Pemrograman Kuadratis Metode Sequential Quadratic Programming

Teorema 2.6: Andaikan persoalan nonlinear di atas adalah persoalan maksimisasi. Jika adalah solusi optimal dari persoalan tersebut, maka harus memenuhi m kendala dan harus ada pengali yang memenuhi Teorema 2.7: Andaikan persoalan nonlinear di atas adalah persoalan minimisasi. Jika adalah solusi optimal dari persoalan tersebut, maka harus memenuhi m kendala dan harus ada pengali yang memenuhi Skalar disebut pengali Lagrange. Kondisi disebut kondisi complementa ry slackness yang menyatakan dua kemungkinan yaitu: 1. Jika maka Jika maka kendala

2.8 Pemrograman Kuadratis

Menurut Rao 1977, pemrograman kuadratis merupakan persoalan optimasi nonlinear dimana fungsi tujuannya adalah fungsi minimisasi yang konveks dan semua Universitas Sumatera Utara kendalanya berbentuk persamaan atau pertidaksamaan linear. Bentuk umum persoalan pemrograman kuadaratis adalah sebagai berikut: Min. s.t dimana 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn d d d d d d d d d             A = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a             Pada fungsi tujuan di atas yaitu suku menyatakan bagian kuadratis dari fungsi tujuan dengan D adalah matriks definit positif simetri. Jika D=0 maka menjadi persoalan linear. Karena D adalah matriks definit positif maka fx adalah fungsi strictly convex . Metode untuk menyelesaikan persoalan pemrograman kuadratis yaitu metode Wolfe. Pertama, semua fungsi tujuan dan kendala harus ditambahkan variabel buatan pada masing-masing kendala dengan kondisi Kuhn-Tucker dan variabel basis belum jelas kemudian minimumkan jumlah variabel buatan. Metode wolfe merupakan versi modifikasi dari fase I pada metode simplex dua fase. Untuk menjamin bahwa solusi akhir dengan variabel buatan sama dengan nol memenuhi kondisi complementa ry slackness, metode Wolfe memodifikasi pilihan variabel simplex yang masuk: 1. Tidak diperbolehkan dari kendala ke- i dan kedua-duanya sebagai variabel basis. 2. Tidak diperbolehkan variabel slack atau excess dari kendala ke-i dan kedua-duanya sebagai variabel basis. Winston dan Venkataramanan, 2003 Universitas Sumatera Utara

2.9 Metode Sequential Quadratic Programming

Menurut Bertsekas 2007, metode Sequential Quadratic Progra mming digunakan untuk menyelesaikan persoalan nonlinear yang memiliki kendala dalam bentuk persamaan dengan bentuk umum : Min. fx s.t. hx=0 Kondisi Karush-Kuhn Tucker KKT untuk persoalan ini yaitu sebagai berikut: dimana adalah pengali Lagrange dengan kendala yang berbentuk persamaan. Jika menggunakan persamaan Lagrange Kondisi Kuhn-Tucker dapat dituliskan sebagai berikut: Metode Sequential Quadratic Programming menyerupai metode Newton yang digunakan untuk mencari penyelesaian pada optimisasi tidak berkendala.Metode ini menyelesaikan persoalan nonlinear secara langsung daripada mengubah ke barisan persoalan minimisasi yang tidak berkendala. Ide utama dari SQP adalah memodelkan persoalan kendala yang berbentuk persamaan pada titik awal kemudian mencari pendekatan dengan subpersoalan pemrograman kuadratis berbentuk: dimana Metode Sequential Quadratic Programming atau yang juga dikenal sebagai metode Lagrange-Newton karena metode SQP merupakan penggabungan dari kedua metode tersebut. Algoritmanya secara umum adalah sebagai berikut: Universitas Sumatera Utara 8. Tentukan 9. Atur k=0 10. Ulang 11. Pecahkan sistem Langrange-Newton untuk menemukan 12. 13. 14. Sampai konvergen Metode SQP merupakan aplikasi dari metode Newton dengan memenuhi kondisi optimal KKT. Menurut Gockenbach 2003, metode SQP memecahkan persoalan nonlinear secara langsung tanpa mengubah ke barisan persoalan minimisasi yang tidak berkendala. Ide dasar analog dengan metode Newton untuk persoalan minimisasi yang tidak berkendala. Metode SQP dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan aplikasi yang kompleksitasnya tinggi Schittkowski dan Yuan, 2010 Universitas Sumatera Utara BAB 3 PEMBAHASAN Persoalan nonlinear mempunyai 2 jenis persoalan yaitu persoalan berkendala dan tidak berkendala. Untuk persoalan nonlinear yang tidak berkendala dapat digunakan metode Newton. Sedangkan untuk persoalan nonlinear yang berkendala dapat digunakan metode Pengali Lagrange , metode Karush-Kuhn Tucker , dan sebagainya. Dalam penulisan akan dibahas persoalan nonlinear berkendala yang dipecahkan dengan metode Sequential Quadratic Programming SQP. Metode ini mengkonversikan bentuk persoalan nonlinear menjadi barisan persoalan pemrograman kuadratis. Metode ini merupakan gabungan dari metode Newton dan Lagrange. Dalam pembahasan ini akan dibahas 2 bentuk kendala yaitu berupa kendala persamaan dan pertidaksamaan.

3.1 Persoalan Nonlinear dengan Kendala Persamaan