2.3.4. Asumsi dalam Goal Programming
Dalam memodelkan suatu masalah tertentu ke dalam Goal Programming diperlukan sejumlah asumsi yang jika tidak dapat terpenuhi maka Goal
Programming bukan merupakan model yang cocok untuk permasalah
tersebut.Jadi asumsi model membatasi penggunaan metode Goal Programming. Asumsi-asumsi dalam Goal Programming :
1. Additivitas dan Linieritas
Diasumsikan bahwa proporsi penggunaan yang ditentukan oleh
harus tetap benar tanpa memperhatikan nilai solusi
yang dihasilkan. Hal ini berarti bahwa ruas kiri dari kendala tujuan harus sama dengan nilai ruas
kanan. 2.
Divisibilitas Diasumsikan bahwa nilai-nilai
,
+
, dan
−
yang dihasilkan dapat dipecah. Hal ini berarti jumlah pecahan nilai
dapat diselesaikan dan digunakan dalam solusi.
3. Terbatas
2.3.5. Penyelesaian Metode Goal Programming
Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan model Goal Programming
, yaitu : 1.
Metode Grafik Metode grafik digunakan untuk menyelesaikan masalah Goal Programming
dengan dua variabel. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah : a.
Menggambarkan fungsi kendala pada bidang kerja sehingga diperoleh daerah yang memenuhi kendala
b. Meminimumkan variabel deviasi agar sasaran-sasaran yang diinginkan
tercapai dengan cara menggeser fungsi atau garis yang dibentuk oleh variabel deviasi terhadap daerah yang memenuhi kendala
Universitas Sumatera Utara
2. Metode Algoritma Simpleks
Algoritma simpleks digunakan untuk menyelesaikan masalah Goal Programming
dengan menggunakan variabel keputusan yang lebih dari dua. Langkah-langkah penyelesaian Goal Programming dengan metode algoritma
simpleks adalah ; a.
Membentuk tabel simpleks awal b.
Pilih kolom kunci kolom pivot dimana − memiliki nilai negatif
terbesar c.
Pilih baris baris pivot yang berpedoman pada dengan rasio
terkecil dimana adalah nilai sisi kanan dari setiap persamaan d.
Mencari nilai elemen pivot yang bernilai 1 dan elemen lain bernilai nol dengan cara mengalikan baris pivot dengan -1 lalu menambahkannya
dengan semua elemen di baris pertama. Dengan demikian diperoleh tabel simpleks iterasi I.
e. Pemeriksaan optimalitas, yaitu melihat apakah solusi sudah layak atau
tidak. Solusi dikatakan layak bila variabel adalah positif atau nol.
Berikut akan diberikan contoh kasus penggunaan Goal Programming. Sebuah Perusahaan memproduksi 2 jenis produk yang berbeda, yaitu A dan B.
Produk tersebut dikerjakan melalui 2 proses pengerjaan yang berbeda, yaitu proses 1 dan proses 2. Proses 1 mampu menghasilkan 8 unit produk A dan 5
unit produk B sedangkan untuk proses 2 hanya mampu menghasilkan 2 unit produk A dan 3 unit produk B. Kapasitas maksimum proses 1 dan 2 masing-
masing adalah 40 dan 20. Dalam hal ini perusahaan mendapatkan 4 macam sasaran yaitu :
1. Kapasitas yang tersedia pada proses 1 dimanfaatkan secara maksimum
2. Kapasitas yang tersedia pada proses 2 dimanfaatkan secara maksimum
3. Produk A paling sedikit 15 unit
4. Produk B paling sedikit 8 unit
Penyelesaian : Yang menjadi variable keputusan adalah :
A = Jumlah produk A yang akan diproduksi
Universitas Sumatera Utara
B = Jumlah produk B yang akan diproduksi Yang menjadi fungsi kendala adalah :
8A + 5B ≤ 40 2A + 3B ≤ 20
A ≥ 15 B ≥ 8
Sesuai dengan sasaran yang akan dicapai, maka model goal programming untuk permasalahan diatas adalah :
=
+
+
−
+
+
+
−
+
−
+
−
+ +
−
−
+
= +
+
−
−
+
= +
−
−
+
= +
−
−
+
=
Penyelesaian model ini dimulai dengan membuat tabel simpleks awal seperti pada tabel 2.1 sebagai berikut :
Tabel 2.1 Tabel Simpleks Awal
Pk Cj
Cj 1
1 1
1 1
1 bi
VB A
B
+ −
+ −
+ −
+ −
P
1
1
−
8 5
-1 1
40 P
2
1
−
2 3
-1 1
20 P
3
1
−
1 -1
1 15
P
4
1
−
1 -1
1 8
Z
j
P
1
8 5
-1 1
P
2
2 3
-1 1
P
3
1 -1
1 P
4
1 -1
1 C
j
-Z
j
P
1
-8 -5
2 1
1 1
1 P
2
-2 -3
1 1
2 1
1 P
3
-1 1
1 1
1 1
1 P
4
-1 1
1 1
1 1
1 Yang menjadi kolom kunci adalah kolom ke-1 dimana
− memiliki nilai negative terbesar yaitu -7.Yang menjadi baris kunci adalah baris ke-1 karena
Universitas Sumatera Utara
memiliki nilai b
i
a
ij
terkecil yaitu 5.Pemilihan kolom kunci dapat dilihat pada tabel 2.2.
Tabel 2.2 Tabel Simpleks Awal Pemilihan Kolom Kunci
Pk Cj
Cj 1
1 1
1 1
1 bi
VB A
B
+ −
+ −
+ −
+ −
P
1
1
−
8 5
-1 1
40 P
2
1
−
2 3
-1 1
20 P
3
1
−
1 -1
1 15
P
4
1
−
1 -1
1 8
Z
j
P
1
7 5
-1 1
P
2
2 3
-1 1
P
3
1 -1
1 P
4
1 -1
1 C
j
-Z
j
P
1
-8 -5
2 1
1 1
1 P
2
-2 -3
1 1
2 1
1 P
3
-1 1
1 1
1 1
1 P
4
-1 1
1 1
1 1
1 Langkah selanjutnya adalah mencari sistem kanonikal yaitu sistem dimana
nilai elemen pivot bernilai 1 dan elemen lain bernilai nol dengan cara mengalikan baris pivot dengan -1 lalu menambahkannya dengan semua
elemen di baris lainnya.
Tabel 2.3 Tabel Simpleks Iterasi I
Pk Cj
Cj 1
1 1
1 1
1 bi
VB A
B
+ −
+ −
+ −
+ −
A 1
58 -18
18 5
P
2
1
−
74 14
-14 -1
1 10
P
3
1
−
-58 18
-18 -1
1 10
P
4
1
−
1 -1
1 8
Z
j
P
2
74 14
-14 -1
1 P
3
-58 18
-18 -1
1 P
4
1 -1
1 C
j
-Z
j
P
2
-74 ¾
54 2
1 1
P
3
58 78
98 1
1 1
1 P
4
-1 1
1 1
1 1
1
Tabel 2.4 Tabel Simpleks Iterasi II
Pk Cj
Cj 1
1 1
1 1
1 bi
VB A
B
+ −
+ −
+ −
+ −
A 1
-314 314
514 -514
107 B
1 17
-17 -47
47 407
Universitas Sumatera Utara
P
3
1
−
314 -314
-514 514
-1 1
957 P
4
1
−
-17 17
47 -47
-1 1
167 Z
j
P
3
314 -314
-514 514
-1 1
P
4
-17 17
47 -47
-1 1
C
j
-Z
j
P
3
114 1714 19.14
914 1
1 P
4
87 67
37 117
1 1
Pada iterasi II diperoleh solusi optimal karena seluruh −
. Dengan demikian, solusi optimal untuk produk yang diproduksi adalah A=1,43≈1 unit
dan B=5,71≈6 unit dengan penyimpangan
−
=13,57≈14 dan
−
=2,28≈2.
3. Penyelesaian dengan bantuan software QM
QM singkatan dari Quality Method adalah sebuah program yang dirancang untuk menyelesaikan persoalan-persoalan metode kuantitatif, manajemen
sains atau operasi riset.Sebuah permasalahan harus diubah dahulu ke dalam sebuah model matematis pemrograman linier, kemudian diinput ke dalam
software QM.
Program ini memiliki beberapa modul untuk menyelesaikan beragam persoalam matematika dan yang menjadi input adalah model matematika yang
telah dirancang berdasarkan permasalahn yang ada. Dalam penelitian ini digunakan modul goal programming.Misalnya contoh diatas, bentuk inputnya
adalah :
Gambar 2.5 Data Input di dalam Program
Universitas Sumatera Utara
Setelah data diinput, segera perintahkan program untuk mengola data tersebut melalui fasilitas “solve”. Sesaat kemudian program akan menayangkan
hasilnya dalam 3 bentuk yaitu : -
Final Table Tabel ini menunjukkan hasil perhitungan pada iterasi terakhir metode
simpleks.
Gambar 2.6 Hasil Akhir Pada Perhitungan Metode Simpleks
- Summary
Tabel ini menunjukkan rangkuman hasil-hasil akhir perhitungan.
Gambar 2.7 Rangkuman Hasil Perhitungan Solusi Optimal
Universitas Sumatera Utara
- Graph
Grafik yang menunjukkan solusi optimal atas model matematika dari suatu permasalahan.
Gambar 2.8 Grafik Solusi Optimal
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kategori