GM C
2
4 π
= .
2.8
2.2. Gerak Benda dengan Gaya Sentral
Penggunaan hukum III Newton berbunyi Goldstein, 1950: untuk sistem aksi akan selalu ada reaksi yang melawan yang besarnya sama dengan aksi. Jumlah
hukum III Newton diterapkan dalam medan gaya sentral antara dua buah benda dan
, maka aksi yang dilakukan benda pertama terhadap benda kedua
1
m
2
m
12
F r
akan menimbulkan reaksi pada benda kedua
21
F r
yang besarnya sama dan berlawanan arah dengan
12
F r
. Jadi dapat dituliskan .
reaksi aksi
F F
r r
− =
Jika aksi tersebut berupa gaya, maka reaksi juga berbentuk gaya. Gaya tarik menarik antar dua buah benda bermassa
dan berbanding lurus dengan massa
dan serta berbanding terbalik dengan kuadrat jarak
1
m
2
m
1
m
2
m
r
antar dan
.
1
m
2
m Jika
benda bermassa
m mengalami gaya yang arahnya selalu ke suatu titik yang tetap, maka benda tersebut mangalami gaya sentral. Gaya yang arahnya selalu
menunju suatu titik yang tetap disebut gaya sentral. Contoh gaya sentral adalah gaya yang dialami oleh suatu benda yang mengorbit benda lain seperti planet yang
mengorbit matahari sebagai pusat orbit planet. Sesuai dengan hukum II Newton, gaya
yang dialami suatu benda bermassa dengan percepatan adalah
F r
m a
r a
m F
r r
= 2.9
Vektor posisi dan vektor sudut planet ditulis
r r
r ˆ
= r
, 2.10
θ θ
θ ˆ
= r
. 2.11
Perubahan
rˆ
dan terhadap waktu di tulis sebagai berikut θˆ
dt d
dt r
d
θ θ
ˆ ˆ =
, 2.12
dt d
r dt
d
θ θ
ˆ ˆ
− =
, 2.13
Kecepatan radial planet
dt r
d r
r dt
dr dt
r d
v
r
ˆ ˆ
+ =
= r
r
. 2.14
Dari persamaan 2.12 dan 2.14 diperoleh θ
θ
ˆ ˆ
dt d
r r
dt dr
dt r
d +
= r
. 2.15 Jika persamaan 2.15 diturunkan terhadap waktu t , maka diperoleh percepatan
planet θ
θ θ
θ θ
ˆ ˆ
2 2
2 2
2 2
2
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
+ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
= =
dt d
r dt
d dt
dr dt
d dt
dr r
dt d
r dt
r d
dt r
d a
r
r r
. 2.16
Persamaan gerak planet untuk
r
berubah dalam gaya sentral dapat ditulis sebagai
r
a m
r r
f r
= ˆ
. 2.17
Jika persamaan 2.16 dimasukkan ke dalam persamaan 2.17, maka diperoleh
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
+ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
= θ
θ θ
θ θ
ˆ ˆ
ˆ
2 2
2 2
2
dt d
r dt
d dt
dr dt
d dt
dr r
dt d
r dt
r d
m r
r f
. 2.18
Dari persamaan 2.18 terikat bahwa
. m
r f
=
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
−
2 2
2
dt d
r dt
r d
θ ,
2.19 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dan 0 =
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
⋅
2 2
dt d
r dt
d dt
dr dt
d dt
dr m
θ θ
θ .
2.20
Jadi kalau sebuah benda bergerak dalam medan gaya sentral, sesuai dengan hukum II Newton, benda tersebut hanya mempunyai percepatan radial
r
a r
sedangkan percepatan sudut
θ
a r
sama dengan nol. Benda yang bergerak melingkar mempunyai momentum sudut l
r yang
diberikan oleh
p r
l r
r r
× =
, 2.21
dengan
r
v m
p r
r = adalah momentum linier. Jika persamaan 2.14 dimasukkan ke
persamaan 2.21, maka diperoleh
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ ×
=
θ θ
ˆ ˆ
. dt
d r
r dt
dr m
r l
r r
θ θ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2
× +
× =
r dt
d mr
r r
dt dr
mr
dt d
mr
θ
2
=
kˆ , 2.22
sebab dan
. ˆ
ˆ =
× r r
k r
ˆ ˆ
ˆ =
× θ
Jika nilai mutlak l r
pada persamaan 2.22 dimasukkan ke dalam persamaan 2.19, maka diperoleh
. m
r f
=
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
−
3 2
2 2
2
r m
l dt
r d
. 2.23
Kecepatan planet sebagai fungsi dari kecepatan sudut diberikan oleh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dt d
d dr
dt dr
θ θ
=
, 2.24
memasukkan persamaan 2.22 ke persamaan 2.24 menghasilkan θ
d dr
mr l
dt dr
2
=
. 2.25
Dengan memisalkan
r u
1 =
, 2.26.a
maka
du u
dr
2
1 −
=
, 2.26.b
sehingga
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
=
θ
d du
u u
m l
dt dr
2 2
1
θ
d du
m l
− =
. 2.27
Jika persamaan 2.27 diturunkan terhadap waktu , maka diperoleh t
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= dt
dr dt
d dt
r d
2 2
θ θ
θ
d d
d du
m l
dt d
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
=
dt d
d du
m l
d d
θ θ
θ
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
=
2 2
2 2
2
θ d
u d
r m
l −
= .
2.28 Jika persamaan 2.28 dimasukkan ke persamaan 2.23, maka diperoleh
Kategori