Optimum Global dan Lokal Fungsi Konveks dan Konkaf

Masalah optimisasi di atas dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana sebagai berikut: subject to: Untuk kendala persamaan dapat ditulis sebagai dua kendala pertidaksamaan dan . Sebagai tambahan, jika menambahkan variabel slack , masing-masing kendala pertidaksamaan ditransformasi ke kendala persamaan. Fokus utama dari pemrograman nonlinear adalah terkait dengan eksistensi dari solusi optimal, karakterisasi dari solusi optimal dan algoritma untuk menghitung solusi optimal. Masalah pemrograman nonlinear mempunyai 2 jenis persoalan yaitu masalah nonlinear berkendala dan nonlinear tidak berkendala. Untuk persoalan nonlinear tidak berkendala dapat dipecahkan dengan metode Newton sedangkan untuk persoalan nonlinear berkendala dapat dipecahkan dengan metode Penalty dan Barrier , Sequential Quadratic Programming SQP, ataupun Primal-Dual Interior Point PDIP. Metode Penalty dan Barrier merupakan cara tidak langsung karena prosedur metodenya yaitu mendekati persoalan optimisasi berkendala dengan persoalan yang tidak berkendala. Contoh metode yang menerapkan cara langsung yaitu SQP dan PDIP. Bertsekas, 2007.

2.2 Optimum Global dan Lokal

Sebuah fungsi tujuan fx memiliki sebuah minimum lokal di jika terdapat sebuah selang yang kecil yang berpusat di sedemikian rupa sehingga untuk semua x dalam selang ini pada mana fungsi ini dedefinisikan. Jika untuk semua x pada mana fungsi ini didefinisikan, maka minimum di di samping adalah lokal adalah suatu minimum global. Maksimum lokal dan global didefinisikan dengan cara yang sama tetapi dengan tanda ketidaksamaan yang terbalik Bronson, 1996. Universitas Sumatera Utara Gambar 1.1 Maksimum-minimum lokal dan global Fungsi yang digambarkan di atas secara grafik hanya didefiniskan pada [a,b]. Fungsi ini memiliki minimum lokal di ; maksimum lokal di ; minimum global di dan maksimum global di dan b. Definisi 2.1: Jika adalah solusi fisibel untuk persoalan maksimisasi dengan fungsi tujuan fx. Kita menyebut x: 1. Sebuah global maksimum jika untuk setiap titik fisibel 2. Sebuah lokal maksimum jika untuk setiap titik fisibel cukup dekat dengan x yaitu jika ada sebuah bilangan sangat kecil sehingga kapanpun masing-masing variabel dalam dari yaitu, dan y fisibel maka . Minimum lokal dan global analog dengan definisi di atas. Untuk beberapa keadaan, maksimum dan minimum lokal disebut global. Gambar 1.2a di bawah minimum lokal merupakan global. Fungsi ini disebut konveks. Gambar 1.2b di bawah maksimum lokal merupakan maksimum global. Fungsi ini disebut konkaf. Karena alasan ini fungsi konveks selalu diminimumkan sedangkan fungsi konkaf selalu dimaksimumkan Bradley dkk, 1976. Universitas Sumatera Utara Gambar 1.2 Fungsi konveks dan konkaf

2.3 Fungsi Konveks dan Konkaf

Menurut Luenberger 1984, fungsi konveks adalah dimana untuk setiap dua titik y dan z , dapat ditarik garis yang menghubungkan fy dan fz pada fungsi tersebut. Secara aljabar definisinya sebagai berikut: Definisi 2.2: Misalkan . Titik-titik dengan bentuk untuk disebut konveks kombinasi dari y dan z. Definisi 2.3: Sebuah himpunan disebut himpunan konveks jika untuk setiap dan maka berlaku . Definisi 2.4: Sebuah fungsi fx disebut konveks jika untuk setiap y dan z dan setiap Disebut strictly konveks jika untuk setiap dua titik berbeda y dan z dan setiap Definisi 2.5: Sebuah fungsi fx disebut konkaf jika untuk setiap y dan z dan setiap Universitas Sumatera Utara Disebut strictly konkaf jika untuk setiap dua titik berbeda y dan z dan setiap Mengalikan fungsi konveks dengan -1 akan menghasilkan fungsi konkaf. Menjumlahkan beberapa fungsi konveks akan menghasilkan fungsi konveks juga. Begitu juga dengan mengalikan dengan pengali nonnegatif akan menghasilkan fungsi konveks. Teorema 2.1: Perhatikan masalah optimisasi CP berikut Jika S adalah himpunan konveks, adalah fungsi konveks dan adalah titik minimum lokal untuk masalah CP maka adalah titik minimum global dari pada himpunan S. Bukti: Misalkan bukan titik minimum global, maka terdapat yang memenuhi . Sebut yang merupakan kombinasi konveks dari dan y, untuk . Hal ini mengakibatkan , untuk . Karena adalah fungsi konveks maka berlaku Untuk setiap . Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa adalah minimum lokal. Dengan demikian haruslah merupakan titik minimum global. Teorema 2.2: Misalkan S adalah himpunan buka yang konveks dan adalah fungsi yang diferensiabel. Maka adalah fungsi konveks jika dan hanya jika memenuhi kondisi gradient berikut: Bukti : Misalkan merupakan fungsi konveks. Maka untuk sebarang . Berlaku Universitas Sumatera Utara Yang mengakibatkan Selanjutnya ambil maka diperoleh Ambil sembarang dan . Set maka diperoleh dan Ambil kombinasi konveks dari dua persamaan ini maka diperoleh , Ini menunjukkan bahwa f adalah fungsi konveks. Teorema 2.3: Misalkan S adalah himpunan buka yang konveks dan dapat diturunkan dua kali. Misal Hx adalah Hessian dari f. Jika fx konveks maka Hx adalah positif semidefit untuk semua Bukti:  Perhatikan jika Hz positif semidefinit untuk semua , maka untuk setiap , deret Taylor orde dua memberikan Untuk suatu z yang merupakan kombinasi linear dari dengan demikian jelas bahwa . Karena Hz positif semidefinit maka Dengan demikian pertidaksamaan gradien terpenuhi dan mengakibatkan fx merupakan fungsi konveks.  Jika fx konveks dengan dan d sebarang arah. Maka untuk yang cukup kecil, . Dalam hal ini berlaku dimana Universitas Sumatera Utara dengan menggunakan pertidaksamaan gradien maka diperoleh Bagi pertidaksamaan ini dengan dan ambil , maka diperoleh Maka Hx adalah positif semidefinit untuk setiap . Teorema 2.4: Misalkan konveks dan dapat diturunkan di X. Jika minimum global maka Bukti: Karena adalah minimum global maka x adalah minimum lokal, dengan demikian jelas bahwa . Sebaliknya jika , maka berlaku Maka jelas bahwa adalah titik minimum global.

2.4 Metode Newton