13 3
100 65
100 15
= =
∩ =
T P
T B
P T
B P
b. Kemungkinan seorang mahasiswa yang mendapat nilai C adalah mahasiswa yang tidak terdaftar adalah :
6 1
100 30
100 5
= =
∩ =
C P
C T
P C
T P
Dari perhitungan di atas maka diperoleh kemungkinan bahwa seorang mahasiswa yang terdaftar mendapat nilai B adalah sebesar 0,23 atau 23, sedangkan
kemungkinan bahwa seorang mahasiswa yang mendapat nilai C adalah mahasiswa yang tidak terdaftar adalah sebesar 0,16 atau 16.
2.6 Teorema Bayes
Teorema Bayes dikemukakan oleh seorang pendeta presbyterian Inggris pada tahun 1763 yang bernama Thomas Bayes . Teorema Bayes ini kemudian disepurnakan oleh
Laplace. Teorema Bayes digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peistiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.
Teorema ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa A dengan syarat peristiwa B telah terjadi dan probabilitas terjadinya peristiwa B dengan
syarat peristiwa A telah terjadi. Teorema ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas.
Universitas Sumatera Utara
Misalkan {B
1
, B
2
,…,B
n
} suatu himpunan kejadian yang merupakan suatu sekatan runag sampel S dengan PB
i
≠ 0 untuk i = 1, 2,…n. Dan misalkan A suatu kejadian sembarang dalam S dengan PA
≠ 0.
∑ ∑
= =
= ∩
∩ =
n i
i i
i i
n i
i i
i
B A
B B
B B
B B
P P
A P
P A
P A
P A
P
1 1
Bukti
∑ ∑
= =
= ∩
= ∩
+ +
∩ +
∩ ∩
= ∩
=
n i
i i
i i
n i
i i
i n
i i
i
B B
B B
B B
B B
B B
B B
B
A P
P A
P P
A P
A P
P A
P A
P A
P A
P A
P A
P A
P
1 1
2 1
....
: Menurut definisi Peluang bersyarat :
Contoh 1: Di sebuah sekolah terdapat 60 pelajar laki-laki dan 40 pelajar perempuan. Pelajar
perempuan mengenakan pantalon atau rok dalam angka yang sama sedangkan pelajar laki-laki semuanya mengenakan pantalon. Seorang pengamat melihat seorang pelajar
secara acak dari jauh, mereka semua dapat melihat bahwa pelajar ini mengenakan pantalon. Berapa peluang bahwa pelajar ini adalah seorang anak perempuan ?
Universitas Sumatera Utara
Jelas bahwa peluangnya adalah kurang dari 40, tetapi seberapa banyak ? Apakah setengahnya, karena hanya setengah pelajar perempuan yang mengenakan pantalon.
Jawaban yang benar dapat dihitung dengan menggunakan teorema Bayes. Andaikan kejadian A adalah pelajar yang diamati adalah perempuan, dan
kejadian B adalah pelajar yang diamati mengenakan pantalon. Untuk menghitung PA|B, terlebih dahulu kita harus mengetahui :
a. PA, atau peluang bahwa pelajar adalah seorang anak perempuan dengan mengabaikan informasi lain. Karena pengamat melihat seorang pelajar secara
acak, maksudnya adalah bahwa semua pelajar mempunyai peluang yang sama untuk diamati dan peluangnya adalah 0,4.
b. PA’, atau peluang bahwa pelajar adalah seorang anak laki-laki dengan mengabaikan informasi lain. A’ adalah peristiwa yang komplementer untuk A.
Peluangnya adalah 0,6. c. PB|A, atau peluang pelajar yang mengenakan pantalon dengan syarat pelajar
itu adalah seorang anak perempuan. Peluangnya adalah 0,5. d. PB|A’, atau peluang pelajar yang mengenakan pantalon dengan syarat pelajar
itu adalah seorang anak laki-laki. Peluangnya adalah 1. e. PB, atau peluang pelajar yang mengenakan pantalon dengan mengabaikan
informasi lain.
Tabel 2.2 Daftar Pelajar
Pelajar Perempuan Pelajar laki-laki
Jumlah Pantalon
20 60
80
Rok
20 20
Jumlah
40 60
100
Dengan semua informasi tersebut, maka peluang dari pelajar yang diamati adalah anak perempuan yang mengenakan pantalon adalah :
Universitas Sumatera Utara
25 ,
6 ,
2 ,
2 ,
6 ,
1 4
, 5
, 4
, 5
,
= +
= +
= +
= =
A A
P B
P A
P A
B P
A B
P A
P B
P A
B P
A P
B A
P
Seperti yang diharapkan bahwa hasilnya kurang dari 40 tetapi lebih dari setengahnya yaitu 25.
Contoh 2 : Seorang ahli geologi dari suatu perusahaan minyak, akan memutuskan melakukan
pengeboran minyak di suatu lokasi tertentu. Diketahui sebelumnya, probabilitas untuk memperoleh minyak, katakan usaha berhasil adalah H sebesar 0,20 dan akan gagal
adalah G, tidak memperoleh minyak sebesar 0,80. Sebelum keputusan dibuat, akan dicari tambahan informasi dengan melakukan suatu eksperimen yang disebut
pencatatan seismografis seismographic recording. Hasil eksperimen berupa diketemukan tiga kejadian yang sangat menentukan berhasil tidaknya pengeboran,
yaitu : Kejadian R
1
, tidak terdapat struktur geologis Kejadian R
2
, strutur geologis terbuka Kejadian R
3
, struktur geologis tertutup Berdasarkan pengalaman masa lampau, probabilitas dari ketiga kejadian ini
untuk dapat memperoleh minyak yaitu berhasil H, masing-masing sebesar 0,30 ; 0,36 dan 0,34. Sebaliknya untuk tidak memperoleh minyak yaitu gagal G, masing-masing
sebesar 0,68 ; 0,28 dan 0,04. Informasi ini, sebagai hasil eksperimen, merupakan informasi tambahan yang berguna untuk memperbaiki probabilitas prior.
Jika H = kejadian memperoleh minyak, dan
Universitas Sumatera Utara
G = kejadian tidak memperoleh minyak, Maka hitunglah :
a. PR
1
, atau probabilitas bahwa tidak terdapat strutur geologis. b. PR
2
, atau probabilitas bahwa struktur geologis terbuka. c. PR
3
, atau probabilitas bahwa strutur geologis tertutup. d. PH|R
1
, atau probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat tidak terdapat struktur geologis.
e. PH|R
2
, atau probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur geologis terbuka.
f. PH|R
3
, atau probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur geologis tertutup.
Jika keadaan tersebut digambarkan dalam pohon kemungkinan maka diperoleh sebagai berikut :
PR
1
PH = 0,20 PR H = 0,30
2
PR H = 0,36
3
H = 0,34
PR
1
PG = 0,80 PR G = 0,68
2
G = 0,28
Universitas Sumatera Utara
PR
3
a. Probabilitas bahwa tidak terdapat strutur geologis adalah : G = 0,04
Gambar 2.1 Diagram Kemungkinan Pengeboran Minyak
PR
1
= PHPR
1
|H + PGPR
1
|G = 0,200,30 + 0,800,68
= 0,060 + 0,544 = 0,604
b. Probabilitas bahwa struktur geologis terbuka adalah : PR
2
= PHPR
2
|H + PGPR
2
|G = 0,200,36 + 0,800,28
= 0,072 + 0,224 = 0,296
c. Probabilitas bahwa struktur geologis tertutup adalah : PR
3
= PHPR
3
|H + PGPR
3
|G = 0,200,34 + 0,800,04
= 0,068 + 0,032 = 0,100
d. Probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat tidak terdapat struktur geologis adalah :
099 ,
604 ,
060 ,
604 ,
30 ,
20 ,
1 1
1
= =
= =
R R
R
P H
P H
P H
P
e. Probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur geologis terbuka adalah :
Universitas Sumatera Utara
243 ,
296 ,
072 ,
296 ,
36 ,
20 ,
2 2
2
= =
= =
R R
R
P H
P H
P H
P
f. Probabilitas bahwa diperoleh minyak dengan syarat struktur geologis tertutup adalah :
680 ,
100 ,
068 ,
100 ,
34 ,
20 ,
3 3
3
= =
= =
R R
R
P H
P H
P H
P
Dalam menghadapi suatu persoalan, pengambil keputusan telah mempunyai informasi awal, baik itu dalam bentuk subyektif maupun obyektif. Bila informasi awal
ini dirasakan telah memadai, maka keputusan dapat langsung dibuat. Tetapi bila informasi awal ini dirasakan belum cukup, maka diperlukan suatu usaha untuk
mendapatkan informasi tambahan. Selanjutnya, bila kemudian telah diperoleh informasi tambahan, maka kita perlu menggunakan informasi tambahan ini dengan
Universitas Sumatera Utara
informasi awal, untuk mendapatkan informasi yang lebih baik untuk pengambilan keputusan.
2.7 Teori Keputusan
