Teorema 2.6:
Andaikan persoalan nonlinear di atas adalah persoalan maksimisasi. Jika adalah
solusi optimal
dari persoalan
tersebut, maka
harus memenuhi m kendala dan harus ada pengali yang memenuhi
Teorema 2.7:
Andaikan persoalan nonlinear di atas adalah persoalan minimisasi. Jika adalah
solusi optimal
dari persoalan
tersebut, maka
harus memenuhi m kendala dan harus ada pengali yang memenuhi
Skalar disebut pengali Lagrange. Kondisi
disebut kondisi
complementa ry slackness
yang menyatakan dua kemungkinan yaitu: 1.
Jika maka
Jika maka kendala
2.8 Pemrograman Kuadratis
Menurut Rao 1977, pemrograman kuadratis merupakan persoalan optimasi nonlinear dimana fungsi tujuannya adalah fungsi minimisasi yang konveks dan semua
Universitas Sumatera Utara
kendalanya berbentuk persamaan atau pertidaksamaan linear. Bentuk umum persoalan pemrograman kuadaratis adalah sebagai berikut:
Min. s.t
dimana
11 12
1 21
22 2
1 2
n n
n n
nn
d d
d d
d d
d d
d
A =
11 12
1 21
22 2
1 2
n n
m m
mn
a a
a a
a a
a a
a
Pada fungsi tujuan di atas yaitu suku menyatakan bagian kuadratis dari fungsi
tujuan dengan D adalah matriks definit positif simetri. Jika D=0 maka menjadi persoalan linear. Karena D adalah matriks definit positif maka fx adalah fungsi
strictly convex
.
Metode untuk menyelesaikan persoalan pemrograman kuadratis yaitu metode Wolfe. Pertama, semua fungsi tujuan dan kendala harus ditambahkan variabel buatan
pada masing-masing kendala dengan kondisi Kuhn-Tucker dan variabel basis belum jelas kemudian minimumkan jumlah variabel buatan. Metode wolfe merupakan versi
modifikasi dari fase I pada metode simplex dua fase. Untuk menjamin bahwa solusi akhir dengan variabel buatan sama dengan nol memenuhi kondisi
complementa ry slackness,
metode Wolfe memodifikasi pilihan variabel simplex yang masuk: 1.
Tidak diperbolehkan dari kendala ke-
i
dan kedua-duanya sebagai
variabel basis. 2.
Tidak diperbolehkan variabel
slack
atau
excess
dari kendala ke-i dan kedua-duanya sebagai variabel basis.
Winston dan Venkataramanan, 2003
Universitas Sumatera Utara
2.9 Metode Sequential Quadratic Programming
Menurut Bertsekas 2007, metode
Sequential Quadratic Progra mming
digunakan untuk menyelesaikan persoalan nonlinear yang memiliki kendala dalam bentuk
persamaan dengan bentuk umum : Min. fx
s.t. hx=0 Kondisi Karush-Kuhn Tucker KKT untuk persoalan ini yaitu sebagai berikut:
dimana adalah pengali Lagrange dengan kendala yang berbentuk persamaan.
Jika menggunakan persamaan Lagrange
Kondisi Kuhn-Tucker dapat dituliskan sebagai berikut:
Metode Sequential Quadratic Programming menyerupai metode Newton yang digunakan untuk mencari penyelesaian pada optimisasi tidak berkendala.Metode ini
menyelesaikan persoalan nonlinear secara langsung daripada mengubah ke barisan persoalan minimisasi yang tidak berkendala. Ide utama dari SQP adalah memodelkan
persoalan kendala yang berbentuk persamaan pada titik awal kemudian mencari
pendekatan dengan subpersoalan pemrograman kuadratis berbentuk:
dimana
Metode
Sequential Quadratic Programming
atau yang juga dikenal sebagai metode Lagrange-Newton karena metode SQP merupakan penggabungan dari kedua
metode tersebut. Algoritmanya secara umum adalah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
8. Tentukan
9. Atur k=0
10. Ulang
11. Pecahkan sistem Langrange-Newton untuk menemukan
12. 13.
14. Sampai konvergen
Metode SQP merupakan aplikasi dari metode Newton dengan memenuhi kondisi optimal KKT. Menurut Gockenbach 2003, metode SQP memecahkan persoalan
nonlinear secara langsung tanpa mengubah ke barisan persoalan minimisasi yang tidak berkendala. Ide dasar analog dengan metode Newton untuk persoalan minimisasi yang
tidak berkendala. Metode SQP dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan aplikasi yang kompleksitasnya tinggi Schittkowski dan Yuan, 2010
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
Persoalan nonlinear mempunyai 2 jenis persoalan yaitu persoalan berkendala dan tidak berkendala. Untuk persoalan nonlinear yang tidak berkendala dapat digunakan
metode Newton. Sedangkan untuk persoalan nonlinear yang berkendala dapat digunakan metode Pengali
Lagrange
, metode
Karush-Kuhn Tucker
, dan sebagainya. Dalam penulisan akan dibahas persoalan nonlinear berkendala yang dipecahkan
dengan metode
Sequential Quadratic
Programming
SQP. Metode
ini mengkonversikan bentuk persoalan nonlinear menjadi barisan persoalan pemrograman
kuadratis. Metode ini merupakan gabungan dari metode Newton dan Lagrange. Dalam pembahasan ini akan dibahas 2 bentuk kendala yaitu berupa kendala persamaan dan
pertidaksamaan.
3.1 Persoalan Nonlinear dengan Kendala Persamaan