dt d
d dr
dt dr
θ θ
=
, 2.24
memasukkan persamaan 2.22 ke persamaan 2.24 menghasilkan θ
d dr
mr l
dt dr
2
=
. 2.25
Dengan memisalkan
r u
1 =
, 2.26.a
maka
du u
dr
2
1 −
=
, 2.26.b
sehingga
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
=
θ
d du
u u
m l
dt dr
2 2
1
θ
d du
m l
− =
. 2.27
Jika persamaan 2.27 diturunkan terhadap waktu , maka diperoleh t
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= dt
dr dt
d dt
r d
2 2
θ θ
θ
d d
d du
m l
dt d
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
=
dt d
d du
m l
d d
θ θ
θ
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
=
2 2
2 2
2
θ d
u d
r m
l −
= .
2.28 Jika persamaan 2.28 dimasukkan ke persamaan 2.23, maka diperoleh
3 2
2 2
2 2
2 2
r m
l d
u d
r m
l m
r f
− −
= θ
. 2.29
Dengan mengganti
u r
1 =
, maka diperoleh bentuk persamaan diferensial orde dua pada persamaan 2.29 menjadi
1
2 2
2 2
u f
u l
m u
d u
d −
= +
θ .
2.30 Sebuah benda bermassa
yang berada dalam medan gravitasi mempunyai energi potensial
m
r k
V −
=
, 2.31
dengan .
GMm k
= Turunan energi potensial terhadap posisi
r
menghasilkan gaya atau secara matematis
dr dV
r f
− =
2
r k
− =
, 2.32
atau
2
1 ku
u f
− =
, 2.33
memasukkan persamaan 2.33 ke persamaan 2.30 menghasilkan
2 2
2
l mk
u d
u d
= +
θ .
2.34 Persamaan diferensial orde dua pada persamaan 2.34 mempunyai penyelesaian
berbentuk PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
cos l
mk A
u +
− =
θ θ
, 2.35
dengan
A
tetapan. Karena
r u
1 =
dan , maka persamaan 2.35 dapat ditulis
menjadi
=
θ
θ
cos .
1
2
mk A
l mk
l r
+ =
2
. 2.36
Jika didefinisikan eksentrisitas
mk A
l e
2
= ,
2.37 dan
mk l
r
2
= ,
2.38 maka
θ cos
1 ⋅
+ =
e r
r .
2.39
2.3. Hukum Kekekalan Energi dan Persamaan Gerak Planet
Persamaan gerak dan lintasan orbit planet dapat dijabarkan dari hukum kekekalan energi untuk medan gaya sentral menyatakan bahwa jumlah energi
kinetik
T
dan energi potensial V adalah konstan, secara matematis dituliskan V
T E
+ =
. 2.40
Energi kinetik
T
suatu benda planet bermassa yang mengorbit
benda lain sejauh m
r
sesuai dengan persamaan 2.15 adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2 2
2
2 1
2 1
mr l
r m
T +
= ,
2.41 dengan l adalah momentum sudut. Memasukkan persamaan 2.41 ke persamaan
2.40 menghasilkan V
mr l
r m
E +
+ =
2 2
2
2 1
2 1
. 2.42
Jadi kecepatan planet ke arah
r
adalah
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− −
=
2 2
2 2
mr l
V E
m r
. 2.43
Dari kecepatan diperoleh waktu tempuh planet sebagai fungsi dari posisi
t r
2 2
2
2 2
r m
l r
GM m
E dr
dt −
+ =
2.44.a
2 2
2
2 2
1 m
l GMr
m Er
r dr
dt −
+ =
2.44.b
∫
− +
=
mak
r r
m l
GMr m
Er dr
r t
min
2 2
2
2 2
.
. 2.44.c
Dengan menggunakan persamaan Lampiran B B.1 dan B.2 penyelesaian untuk persamaan 2.44.c dengan memisalkan
m E
a 2
=
, GM
b 2
= , dan
2 2
m l
c −
= . Hasil
integral persamaan 2.44.c adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
⎢ ⎢
⎣ ⎡
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
⎪ ⎪
⎩ ⎪
⎪ ⎨
⎧ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
+ =
GM m
Er
m E
GMm m
E m
l GMr
m Er
t 2
4 log
2 2
2 2
2 1
2 3
2 1
2 2
2
mak
r
r
m El
m EGMr
m r
E
min
2 1
3 2
2 2
2
2 4
4 2
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− +
+ . 2.45
Perubahan sudut gerak planet sebagai fungsi momentum sudut dapat diperoleh dari persamaan 2.22, yaitu
2
mr ldt
d =
θ .
2.46
Dengan mengganti
r dr
dt =
, persamaan 2.46 menjadi
r dr
mr l
d
2
=
θ .
2.47 Jika persamaan 2.43 dimasukkan ke persamaan 2.47 kemudian di integralkan
maka diperoleh
∫
− −
=
2 2
2 2
1 2
2 r
l mV
l mE
r dr
θ .
2.48
Dengan memasukkan persamaan 2.31, 2.26.a dan 2.26.b ke persamaan 2.48, menjadi
∫
− +
− =
2 2
2
2 2
u l
mku l
mE du
θ .
2.49
Dengan memisalkan
1 −
= y
,
2
2 l
mk f
=
,
2
2 l
mE g
=
, dan , serta
menggunakan Lampiran B B.3, bentuk penyelesaian persamaan 2.49 adalah GMm
k =
⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
+ −
= −
2 2
2
2 1
1 sin
mk El
mk ul
θ γ
, 2.50
dengan γ adalah tetapan integral konstanta.
Jika digunakan rumus pada Lampiran B B.4, maka persamaan 2.50 menjadi
⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
+ −
=
2 2
2
2 1
1 cos
mk El
mk ul
θ .
2.51
Dengan mengganti kembali
r u
1 =
, persamaan 2.51 menjadi
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
+ +
= θ
cos .
2 1
1 1
2 2
2
mk El
l mk
r ,
2.52
atau
θ cos
. 2
1 1
.
2 2
2
mk El
k m
l r
+ +
= .
2.53
Mengingat persamaan 2.39, eksentrisitas untuk persamaan 2.53 adalah
2 2
2 1
mk El
e +
= .
2.54 Jika lintasan orbit planet berbentuk lingkaran, maka
= e
, sehingga 2
1
2 2
= +
mk El
, 2.55
atau PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
