Sistem Dua HASIL DAN PEMBAHASAN
⎢⎣ ⎡
+ +
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ =
2 1
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 1
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
GMm h
GMm r
m l
h m
l E
m h
m r
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+
∑
= 2
12 2
1
1 cos
r P
h m
Gm
n j
j j
θ .
4.15
Diperoleh kecepatan planet dengan massa dari persamaan energi yaitu interaksi
antara dua planet dengan persamaan sebagai berikut:
2
m
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎢⎣ ⎡
+ +
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ =
2 1
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
2 1
2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
GMm h
GMm r
m l
h m
l E
m h
m r
2 1
2 12
2 1
1 cos
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+
∑
=
r P
h m
Gm
n j
j j
θ . 4.16
Dengan memisalkan ,
E p
= ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
+ =
∑
=
cos
12 2
1 2
1
θ
j n
j j
P h
m Gm
GMm h
GMm q
,
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ =
2 2
2 2
1 2
1
2 1
2 1
m l
h m
l s
, dan
2 1
2 2
1
2 1
2 1
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ =
m h
m z
, maka bentuk sederhana persamaan
4.16 menjadi
2 1
2 2
2 2
1 1
1 ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ −
+ =
r s
r q
p z
dt dr
. 4.17
Dari persamaan 4.17 bentuk integral dari waktu menjadi
r t
∫
− +
=
mak
r r
s qr
pr dr
r z
t
min
2 2
2 2
2
. .
4.18 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dengan menggunakan Lampiran B B.1 dan B.2, bentuk penyelesaian persamaan 4.18 adalah
[ ]
mak
r r
s qr
pr p
q pr
p p
q p
s qr
pr z
t
min
2 2
2 2
1 2
2
. 2
2 log
1 .
2 ⎪⎭
⎪ ⎬
⎫ −
+ +
+ −
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
− +
=
.4.19
Persamaan kecepatan sudut dari momentum untuk planet dengan massa ditulis
2
m
2 2
2 2
2
r m
dt l
d =
θ .
4.20
Dengan mengganti
2 2
r dr
dt =
, persamaan 4.20 menjadi
2 2
2 2
2 2
2
r dr
r m
l d
= θ
. 4.21
Persamaan 4.16 dimasukkan ke persamaan 4.21 diperoleh
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
⎢⎣ ⎡
+ +
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ =
2 1
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
2 1
2 2
1 2
1 2
1 2
1 .
2 1
2 1
GMm h
GMm r
m l
h m
l E
l m
r dr
m h
m d
θ
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+
∑
= 2
1 2
12 2
1
1 cos
r P
h m
Gm
n j
j j
θ .
4.22 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dengan memisalkan
2 2
1 r
u =
, 4.23.a
maka
2 2
2 2
1 dr
r du
− =
, 4.23.b
. 4.23.c
2 2
2 2
du r
dr −
= Jika persamaan 4.23.c dimasukkan ke persamaan 4.22, maka diperoleh
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
⎢⎣ ⎡
+ +
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
− ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ +
=
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
2 2
1 2
1 2
1 2
1 .
2 1
2 1
GMm h
GMm l
m r
m l
h m
l l
m l
E m
du m
h m
d
θ
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+
∑
= 2
1 2
12 2
1
1 cos
r P
h m
Gm
n j
j j
θ
.
4.24
Jika persamaan 4.23.a dimasukkan ke dalam persamaan 4.24 kemudian di- integralkan, maka diperoleh
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
⎢⎣ ⎡
+ +
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ −
=
∫
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
2 2
1 2
2 1
2 1
. 2
1 2
1 Mm
h Mm
l G
m u
m l
h m
l l
m l
E m
du m
h m
θ
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+
∑
= 2
1 2
12 2
1
cos u
P h
m m
n j
j j
θ .
4.25
Dengan memisalkan ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
− =
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
2
2 1
2 1
m l
h m
l l
m A
,
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
=
∑
= n
j j
j
P h
m m
Mm h
Mm l
G m
B
12 2
1 2
1 2
2 2
2
cos
θ ,
dan
2 2
2 2
l E
m C
= . Maka bentuk sederhana persamaan 4.25 menjadi
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
+ +
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ −
=
∫
C Bu
Au du
m h
m
2 2
2 2
2 1
2 2
1 2
2 1
2 1
θ .
4.26
Jika digunakan Lampiran B B.3, maka penyelesaian untuk persamaan 4.26 adalah
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎭ ⎬
⎫ +
− +
− −
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ −
=
−
γ θ
AC B
B Ax
A m
h m
4 2
sin 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
, 4.27
⎪ ⎪
⎪ ⎩
⎪⎪ ⎪
⎨ ⎧
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
⎩ ⎨
⎧ ⎢⎣
⎡ +
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ −
=
− 2
1 4
2 4
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 2
1 2
1 2
2 2
2 1
2 1
2 2
2 1
2 2
1 2
. 2
1 2
1 .
2 sin
. 2
1 2
1 1
2 1
2 1
Mm h
Mm l
m G
u m
h l
m l
m
m h
l m
l m
m h
m
θ
γ θ
θ +
⎪ ⎪
⎪ ⎭
⎪⎪ ⎪
⎬ ⎫
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
+ +
∑ ∑
= =
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
12 2
1 12
2 1
2 1
2 2
2 2
2 1
2 1
. 4
cos cos
l E
m m
h l
m l
m P
h m
m P
h m
m Mm
h Mm
l Gm
n j
j j
n j
j j
, 4.28
⎪ ⎪
⎪ ⎩
⎪⎪ ⎪
⎨ ⎧
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
⎩ ⎨
⎧ ⎢⎣
⎡ +
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ +
=
− 2
1 4
2 4
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 2
1 2
1 2
2 2
2 1
2 1
2 2
2 1
2 2
1 2
. 2
1 2
1 .
2 sin
. 2
1 2
1 1
2 1
2 1
Mm h
Mm l
m G
u m
h l
m l
m
m h
l m
l m
m h
m
θ
γ θ
θ +
⎪ ⎪
⎪ ⎭
⎪⎪ ⎪
⎬ ⎫
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
+ +
∑ ∑
= =
2 1
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
2 2
12 2
1 12
2 1
2 1
2 2
2 2
. 2
cos cos
m h
l m
l m
l E
m P
h m
m P
h m
m Mm
h Mm
l Gm
n j
j j
n j
j j
, 4.29
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
⎢⎣ ⎡
+ +
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ +
=
∑
= −
2 12
2 1
2 1
4 2
4 2
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 1
2 1
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
1 2
2 1
2
cos .
2 1
2 1
. 2
sin .
2 1
2 1
2 1
2 1
n j
j j
P h
m m
Mm h
Mm l
m G
Mm h
Mm l
Gm u
m h
l m
l m
m h
l m
l m
m h
m
θ θ
γ θ
+ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+
∑
= 2
1 2
2 2
2 1
2 1
2 2
2 2
2 2
12 2
1
. 2
cos
m h
l m
l m
l E
m P
h m
m
n j
j j
, 4.30
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
⎩ ⎨
⎧ ⎢⎣
⎡ +
⎢⎣ ⎡
+ −
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ +
= −
− 2
1 4
2 4
2 2
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 2
1 2
1 2
2 2
2 1
2 1
2 2
2 1
2 2
1 2
. 2
1 2
1 .
2 sin
. 2
1 2
1 2
1 2
1
Mm h
Mm l
m G
Mm h
Mm l
Gm u
m h
l m
l m
m h
l m
l m
m h
m
θ
γ θ
θ −
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
∑ ∑
= =
2 1
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
2 2
12 2
1 12
2 1
. 2
cos cos
m h
l m
l m
l E
m P
h m
m P
h m
m
n j
j j
n j
j j
, 4.31
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
⎩ ⎨
⎧ ⎢⎣
⎡ +
⎢⎣ ⎡
− ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ +
= −
− 2
1 4
2 4
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 1
2 1
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
1 2
2 1
2
. 2
1 2
1 .
2 sin
. 2
1 2
1 2
1 2
1
Mm h
Mm l
m G
h Mm
l Gm
u m
h l
m l
m
m h
l m
l m
m h
m
θ γ
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
+
∑ ∑
= =
2 1
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
2 2
12 2
1 12
2 1
2
. 2
cos cos
m h
l m
l m
l E
m P
h m
m P
h m
m Mm
n j
j j
n j
j j
θ θ
. 4.32
dengan γ adalah tetapan integral konstanta.
Dengan memisalkan
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ =
2 2
1
2 1
2 1
m h
m
α ,
4.33
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ =
2 2
2 2
1 2
1 2
2
2 1
2 1
m h
l m
l m
β ,
4.34 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
maka persamaan 4.32 menjadi
cos .
4 1
1 .
cos 2
. sin
2 12
2 1
2 1
2 2
2 2
2 2
12 2
1 2
1 2
2 2
2 2
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
+ −
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ ⎢⎣
⎡ +
= −
∑ ∑
= =
n j
j j
n j
j j
P h
m m
Mm h
Mm m
G E
l u
P h
m m
Mm h
Mm l
Gm
θ β
θ β
β α
θ γ
.
4.35 Jika digunakan rumus pada Lampiran B B.4, maka persamaan 4.35 menjadi
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
+ −
⋅ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
+ ⋅
=
∑ ∑
= =
2 12
2 1
2 1
2 2
2 2
2 2
12 2
1 2
1 2
2 2
2 2
cos 4
1 1
cos .
2
cos
n j
j j
n j
j j
P h
m m
Mm h
Mm m
G E
l u
P h
m m
Mm h
Mm l
Gm
θ β
θ β
β α
θ . 4.36
Jika
2 2
1 r
u =
, maka persamaan 4.36 menjadi
2 2
12 2
1 2
1 2
2 2
2 2
12 2
1 2
1 2
2 2
2
2
cos cos
4 1
cos 2
θ θ
β α
β α
β θ
β
⋅ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
+ ⋅
+ +
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
=
∑ ∑
= =
n j
j j
n j
j j
P h
m m
Mm h
Mm m
G E
l P
h m
m Mm
h Mm
Gm l
r . 4.37
Dengan memisalkan α
β
= N
,
2 2
2 2
. 2
Gm l
K β
= ,
2 2
2 2
2
4 m
G E
l L
β α
β
⋅ =
,
2 1
Mm h
Mm W
+ =
, dan
, diperoleh
2 1
m m
X =
2 2
12 12
2
cos cos
1 cos
θ θ
θ ⋅
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
+ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
=
∑ ∑
= =
n j
j j
n j
j j
P h
X W
L N
P h
X W
K
r , 4.38
2 2
12 2
12 2
cos cos
1 1
cos 1
θ θ
θ
⋅ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
+ +
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ =
∑ ∑
= =
n j
j j
n j
j j
P h
W X
W L
N P
h W
X W
K
r
. 4.39
Dengan memisalkan
W K
R =
,
2
W L
Y =
, dan
W X
H =
sehingga
2 2
12 12
2
cos cos
1 1
cos 1
θ θ
θ
⋅ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
+ +
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ =
∑ ∑
= =
n j
j j
n j
j j
P h
H Y
N P
h H
R
r
, 4.40 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dengan eksentrisitas
2 12
]] cos
[ 1
[
∑
=
+ +
=
n j
j j
P h
H Y
N e
θ .
4.41
Mengacu pada persamaan 2.62 untuk bentuk lintasan planet berbentuk elips pada orbit tertutup dimana energi total sistem
E . Maka eksentrisitas diperoleh
2 12
]] cos
[ 1
[
∑
=
+ −
=
n j
j j
P h
H Y
N e
θ .
4.42
Jadi dengan mengganti nilai eksentrisitas sesuai dengan persamaan 4.42, maka persamaan 4.40 menjadi
2 2
12 12
2
cos cos
1 1
cos 1
θ θ
θ ⋅
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
+ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
=
∑ ∑
= =
n j
j j
n j
j j
P h
H Y
N P
h H
R
r .
4.43
4.2
Bentuk Lintasan Planet
Dari persamaan 4.43 dan rasio jarak mengacu pada persamaan 4.12, maka jika dihitung
dan dengan memberi nilai pada konstanta untuk berbagai sudut
2
r
1
r
12
θ diperoleh hasil pada Lampiran A Tabel A. Jika Table A digambar grafiknya maka diperoleh hasil:
Gambar 4.2 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M
secara kualitatif untuk sudut
12
= θ
Gambar 4.3 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M
secara kualitatif untuk sudut
12
30 =
θ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 4.4 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M
secara kualitatif untuk sudut
12
60 =
θ
Gambar 4.5 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M
secara kualitatif untuk sudut
12
90 =
θ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 4.6 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M
secara kualitatif untuk sudut
12
120 =
θ
Gambar 4.7 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M
secara kualitatif untuk sudut
12
150 =
θ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 4.8 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M
secara kualitatif untuk sudut
12
180 =
θ
Gambar 4.9 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M
secara kualitatif untuk sudut
12
210 =
θ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 4.10 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M
secara kualitatif untuk sudut
12
240 =
θ
Gambar 4.11 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M
secara kualitatif untuk sudut
12
270 =
θ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 4.12 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M
secara kualitatif untuk sudut
12
300 =
θ
Gambar 4.13 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M
secara kualitatif untuk sudut
12
330 =
θ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 4.14 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa
M
secara kualitatif untuk sudut
12
360 =
θ