mengkonversikan ke barisan persoalan minimimisasi yang tidak berkendala. Metode ini mengkonversi persoalan nonlinear menjadi bentuk persoalan pemrograman
kuadratis.
Berdasarkan uraian di atas maka penulis memberi judul tulisan ini dengan
“Metode
Sequential Quadratic Programming
SQP untuk Menyelesaikan Persoalan Nonlinear Berkendala”.
1.2 PERUMUSAN MASALAH
Permasalahan yang akan dibahas adalah menyelesaikan persoalan nonlinear berkendala dengan metode
Sequential Quadratic Programming
SQP
.
1.3 TINJAUAN PUSTAKA
Menurut Bradley dkk 1976, persoalan umum optimisasi adalah memilih
n
variabel keputusan
dari daerah fisibel yang diberikan untuk mengoptimasi maksimum atau minimum fungsi tujuan yang diberikan
dari variabel keputusan. Persoalan ini disebut persoalan pemrograman nonlinear jika fungsi tujuannya nonlinear dan atau daerah fisibelnya ditentukan oleh kendala
nonlinear. Bentuk umumnya:
subject to:
Untuk beberapa keadaan, maksimum dan minimum lokal disebut global. Fungsi yang minimum lokal merupakan global disebut konveks. Fungsi yang
maksimum lokal merupakan maksimum global disebut konkaf. Karena alasan ini fungsi
konveks selalu
diminimumkan sedangkan
fungsi konkaf
selalu dimaksimumkan Bradley dkk, 1976. Menurut Luenberger 1984, fungsi konveks
Universitas Sumatera Utara
adalah dimana untuk setiap dua titik
y
dan
z
, dapat ditarik garis yang menghubungkan
fy
dan
fz
pada fungsi tersebut.
Kekonvergenan untuk barisan bilangan riil Dennis dan Schnabel, 1983: Diberikan sebuah metode iterasi sehingga menghasilkan barisan titik
dari sebuah titik awal
, ingin diketahui apakah iterasi konvergen ke solusi . Jika
diasumsikan bahwa menyatakan barisan bilangan riil
, maka definisi berikut menyatakan sifat yang dibutuhkan:
Jika maka barisan
dikatakan konvergen ke
jika
Jika dalam tambahan, ada sebuah konstanta dan sebuah bilangan bulat
sehingga untuk setiap
Richard Bronson 1996 dalam bukunya yang berjudul “Teori dan Soal-soal Operation Research”, menyatakan bahwa persamaan Lagrange dari persoalan
nonlinear seperti yang telah dipaparkan yaitu sebagai berikut:
dimana adalah tetapan-tetapan yang tidak diketahui yang disebut
pengali Lagrange. Kemudian kita pecahkan sistem
n+ m
persamaan
Syarat Kuhn-Tucker: Winston dan Venkataramanan, 2003
1. Andaikan persoalan nonlinear di atas adalah persoalan maksimisasi. Jika
adalah solusi optimal dari persoalan tersebut, maka harus memenuhi m kendala dan harus ada pengali
yang memenuhi
Universitas Sumatera Utara
2. Andaikan persoalan nonlinear di atas adalah persoalan minimisasi. Jika
adalah solusi optimal dari persoalan tersebut, maka harus memenuhi m kendala dan harus ada pengali
yang memenuhi
S.S Rao 1977 dalam bukunya yang berjudul “
Optimization Theory and Application
” menjelaskan bahwa pemrograman kuadratis merupakan persoalan optimasi nonlinear dimana fungsi tujuannya adalah fungsi minimisasi yang konveks
dan semua kendalanya berbentuk persamaan atau pertidaksamaan linear. Bentuk umum persoalan pemrograman kuadaratis adalah sebagai berikut:
Min. s.t
dimana
11 12
1 21
22 2
1 2
n n
n n
nn
d d
d d
d d
d d
d
A =
11 12
1 21
22 2
1 2
n n
m m
mn
a a
a a
a a
a a
a
Pada fungsi tujuan di atas yaitu suku menyatakan bagian kuadratis dari fungsi
tujuan dengan D adalah matriks definit positif simetri. Jika D=0 maka menjadi
Universitas Sumatera Utara
persoalan linear. Karena D adalah matriks definit positif maka fx adalah fungsi
strictly convex
.
Menurut Winston dan Venkataramanan 2003, metode untuk menyelesaikan persoalan pemrograman kuadratis yaitu metode Wolfe. Pertama, semua fungsi tujuan
dan kendala harus ditambahkan variabel buatan pada masing-masing kendala dengan kondisi Kuhn-Tucker dan variabel basis belum jelas kemudian minimumkan jumlah
variabel buatan. Metode wolfe merupakan versi modifikasi dari fase I pada metode simplex dua fase. Untuk menjamin bahwa solusi akhir dengan variabel buatan sama
dengan nol memenuhi kondisi
complementary slackness,
metode Wolfe memodifikasi pilihan variabel simplex yang masuk:
1. Tidak diperbolehkan
dari kendala ke-
i
dan kedua-duanya sebagai
variabel basis. 2.
Tidak diperbolehkan variabel
slack
atau
excess
dari kendala ke-i dan kedua-duanya sebagai variabel basis.
Dimitri P Ber tsekas 2007 dalam jurnalnya yang berjudul “
SQP and PDIP
Algorithms for Nonlinear Programming” dikatakan bahwa metode
Sequential Quadratic Programming
digunakan untuk menyelesaikan persoalan nonlinear yang memiliki kendala dalam bentuk persamaan dengan bentuk umum :
Min. fx s.t. hx=0
Metode
Sequential Quadratic Programming
menyerupai metode Newton yang digunakan untuk mencari penyelesaian pada optimisasi tidak berkendala. Ide utama
dari SQP adalah memodelkan persoalan kendala yang berbentuk persamaan pada titik awal
kemudian mencari pendekatan dengan subpersoalan pemrograman
kuadratis berbentuk:
dimana
Universitas Sumatera Utara
Metode
Sequential Quadratic Programming
atau yang juga dikenal sebagai metode Lagrange-Newton karena metode SQP merupakan penggabungan dari kedua metode
tersebut. Algoritmanya adalah sebagai berikut: 1.
Tentukan 2.
Atur k=0 3.
Ulang 4.
Pecahkan sistem Langrange-Newton untuk menemukan 5.
6. 7.
Sampai konvergen Metode SQP merupakan aplikasi dari metode Newton dengan memenuhi kondisi
optimal KKT. Menurut Mark S. Gockenbach dalam jurnalnya yang berjudul “
Introduction to Sequential Quadratic Programming
”, metode SQP mencoba untuk memecahkan persoalan nonlinear secara langsung daripada mengubahnya ke barisan
persoalan minimisasi yang tidak berkendala. Ide dasar analog dengan metode Newton untuk persoalan minimisasi yang tidak berkendala. Metode SQP dapat digunakan
untuk menyelesaikan persoalan aplikasi yang kompleksitasnya tinggi Schittkowski dan Yuan, 2010
1.4 TUJUAN PENELITIAN
