Masalah optimisasi di atas dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana sebagai berikut:
subject to:
Untuk kendala persamaan dapat ditulis sebagai dua kendala pertidaksamaan
dan . Sebagai tambahan, jika menambahkan variabel
slack
, masing-masing kendala pertidaksamaan ditransformasi ke kendala persamaan.
Fokus utama dari pemrograman nonlinear adalah terkait dengan eksistensi dari solusi optimal, karakterisasi dari solusi optimal dan algoritma untuk menghitung
solusi optimal. Masalah pemrograman nonlinear mempunyai 2 jenis persoalan yaitu masalah nonlinear berkendala dan nonlinear tidak berkendala. Untuk persoalan
nonlinear tidak berkendala dapat dipecahkan dengan metode Newton sedangkan untuk persoalan nonlinear berkendala dapat dipecahkan dengan metode
Penalty
dan
Barrier
,
Sequential Quadratic Programming
SQP, ataupun
Primal-Dual Interior Point
PDIP. Metode
Penalty
dan
Barrier
merupakan cara tidak langsung karena prosedur metodenya yaitu mendekati persoalan optimisasi berkendala dengan persoalan yang
tidak berkendala. Contoh metode yang menerapkan cara langsung yaitu SQP dan PDIP. Bertsekas, 2007.
2.2 Optimum Global dan Lokal
Sebuah fungsi tujuan
fx
memiliki sebuah minimum lokal di jika terdapat sebuah
selang yang kecil yang berpusat di sedemikian rupa sehingga
untuk semua
x
dalam selang ini pada mana fungsi ini dedefinisikan. Jika untuk semua
x
pada mana fungsi ini didefinisikan, maka minimum di di
samping adalah lokal adalah suatu minimum global. Maksimum lokal dan global didefinisikan dengan cara yang sama tetapi dengan tanda ketidaksamaan yang terbalik
Bronson, 1996.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 1.1 Maksimum-minimum lokal dan global Fungsi yang digambarkan di atas secara grafik hanya didefiniskan pada [a,b]. Fungsi
ini memiliki minimum lokal di ; maksimum lokal di
; minimum global di
dan maksimum global di dan b.
Definisi 2.1:
Jika adalah solusi fisibel untuk persoalan maksimisasi dengan
fungsi tujuan fx. Kita menyebut x: 1.
Sebuah global maksimum jika untuk setiap titik fisibel
2. Sebuah lokal maksimum jika
untuk setiap titik fisibel cukup dekat dengan x yaitu jika ada sebuah bilangan
sangat kecil sehingga kapanpun masing-masing variabel dalam
dari yaitu,
dan y fisibel maka .
Minimum lokal dan global analog dengan definisi di atas. Untuk beberapa keadaan, maksimum dan minimum lokal disebut global. Gambar 1.2a di bawah
minimum lokal merupakan global. Fungsi ini disebut konveks. Gambar 1.2b di bawah maksimum lokal merupakan maksimum global. Fungsi ini disebut konkaf.
Karena alasan ini fungsi konveks selalu diminimumkan sedangkan fungsi konkaf selalu dimaksimumkan Bradley dkk, 1976.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 1.2 Fungsi konveks dan konkaf
2.3 Fungsi Konveks dan Konkaf
Menurut Luenberger 1984, fungsi konveks adalah dimana untuk setiap dua titik
y
dan
z
, dapat ditarik garis yang menghubungkan
fy
dan
fz
pada fungsi tersebut. Secara aljabar definisinya sebagai berikut:
Definisi 2.2:
Misalkan . Titik-titik dengan bentuk
untuk disebut
konveks kombinasi dari y dan z.
Definisi 2.3:
Sebuah himpunan disebut himpunan konveks jika untuk setiap
dan maka berlaku
.
Definisi 2.4:
Sebuah fungsi fx disebut konveks jika untuk setiap y dan z dan setiap
Disebut strictly konveks jika untuk setiap dua titik berbeda y dan z dan setiap
Definisi 2.5:
Sebuah fungsi fx disebut konkaf jika untuk setiap y dan z dan setiap
Universitas Sumatera Utara
Disebut strictly konkaf jika untuk setiap dua titik berbeda y dan z dan setiap
Mengalikan fungsi konveks dengan -1 akan menghasilkan fungsi konkaf. Menjumlahkan beberapa fungsi konveks akan menghasilkan fungsi konveks juga.
Begitu juga dengan mengalikan dengan pengali nonnegatif akan menghasilkan fungsi konveks.
Teorema 2.1:
Perhatikan masalah optimisasi CP berikut
Jika S adalah himpunan konveks, adalah fungsi konveks dan
adalah titik minimum lokal untuk masalah CP maka
adalah titik minimum global dari pada himpunan S.
Bukti:
Misalkan bukan titik minimum global, maka terdapat yang memenuhi
. Sebut yang merupakan kombinasi konveks dari dan y, untuk . Hal ini mengakibatkan , untuk .
Karena
adalah fungsi konveks maka berlaku
Untuk setiap . Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa adalah minimum
lokal. Dengan demikian haruslah
merupakan titik minimum global.
Teorema 2.2:
Misalkan S adalah himpunan buka yang konveks dan adalah fungsi yang
diferensiabel. Maka adalah fungsi konveks jika dan hanya jika memenuhi
kondisi gradient berikut:
Bukti :
Misalkan merupakan fungsi konveks. Maka untuk sebarang . Berlaku
Universitas Sumatera Utara
Yang mengakibatkan
Selanjutnya ambil maka diperoleh
Ambil sembarang dan . Set maka diperoleh
dan Ambil kombinasi konveks dari dua persamaan ini maka diperoleh
, Ini menunjukkan bahwa
f
adalah fungsi konveks.
Teorema 2.3:
Misalkan S adalah himpunan buka yang konveks dan dapat diturunkan dua
kali. Misal Hx adalah Hessian dari f. Jika fx konveks maka Hx adalah positif semidefit untuk semua
Bukti:
Perhatikan jika
Hz
positif semidefinit untuk semua , maka untuk setiap
, deret Taylor orde dua memberikan
Untuk suatu
z
yang merupakan kombinasi linear dari dengan demikian jelas
bahwa . Karena
Hz
positif semidefinit maka
Dengan demikian pertidaksamaan gradien terpenuhi dan mengakibatkan
fx
merupakan fungsi konveks. Jika
fx
konveks dengan dan
d
sebarang arah. Maka untuk yang
cukup kecil, . Dalam hal ini berlaku
dimana
Universitas Sumatera Utara
dengan menggunakan pertidaksamaan gradien maka diperoleh
Bagi pertidaksamaan ini dengan dan ambil
, maka diperoleh
Maka Hx adalah positif semidefinit untuk setiap .
Teorema 2.4:
Misalkan konveks dan dapat diturunkan di X. Jika
minimum global maka
Bukti:
Karena adalah minimum global maka
x
adalah minimum lokal, dengan demikian jelas bahwa
. Sebaliknya jika , maka berlaku
Maka jelas bahwa adalah titik minimum global.
2.4 Metode Newton