE

g

=

, dan , serta

menggunakan Lampiran B (B.3), bentuk penyelesaian persamaan (2.49) adalah GMm k =

(34)

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = − 2 2 2 2 1 1 ) sin( mk El mk ul θ

γ , (2.50)

dengan γadalah tetapan integral (konstanta).

Jika digunakan rumus pada Lampiran B (B.4), maka persamaan (2.50) menjadi

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 2 2 2 2 1 1 cos mk El mk ul

θ . (2.51)

Dengan mengganti kembali r

u= 1, persamaan (2.51) menjadi

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +

= 1 1 2 .cosθ

1 2 2 2 mk El l mk

r , (2.52)

atau θ cos . 2 1 1 . 2 2 2 mk El k m l r + +

= . (2.53)

Mengingat persamaan (2.39), eksentrisitas untuk persamaan (2.53) adalah

₂ 2 2 1 mk El

e= + . (2.54)

Jika lintasan (orbit) planet berbentuk lingkaran, maka e=0, sehingga

0 2 1 ₂ 2 = + mk El

, (2.55)

(35)

0 2r

E=− . (2.56)

Dengan memasukkan persamaan (2.31) ke persamaan (2.56) diperoleh

V E

2 1

= . (2.57)

Jadi energi total (E) setengah dari nilai energi potensial (V ) untuk planet yang mengorbit dengan lintasan berbentuk lingkaran.

Dari nilai eksentrisitas persamaan (2.37) dan (2.54) diperoleh

₄ ₂

2 2

2 l Em l

k m

A= + , (2.58) sehingga nilai eksentrisitas seperti pada persamaan (2.54)

₂ 2 2 1

mk El e= + .

Untuk lintasan yang berbentuk elips nilai eksentrisitas adalah 0<e<1 (Goldstein, 1950). Sebagai contoh ditinjau lintasan partikel bermassa yang bergerak melingkar dalam medan sentral dengan gaya sentripetal sama dengan gaya gravitasi (Alonso, 1994). Energi kinetik partikel tersebut adalah

2 2 1

T = . (2.59)

Dengan memasukkan persamaan (2.6) ke persamaan (2.59) diperoleh

r GMm T

2 1

= . (2.60)

Jika persamaan (2.31) dan persamaan (2.60) dimasukkan kedalam persamaan (2.40), maka energi total (E) sistem lintasan planet

(36)

r GMm E

2 1

−

= . (2.61)

Jika energi total berharga negatif pada persamaan (2.61) menyatakan sistem dalam lintasan tertutup, artinya planet dengan pusat sistem terikat satu sama lain (Seno dan Sihono, 2007), maka persamaan (2.54) menjadi

2 2 2 1

mk El

e= − . (2.62)

2.4 Sistem Gerak Dua Planet

Dua planet akan saling mempengaruhi. Planet yang satu mempengaruhi planet yang lain atau sebaliknya. Sesuai dengan hukum III Newton keadaan gaya itu adalah sama besar dan berlawanan arah. Untuk sistem dua planet dengan massa dan yang masing-masing planet terletak di

1 m

m rr₁ dan rr₂, dengan matahari sebagai

pusat dengan massa M. Gaya dari masing-masing massa terhadap pusat yaitu massa m₁dan m₂terhadap matahari dengan massa M ditulis

₂1 ₁ 2

1 F

dt r d

m r

= , (2.63)

₂2 ₂

2 F

dt r d

m r

= , (2.64) Untuk gaya interaksi Fr yang memenuhi hukum gravitasi Newton yaitu berbanding lurus dengan massa planet dan berbanding terbalik dengan kuadrat jaraknya, untuk masing-masing planet yang berinteraksi dengan pusat massa

M mempunyai gaya sebagai berikut:

1 2 1

1 rˆ

r M Gm

(37)

₂ ₂

2 2

2 rˆ

r M Gm

Fr =− , (2.66)

Jadi momentum sudut gerak relatif massa m₁ mengelilingi M (pusat gaya) bernilai tetap (besar dan arahnya) (Zahara, 1997).

Jika dalam suatu sistem terdapat dua planet maka diantara kedua planet itu timbul keadaan saling mempengaruhi. Pengaruh mempengaruhi ini juga bergantung pada jarak masing-masing planet dalam sistem itu. Pengaruh ini berbentuk gaya yaitu gaya internal untuk membedakan gaya dari luar.

Ditinjau dua planet m₁dan m₂ yang mengelilingi pusat massa M yang sama, kedudukan masing-masing adalah rr₁ dan rr₂, kedudukan relatif terhadap

adalah

1 m

m rr₂₁, maka kita dapatkan bentuk koordinat gambar sebagai berikut:

Gambar 2.3 Interaksi sistem dua planet dengan rr₂ =rr₁+rr₂₁, θ₂ =θ₁+θ₁₂, dan

12 1

2 2 1 2 2

21 r r 2r r.cosθ

(38)

dari gambar.2.3 dengan hukum II Newton diperoleh 12 1 2 1 2

1 F F

dt r d

m r r

= , (2.68)

21 2 2

2 2

2 F F

dt r d

m r r

= , (2.69) dengan dan adalah gaya ekternal sistem, tanda negatif merupakan arah antara

dengan berlawanan arah maka 12

Fr Fr₂₁

F r₂₁ Fr₁₂ =−Fr₂₁, (Halliday dan Resnick, 1984).

2.5 Polinomial Legendre

Polinomial Legendre didefinisikan sebagai

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅⋅ ⋅ − − − ⋅ − − − + − − − ⋅⋅ ⋅ − −

= −2 −4

) 3 2 )( 1 2 ( 4 2 ) 3 )( 2 )( 1 ( ) 1 2 ( 2 ) 1 ( ! 1 ) 3 2 )( 1 2 ( )

( j j j

j x j j j j j j x j j j x j j j x P . (2.70)

Polinomial Legendre sebagai fungsi generator didefinisikan sebagai:

∑

∞

= +

− 2 0

) ( 2 1 1 j j j x P h h xh

, h <1. (2.71)

Fungsi diatas disebut fungsi generator untuk polinomial Legendre dan berguna untuk mendapatkan sifat-sifat dari polinomial Legendre. Perhatikan bahwa

adalah polinomial dengan derajat )

Pj j(Boas, 1966). Beberapa polinomial

Legendre pertama ditulis sebagai berikut:

P₀(x)=1 , (5 3 ) 2

1 )

( 3

3 x x x

P = − ,

x x

P1( )= , (35 30 3)

8 1 )

( 4 2

4 x = x − x +

(39)

) 1 3 ( 2 1 )

( 2

2 x = x −

P , (63 70 15 )

8 1 )

( 5 3

5 x x x x

P = − + .

(2.72) Untuk kasus diatas P_j(1)=1,P_j(−1)=(−1)j.

(40)

BAB III

METODE PENELITIAN

3.1 Jenis Penelitian

Penelitaan yang dilakukan dalam penulisan sekripsi ini adalah penelitian studi pustaka dan perhitungan secara numerik dengan paket program Maple 10 .

3.2 Sarana Penelitian

Sarana penelitian ini diambil dari buku yang ada di UPT Sanata Dharma dan internet yang berhubungan dengan hukum-hukum gerak planet didasari pada hukum Kepler , hukum Newton dan paket program Maple 10.

3.3 Langkah-Langkah Penelitian

Langkah-langkah yang ditempuh dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Mengelaborasi hukum Kepler dan hukum Newton yang terkait dengan

gerak planet.

2. Merumuskan bentuk lintasan sistem dua planet sebagai fungsi sudut antar planet.

3. Menggunakan paket program Maple 10 untuk menghitung (jarak planet ke

2 r

m M ).

4. Hasil yang diperoleh ditampilkan dalam betuk Tabel dan Grafik. 5. Menarik kesimpulan.

(41)

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Sistem Dua Planet

Persamaan energi dua massa planet m₁ dan m₂ berinteraksi:

Gambar 4.1 Dua planet berinteraksi

Dengan energi kinetik dan energi potensial masing-masing planet ditulis

T1 = ₂ 1 1

2 1 2

1 1

2 1 2

r m

l r

m& + , (4.1)

1 1 1

r k

V =− , (4.2)

T2 = ₂

2 2

2 2 2

2 2

2 1 2

r m

l r

m & + , (4.3)

2 2 2

r k

V =− , (4.4)

21 21 21

r k

V =− . (4.5)

Energi total sistem dua planet berinteraksi ditulis 21 2 2 1

1 V T V V T

E= + + + + . (4.6)

(42)

Dengan memasukkan persamaan (4.1),(4.2),(4.3),(4.4) dan (4.5) ke persamaan (4.6), maka persamaan energi total sistem dua planet berinteraksi menjadi

21 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r m Gm r M Gm r M Gm r m l r m r m l r m

E= & + + & + − − − . (4.7)

Jika jarak relatif antara dengan dari persamaan (2.67) dimasukkan ke persamaan (4.7), maka diperoleh

m m₂

₂ 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r M Gm r M Gm r m l r m r m l r m

E= & + + & + − −

12 2 1 2 2 2 1 2 1 cos . 2rr θ r r m Gm − +

− . (4.8)

Dengan mengeluarkan pada energi potensial relatif antara dengan maka diperoleh

r m₁ m₂

2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r M Gm r M Gm r m l r m r m l r m

E= & + + & + − −

12 2 1 2 2 1 2 2 1 cos . 2 1 θ r r r r r m Gm − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

− . (4.9)

Jika dimisalkan h r r

1 _{, maka persamaan (4.9) menjadi}

2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r M Gm r M Gm r m l r m r m l r m

E= & + + & + − −

[

]

12 12 2

2 2

1 +₁−₂ _._cos −

− h h θ

r m Gm

(43)

Diperoleh energi potensial relatif dari interaksi massa dan dalam bentuk polinomial Legendre

m m₂

₂ 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r M Gm r M Gm r m l r m r m l r m

E= & + + & + − −

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −

∑

= n j j j P h r m Gm 0 12 2 2

1 _cosθ

. (4.11)

Dari memisalkan rasio jarak antara massa m₁ dan m₂ terhadap pusat massa M

diperoleh

2 1 hr

r = , (4.12)

sehingga

2 1 hr

r& = & , (4.13)

Jika persamaan (4.12) dan persamaan (4.13) dimasukkan ke persamaan (4.11), maka diperoleh bentuk kekekalan energi

₂ 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 r M Gm hr M Gm r m l r m r h m l r h m

E= & + + & + − −

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −

∑

= n j j j P h r m Gm 0 12 2 2 1

cosθ . (4.14)

Dari persamaan (4.14) diperoleh persamaan energi untuk massa dan kita dapat mencari kecepatan dari planet untuk massa

2 m

(44)

⎢⎣ ⎡ ₊ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ = 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 GMm h GMm r m l h m l E m h m r& ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

∑

=0 2

12 2 1 1 ) (cos r P h m Gm n j j j θ

. (4.15)

Diperoleh kecepatan planet dengan massa dari persamaan energi yaitu interaksi antara dua planet dengan persamaan sebagai berikut:

2 m ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ ₊ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ = 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 GMm h GMm r m l h m l E m h m r& 2 1 2 0 12 2 1 1 ) (cos ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

∑

= r P h m Gm n j j j θ

. (4.16)

Dengan memisalkan p=E,

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + =

∑

= ) (cos ₁₂ 0 2 1 2 1 θ j n j j P h m Gm GMm h GMm q , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 m l h m l

s , dan

2 1 2 2 1 2 1 2 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊

= mh m

z , maka bentuk sederhana persamaan

(4.16) menjadi 2 1 2 2 2

2 1 1 1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + = r s r q p z dt dr

. (4.17)

Dari persamaan (4.17) bentuk integral dari waktu t(r) menjadi

∫

− + = rmak

r s qr pr dr r z t min 2 2 2 2 2

(45)

Dengan menggunakan Lampiran B (B.1) dan (B.2), bentuk penyelesaian persamaan (4.18) adalah

[

]

mak r r s qr pr p q pr p p q p s qr pr z t min 2 2 2 2 1 2 2 . 2 2 log 1 . 2 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − + + + − ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ₊ ₋ = .(4.19)

Persamaan kecepatan sudut dari momentum untuk planet dengan massa ditulis 2 m 2 2 2 2 2 r m dt l

dθ = . (4.20)

Dengan mengganti 2 2 r dr dt &

= , persamaan (4.20) menjadi

2 2 2 2 2 2 2 r dr r m l d & =

θ . (4.21)

Persamaan (4.16) dimasukkan ke persamaan (4.21) diperoleh

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢⎣ ⎡ ₊ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ = 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 . 2 1 2 1 GMm h GMm r m l h m l E l m r dr m h m dθ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

∑

= 2 1 2 12 0 2 1 1 ) (cos r P h m Gm n j j j θ

(46)

Dengan memisalkan

2 2

u = , (4.23.a)

maka ₂ ₂ 2 2 1 dr r

du =− , (4.23.b)

2 . (4.23.c) 2

2 2 r du dr =−

Jika persamaan (4.23.c) dimasukkan ke persamaan (4.22), maka diperoleh

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢⎣ ⎡ ₊ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ = 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 . 2 1 2 1 GMm h GMm l m r m l h m l l m l E m du m h m dθ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

∑

= 2 1 2 12 0 2 1 1 ) (cos r P h m Gm n j j j θ

. (4.24)

Jika persamaan (4.23.a) dimasukkan ke dalam persamaan (4.24) kemudian di- integralkan, maka diperoleh

(47)

29 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢⎣ ⎡ ₊ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ − =

_∫

2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 . 2 1 2 1 Mm h Mm l G m u m l h m l l m l E m du m h m θ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

∑

= 2 1 2 12 0 2

1m h P (cos ) u m

j j

j θ

. (4.25)

Dengan memisalkan ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 m l h m l l m A , ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + =

∑

= n j j j P h m m Mm h Mm l G m B 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 )

(cosθ ,

dan ₂

2 2 2 l E m

C= . Maka bentuk sederhana persamaan (4.25) menjadi

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ − =

_∫

C Bu Au du m h m 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1

θ . (4.26)

Jika digunakan Lampiran B (B.3), makapenyelesaian untuk persamaan (4.26) adalah

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ + − + − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ −

= − _γ

θ AC B B Ax A m h m 4 2 sin 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

(48)

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ ₊ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ − = − 2 1 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 . 2 1 2 1 . 2 sin . 2 1 2 1 1 2 1 2 1 Mm h Mm l m G u m h l m l m m h l m l m m h m θ γ θ θ + ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + +

∑

= = 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 0 12 2 1 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 . 4 ) (cos ) (cos l E m m h l m l m P h m m P h m m Mm h Mm l Gm n j j j n j j j

, (4.28)

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ ₊ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ = − 2 1 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 . 2 1 2 1 . 2 sin . 2 1 2 1 1 2 1 2 1 Mm h Mm l m G u m h l m l m m h l m l m m h m θ γ θ θ + ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + +

∑

= = 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 . 2 ) (cos ) (cos m h l m l m l E m P h m m P h m m Mm h Mm l Gm n j j j n j j j

, (4.29)

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎢⎣ ⎡ ₊ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ =

∑

= − 2 0 12 2 1 2 1 4 2 4 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 ) (cos . 2 1 2 1 . 2 sin . 2 1 2 1 2 1 2 1 n j j j P h m m Mm h Mm l m G Mm h Mm l Gm u m h l m l m m h l m l m m h m θ θ γ θ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

∑

= 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 . 2 ) (cos m h l m l m l E m P h m m n j j j

(49)

31 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ ₊ ⎢⎣ ⎡ ₊ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ = − − 2 1 4 2 4 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 . 2 1 2 1 . 2 sin . 2 1 2 1 2 1 2 1 Mm h Mm l m G Mm h Mm l Gm u m h l m l m m h l m l m m h m θ γ θ θ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

∑

= = 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 0 12 2 1 . 2 ) (cos ) (cos m h l m l m l E m P h m m P h m m n j j j n j j j

, (4.31)

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ⎢⎣ ⎡ ₊ ⎢⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ = − − 2 1 4 2 4 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 . 2 1 2 1 . 2 sin . 2 1 2 1 2 1 2 1 Mm h Mm l m G h Mm l Gm u m h l m l m m h l m l m m h m θ γ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + +

∑

= = 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 0 12 2 1 2 . 2 ) (cos ) (cos m h l m l m l E m P h m m P h m m Mm n j j j n j j j θ θ

. (4.32)

dengan γadalah tetapan integral (konstanta). Dengan memisalkan

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ ₊

= 2 ₂

1 2 1 2 1 m h m

α , (4.33)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +

= ₂ ₂ ₂

2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 m h l m l m

(50)

maka persamaan (4.32) menjadi ) (cos . 4 1 1 . ) (cos 2 . ) sin( 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎢⎣ ⎡ ₊ = −

∑

= = n j j j n j j j P h m m Mm h Mm m G E l u P h m m Mm h Mm l Gm θ β θ β β α θ γ . (4.35) Jika digunakan rumus pada Lampiran B (B.4), maka persamaan (4.35) menjadi

⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − ⋅ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⋅ =

∑

= = 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ) (cos 4 1 1 ) (cos . 2 cos n j j j n j j j P h m m Mm h Mm m G E l u P h m m Mm h Mm l Gm θ β θ β β α

θ . (4.36)

Jika

2 2

u = , maka persamaan (4.36) menjadi

2 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 0 12 2 1 2 1 2 2 2 2 2 cos ) (cos 4 1 ) (cos 2 θ θ β α β α β θ β ⋅ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⋅ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + =

∑

= = n j j j n j j j P h m m Mm h Mm m G E l P h m m Mm h Mm Gm l

(51)

Dengan memisalkan

α β =

N , ₂

2 2 2 . 2 Gm l

K = β , ₂

2 2 2 2 4 m G E l L β α β ⋅

= , 1 _Mm₂

h Mm

W = + , dan

, diperoleh 2 1m m X = 2 2 0 12 0 12 2 cos ) (cos 1 ) (cos θ θ θ ⋅ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + =

∑

= = n j j j n j j j P h X W L N P h X W K

r , (4.38)

2 2 0 12 2 0 12 2 cos ) (cos 1 1 ) (cos 1 θ θ θ ⋅ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + =

∑

= = n j j j n j j j P h W X W L N P h W X W K

r . (4.39)

Dengan memisalkan W

R= , ₂

W L

Y = , dan

W X

H = sehingga

2 2 0 12 0 12 2 cos ) (cos 1 1 ) (cos 1 θ θ θ ⋅ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + =

∑

= = n j j j n j j j P h H Y N P h H R

r , (4.40)

(52)

dengan eksentrisitas

2 0

12)]] (cos [ 1 [

∑

= + + = _n j j j P h H Y N e θ

. (4.41)

Mengacu pada persamaan (2.62) untuk bentuk lintasan planet berbentuk elips pada orbit tertutup dimana energi total sistem (E<0). Maka eksentrisitas diperoleh

2 0

12)]] (cos [ 1 [

∑

= + − = _n j j j P h H Y N e θ

. (4.42)

Jadi dengan mengganti nilai eksentrisitas sesuai dengan persamaan (4.42), maka persamaan (4.40) menjadi

2 2 0 12 0 12 2 cos ) (cos 1 1 ) (cos 1 θ θ θ ⋅ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + =

∑

= = n j j j n j j j P h H Y N P h H R

r . (4.43)

4.2 Bentuk Lintasan Planet

Dari persamaan (4.43) dan rasio jarak mengacu pada persamaan (4.12), maka jika dihitung r₂dan r₁dengan memberi nilai pada konstanta untuk berbagai sudut

θ diperoleh hasil pada Lampiran A (Tabel A). Jika Table A digambar grafiknya maka diperoleh hasil:

(53)

Gambar 4.2 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =00

Gambar 4.3 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =300

(54)

Gambar 4.4 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =600

Gambar 4.5 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut 0

12 =90

(55)

Gambar 4.6 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =1200

Gambar 4.7 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut 0

12 =150

(56)

Gambar 4.8 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =1800

Gambar 4.9 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =2100

(57)

Gambar 4.10 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =2400

Gambar 4.11 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =2700

(58)

Gambar 4.12 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =3000

Gambar 4.13 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =3300

(59)

Gambar 4.14 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ₁₂ =3600

4.3 Pembahasan

Berdasarkan rumus (4.43) dan (4.12) dengan menghitung secara numerik memakai paket program Maple 10 sesuai dengan sintaks program pada Lampiran C diperoleh nilai pada Lampiran A (Tabel A) dan Grafik pada gambar 4.2 sampai gambar 4.14 yang menunjukkan perubahan bentuk lintasan untuk dua planet yang berinteraksi untuk berbagai sudut

2 r

θ dengan interval 0. 30

Pada gambar 4.2 dan gambar 4.14 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan sudut , nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut

0 12=0

θ 0

12 =360

r r₁ θ₂ dari

sampai dan mengalami penurunan untuk sudut

0 0 0

(60)

Pada gambar 4.3 dan gambar 4.13 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan sudut , nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut

0 12 =30

θ 0

12=330

r r₁ θ₂ dari

sampai dan mengalami penurunan untuk sudut

0 0 0

180 θ₂ dari 0 sampai .

180 3600

Pada gambar 4.4 dan gambar 4.12 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan , nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut

0 12 =60

θ 0

12 =300

r r₁ θ₂ dari sampai

dan mengalami penurunan untuk sudut

0 0 0

180 θ₂ dari 1800 sampai 3600.

Pada gambar 4.5 dan gambar 4.11 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan sudut , nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut

0 12 =90

θ 0

12 =270

r r₁ θ₂ dari

sampai dan mengalami penurunan untuk sudut

0 0 0

180 θ₂ dari 1800 sampai 3600.

Pada gambar 4.6 dan gambar 4.10 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan sudut , nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut

0 12 =120

θ 0

12 =240

r r₁ θ₂ dari

sampai dan mengalami penurunan untuk sudut

0 0 0

180 θ₂ dari 0 sampai .

180 3600

Pada gambar 4.7 dan gambar 4.9 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut dan sudut , nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut

0 12 =150

θ 0

12 =210

r r₁ θ₂ dari

sampai dan mengalami penurunan untuk sudut

0 0 0

180 θ₂ dari 0 sampai .

180 0

(61)

Pada gambar 4.8 sesuai Tabel A dengan nilai sudut , nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut

0 12 =180

r r₁ θ₂ dari sampai

dan mengalami penurunan untuk sudut

0 0 0

180 θ₂ dari 1800 sampai 3600.

Pada gambar 4.2, gambar 4.3, gambar 4.4, gambar 4.5, gambar 4.6, gambar

4.7 dan gambar 4.8, sesuai Tabel A, dengan nilai sudut

. Nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami kenaikan untuk sudut

, 150 , 120 , 90 , 60 , 30 ,

00 0 0 0 0 0

12 =

θ 0

180 r₂

r θ₂ dari sampai dan mengalami

penurunan untuk sudut

0 1300

θ dari sampai serta mengalami kenaikan kembali untuk sudut

135 2250

θ dari 0 sampai .

230 3600

Pada gambar 4.9, gambar 4.10, gambar 4.11, gambar 4.12, gambar 4.13 dan

gambar 4.14, sesuai Tabel A, dengan nilai sudut

. Nilai jarak kedua planet yaitu dan mengalami penurunan untuk sudut

0 0 0 0 0 0

12 =210 ,240 ,270 ,300 ,330 ,360

θ r₂

r θ₂ dari sampai dan mengalami

penurunan untuk sudut

0 1300

θ dari sampai serta mengalami kenaikan kembali untuk sudut

135 2300

θ dari 2350 sampai 3600.

Pada Lampiran A (Tabel B) diperoleh eksentrisitas dengan lintasan tertutup. Perubahan sudut (θ₁₂) mempengaruhi nilai eksentrisitas yang akan menyebabkan perubahan pada nilai jarak planet r₂dan dengan pusat massa r₁ M .

(62)

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang didapat dari hasil dan pembahasan pada penelitian adalah sebagai berikut:

1. Sudut (θ₁₂)yang terbentuk antar dua planet dan menyebabkan nilai

eksentrisitas lintasan planet berubah yaitu maksimum saat sudut

( ) dan sudut ( ) dan minimum saat sudut ( ).

m m₂

0 12 =0

θ 0

12 =360

θ 0

12 =180

2. Jarak planet dengan pusat massa Mterjauh pada sudut ( ) saat

sudut ( ).

0 12 =0

0 2 =180

3. Interaksi antar planet mempengaruhi bentuk lintasan planet.

5.2 Saran

Saran yang dapat diberikan untuk menyempurnakan dan mengembangkan tulisan ini adalah perlu dilakukan penelitian lebih lanjut bagimana pengaruh sudut (θ₂) terhadap jarak planet (r) dengan pusat massa M terkait dengan perubahan sudut (θ₁₂).

(63)

DAFTAR PUSTAKA

Alonso, M. & Finn, E.J., 1994, Dasar-Dasar Fisika Universitas, Jilid 1, Edisi 2,

Jakarta: Erlangga.

Burington, R.S., 1948, Handbook of Mathematical Table and Formula, New York:

McGraw-Hill Book Company.

Goldstein, H.,1950, Classical Mechanics, New York: Addison-Wesley Publishing Company.

Halliday, D., & Resnick, R., 1984, Fisika, Jilid 1, Edisi 3, Jakarta: Erlangga.

Sears, W.F., Zemansky, M.W., & Young, H.D., 1987, Fisika Universitas, Jilid 1,

Edisi 6, Jakarta: Erlangga.

Seno, D.K., & Sihono, M.Si., 2007, Gravitasi, (Online), (http://dwiseno.fisika.ui.edu /kuliah/gravitasi.ppt, diakses 30 November 2007).

Suwitra, N., 2001, Astronomi Dasar, Jurusan Fisika Institut Keguruan dan Ilmu

Pendidikan Negeri Singaraja.

Zahara, M., 1997, Dinamika Sistem Zarah Dan Benda Tegar, Yogyakarta: Lab Fisika Atom dan Inti Fakultas MIPA UGM.

(64)

LAMPIRAN A

TABEL A

No.

1 0 4.078497889 4.208437347 4.376425342

2 5 4.08552778 4.215617006 4.383788355

3 10 4.106709465 4.237248423 4.405970102

4 15 4.142321367 4.273611275 4.443250971

5 20 4.19283564 4.392634147 4.496105975

6 25 4.258930659 4.392634147 4.565216547

7 30 4.34150927 4.476879959 4.651487732

8 35 4.441723511 4.579070706 4.756071355

9 40 4.561006921 4.700639946 4.880396069

10 45 4.701115815 4.843341152 5.026205481

11 50 4.864181381 5.009297949 5.195605802

12 55 5.052775021 5.201066861 5.391124884

13 60 5.269989917 5.421715149 5.615784995

14 65 5.519542733 5.674917308 5.873192085

15 70 5.805900318 5.965074261 6.167644982

16 75 6.134437472 6.29746051 6.504268322

17 80 6.511633281 6.678405247 6.889173728

18 85 6.945314998 7.115514372 7.329653592

19 90 7.444959862 7.617940941 7.834411572

20 95 8.022066026 8.196710803 8.413831682

21 100 8.690602905 8.865107716 9.080283407 22 105 9.467546588 9.639114784 9.848450568 23 110 10.37349329 10.53789332 10.73565313 24 115 11.43331608 11.58424882 11.76209773 25 120 12.67677228 12.80497352 12.95093298 26 125 14.13885817 14.23084654 14.32788652 27 130 15.85950301 15.89588533 15.92010079 28 135 17.88183897 17.83513762 17.75354968 29 140 20.24771642 20.07986057 19.84811939 30 145 22.98835482 22.64840902 22.20917263 31 150 26.10729432 25.53085987 24.81449359 32 155 29.55310351 28.66618983 27.59659831

33 160 33.18285764 31.9143537 30.42350426

34 165 36.72745662 35.03364099 33.08675546 35 170 39.78648761 37.68476523 35.31168511

) ( ₁₂

2θ

θ r₂(0) r₂(30) r₂(60)

(65)

No.

36 175 41.89060808 39.48677608 36.8042062 37 180 42.64427177 40.12801694 37.33150826 38 185 41.89060808 39.48677608 36.8042062 39 190 39.78648761 37.68476523 35.31168511 40 195 36.72745662 35.03364099 33.08675546

41 200 33.18285764 31.9143537 30.42350426

42 205 29.55310351 28.66618983 27.59659831 43 210 26.10729432 25.53085987 24.81449359 44 215 22.98835482 22.64840902 22.20917263 45 220 20.24771642 20.07986057 19.84811939 46 225 17.88183897 17.83513762 17.75354968 47 230 15.85950301 15.89588533 15.92010079 48 235 14.13885817 14.23084654 14.32788652 49 240 12.67677228 12.80497352 12.95093298 50 245 11.43331608 11.58424882 11.76209773 51 250 10.37349329 10.53789332 10.73565313 52 255 9.467546588 9.639114784 9.848450568 53 260 8.690602905 8.865107716 9.080283407 54 265 8.022066026 8.196710803 8.413831682 55 270 7.444959862 7.617940941 7.834411572 56 275 6.945314998 7.115514372 7.329653592 57 280 6.511633281 6.678405247 6.889173728

58 285 6.134437472 6.29746051 6.504268322

59 290 5.805900318 5.965074261 6.167644982 60 295 5.519542733 5.674917308 5.873192085 61 300 5.269989917 5.421715149 5.615784995 62 305 5.052775021 5.201066861 5.391124884 63 310 4.864181381 5.009297949 5.195605802 64 315 4.701115815 4.843341152 5.026205481 65 320 4.561006921 4.700639946 4.880396069 66 325 4.441723511 4.579070706 4.756071355

67 330 4.34150927 4.476879959 4.651487732

68 335 4.258930659 4.392634147 4.565216547

69 340 4.19283564 4.325179623 4.496105975

70 345 4.142321367 4.273611275 4.443250971 71 350 4.106709465 4.237248423 4.405970102

72 355 4.08552778 4.215617006 4.383788355

73 360 4.078497889 4.208437347 4.376425342

) 0 (

r r₂(30) ₍₆₀₎

r )

( ₁₂

2θ

(66)

No.

1 0 4.479057202 4.536093318 4.564954707

2 5 4.486526364 4.543619503 4.572509203

3 10 4.509026562 4.566290709 4.595265301

4 15 4.546838125 4.604387077 4.633502994

5 20 4.600435791 4.658382914 4.6876963

6 25 4.670500228 4.728958055 4.758524524

7 30 4.757934778 4.817014354 4.846888624

8 35 4.863888005 4.923697868 4.95393319

9 40 4.989782847 5.050427481 5.081074818

10 45 5.137353516 5.198931082 5.230037915

11 50 5.308691408 5.371290507 5.402899101

12 55 5.506301789 5.569996831 5.60214185

13 60 5.733173249 5.798017987 5.830723109

14 65 5.99286246 6.0588809 6.092154142

15 70 6.289596989 6.35677079 6.390597994

16 75 6.628399481 6.696650409 6.73098629

17 80 7.015236574 7.084402183 7.119157892

18 85 7.457195618 7.526995522 7.562021514

19 90 7.962691325 8.032680495 8.067742902

20 95 8.541701687 8.611205798 8.645953873

21 100 9.206027019 9.2740532 9.307974587

22 105 9.969555343 10.03466948 10.06702905 23 110 10.84849792 10.90865715 10.93841407 24 115 11.86152509 11.91385208 11.93954882 25 120 13.02967518 13.07015993 13.08977699 26 125 14.37581736 14.39893647 14.409709 27 130 15.92330827 15.92156619 15.91976644 28 135 17.69328821 17.65672074 17.63742864 29 140 19.69983911 19.61559383 19.57251407

30 145 21.9420854 21.79432394 21.71977035

31 150 24.39254248 24.16310011 24.04835506 32 155 26.98215577 26.65258208 26.48891857 33 160 29.58523203 29.14082162 28.92145247 34 165 32.01198151 31.44781024 31.17073415

35 170 34.02054802 33.348053 33.01908191

) ( ₁₂

2 θ

) 90 (

(67)

No.

36 175 35.35846121 34.60921642 34.24363447

37 180 35.82933802 35.05221077 34.67335909

38 185 35.35846121 34.60921642 34.24363447

39 190 34.02054802 33.348053 33.01908191

40 195 32.01198151 31.44781024 31.17073415

41 200 29.58523203 29.14082162 28.92145247

42 205 26.98215577 26.65258208 26.48891857

43 210 24.39254248 24.16310011 24.04835506

44 215 21.9420854 21.79432394 21.71977035

45 220 19.69983911 19.61559383 19.57251407

46 225 17.69328821 17.65672074 17.63742864

47 230 15.92330827 15.92156619 15.91976644

48 235 14.37581736 14.39893647 14.409709

49 240 13.02967518 13.07015993 13.08977699

50 245 11.86152509 11.91385208 11.93954882

51 250 10.84849792 10.90865715 10.93841407

52 255 9.969555343 10.03466948 10.06702905

53 260 9.206027019 9.2740532 9.307974587

54 265 8.541701687 8.611205798 8.645953873

55 270 7.962691325 8.032680495 8.067742902

56 275 7.457195618 7.526995522 7.562021514

57 280 7.015236574 7.084402183 7.119157892

58 285 6.628399481 6.696650409 6.73098629

59 290 6.289596989 6.35677079 6.390597994

60 295 5.99286246 6.0588809 6.092154142

61 300 5.733173249 5.798017987 5.830723109

62 305 5.506301789 5.569996831 5.60214185

63 310 5.308691408 5.371290507 5.402899101

64 315 5.137353516 5.198931082 5.230037915

65 320 4.989782847 5.050427481 5.081074818

66 325 4.863888005 4.923697868 4.95393319

67 330 4.757934778 4.817014354 4.846888624

68 335 4.670500228 4.728958055 4.758524524

69 340 4.600435791 4.658382914 4.6876963

70 345 4.546838125 4.604387077 4.633502994

71 350 4.509026562 4.566290709 4.595265301

72 355 4.486526364 4.543619503 4.572509203

73 360 4.479057202 4.536093318 4.564954707

θ r2(θ12) r₂(90) r₂(120) ₍₁₅₀₎

(1)

No.

36 175 35.35846121 36.8042062 39.48677608 41.89060808 37 180 35.82933802 37.33150826 40.12801694 42.64427177 38 185 35.35846121 36.8042062 39.48677608 41.89060808 39 190 34.02054802 35.31168511 37.68476523 39.78648761 40 195 32.01198151 33.08675546 35.03364099 36.72745662 41 200 29.58523203 30.42350426 31.9143537 33.18285764 42 205 26.98215577 27.59659831 28.66618983 29.55310351 43 210 24.39254248 24.81449359 25.53085987 26.10729432 44 215 21.9420854 22.20917263 22.64840902 22.98835482 45 220 19.69983911 19.84811939 20.07986057 20.24771642 46 225 17.69328821 17.75354968 17.83513762 17.88183897 47 230 15.92330827 15.92010079 15.89588533 15.85950301 48 235 14.37581736 14.32788652 14.23084654 14.13885817 49 240 13.02967518 12.95093298 12.80497352 12.67677228 50 245 11.86152509 11.76209773 11.58424882 11.43331608 51 250 10.84849792 10.73565313 10.53789332 10.37349329 52 255 9.969555343 9.848450568 9.639114784 9.467546588 53 260 9.206027019 9.080283407 8.865107716 8.690602905 54 265 8.541701687 8.413831682 8.196710803 8.022066026 55 270 7.962691325 7.834411572 7.617940941 7.444959862 56 275 7.457195618 7.329653592 7.115514372 6.945314998 57 280 7.015236574 6.889173728 6.678405247 6.511633281 58 285 6.628399481 6.504268322 6.29746051 6.134437472 59 290 6.289596989 6.167644982 5.965074261 5.805900318 60 295 5.99286246 5.873192085 5.674917308 5.519542733 61 300 5.733173249 5.615784995 5.421715149 5.269989917 62 305 5.506301789 5.391124884 5.201066861 5.052775021 63 310 5.308691408 5.195605802 5.009297949 4.864181381 64 315 5.137353516 5.026205481 4.843341152 4.701115815 65 320 4.989782847 4.880396069 4.700639946 4.561006921 66 325 4.863888005 4.756071355 4.579070706 4.441723511 67 330 4.757934778 4.651487732 4.476879959 4.34150927 68 335 4.670500228 4.565216547 4.392634147 4.258930659 69 340 4.600435791 4.496105975 4.325179623 4.19283564 70 345 4.546838125 4.443250971 4.273611275 4.142321367 71 350 4.509026562 4.405970102 4.237248423 4.106709465 72 355 4.486526364 4.383788355 4.215617006 4.08552778 73 360 4.479057202 4.376425342 4.208437347 4.078497889

2 θ

) ( 12 2 θ r

) 270 ( 2

(2)

24 Tabel B

No.

θ

12 e

1 0

0.825417118

2 30

0.810159048

3 60

0.790139431

4 90

0.777760579

5 120

0.770836694

6 150

0.767321566

7 180

0.766245351

8 210

0.767321566

9 240

0.770836694

10 270

0.777760579

11 300

0.790139431

12 330

0.810159048

13 360

0.825417118

(3)

Lampiran B

Beberapa bentuk integral yang digunakan dalam perhitungan untuk skripsi

ini (Burington, 1948).

Lampiran B.1

∫

+

−

+

=

+

ax

bx

c

dx

a

b

a

c

bx

ax

c

bx

ax

dx

x

2 2 2

₂

.

Lampiran B.2

∫

=

(

+

)

+

bx

c

a

ax

b

a

ax

bx

c

ax

dx

log

2 .

1 ,

untuk >0 .

a

Lampiran B.3

γ

δη

µ

δ

η

µ

δ

− +

+ − − = + +

∫

− 4 2 sin 1 2 1 2 x x dx

, untuk

δ

<

1 ,

dengan

γ

adalah tetapan integral (konstanta).

Lampiran B.4 Rumus Trigonometri

θ

) cos 90

sin( − =

,

sin(

θ

+90)=cos

θ

.

(4)

LAMPIRAN C

“Sintaks sistem dua Planet Berinteraksi”

>

G := 0.0000002 :

M := 150 :

m1 := 20 :

m2 := 40 :

l1 := 0.2 :

l2 := 0.7 :

h := 0.5 :

E := 0.00008 :

print

⎛

⎜⎝

evalf

⎛

⎜⎝

b

= 0.5

$

⎛

⎜⎝

m2

_$

_l1

m1

$

l2

$

h

C

_m2

⎞

⎟⎠

⎞

⎟⎠

⎞

⎟⎠

;

print( evalf(

a

= 0.5

$

_{( m1}

$

_h

C

_{m2) ) );}

print( evalf( X = m1

$

_{m2) ) ;}

print

0

evalf

0

W =

0

M

$

m1

h

1

C

M

$

m2

1 1

;

>

b

:= 33.06122449 :

a

:= 22.500 :

X := 800 :

W := 12000.00000 :

print

0

evalf

0

N =

b

a

1 1

;

print

⎛

_⎜⎝

evalf

⎛

_⎜⎝

K =

2 $

b

$

l2

G

$

_m2

⎞

⎟⎠

⎞

⎟⎠

;

print

⎛

_⎝

evalf

⎛

_⎝

H =

X

W

⎞

⎠

⎞

⎠

;

>

N := 1.469387755 :

(5)

>

L := 9.818682728 10

:

print

⎛

⎝

evalf

⎛

⎝

Y =

_W

L

⎞

⎠

⎞

⎠

;

for

i

from

0 by

5 to

360 do

print

⎛

⎜

⎝

evalf

⎛

⎜

⎝

Q ( i) =

j = 0

>

0.5 $

LegendreP

( j, evalf( cos ( convert( i, units, degrees, radians) ) ) )

⎞

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

;

end do;

>

N := 1.469387755 :

H := 0.06666666667 :

R := 8.437500000 :

Y := 0.6818529672 :

Q ( 0 ) ...Q ( 360 ) :

for i from 0 by 30 to 360 do

for j from 0 by 5 to 360 do

print

⎛

⎜

⎝

evalf

⎛

⎜

⎝

r2 [ i, j ] =

0

R

( 1

C

_H

$

_{Q ( i) )}

1

⎛

⎝

1 C

sqrt

⎛

⎝

sqrt( N )

K

( 1

C

_H

Y

$

_{Q ( i) )}

⎞

⎠

$

_{evalf( cos ( convert( j, units, degrees, radians) ) )}

⎞

⎠

⎞

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

;

end do;

(6)

58 >

r2

0, 0

...r2

360, 360