Sinyal Nonsinus

7.1. Sinyal Nonsinus

Dalam pembahasan harmonisa kita akan menggunakan istilah sinyal nonsinus untuk menyebut secara umum sinyal periodik seperti sinyal gigi gergaji dan sebagainya, termasuk sinyal sinus terdistorsi yang terjadi di sistem tenaga.

Dalam “Analisis Rangkaian Listrik Jilid-1” kita telah membahas bagaimana mencari spektrum amplitudo dan sudut fasa dari bentuk sinyal nonsinus yang mudah dicari persamaannya [2]. Berikut ini kita akan membahas cara menentukan spektrum amplitudo sinyal nonsinus melalui pendekatan numerik. Cara ini digunakan jika kita menghadapi sinyal nonsinus yang tidak mudah dicari persamaannya. Cara pendekatan ini dapat dilakukan dengan bantuan komputer sederhana, terutama jika sinyal disajikan dalam bentuk kurva hasil dari suatu pengukuran analog. Dalam praktik, sinyal nonsinus diukur dengan menggunakan alat ukur elektronik yang dapat menunjukkan langsung spektrum amplitudo dari sinyal nonsinus yang diukur.

Penafsiran Grafis Deret Fourier . Pencarian spektrum amplitudo suatu sinyal periodik y(t) dilakukan melalui penghitungan koefisien Fourier dengan formula seperti berikut ini.

T ∫ y ( t ) dt 0 − T 0 / 2

∫ y ( t ) cos( n ω 0 t ) dt ; n > 0 T

∫ y ( t ) sin( n ω 0 t ) dt ; n > T 0

dengan T 0 adalah perioda sinyal. T 0 / 2

Integral ∫ y ( t ) dt adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva y(t)

− T 0 / 2 dengan sumbu-t dalam rentang satu perioda. Jika luas bidang dalam

rentang satu perioda ini dikalikan dengan (1/T 0 ), yang berarti dibagi dengan T 0 , akan memberikan nilai rata-rata y(t) yaitu nilai komponen searah a 0 .

Integral ∫ y ( t ) cos( n ω 0 t ) dt adalah luas bidang yang dibatasi oleh

kurva y ( t ) cos( n ω 0 t ) dengan sumbu-t dalam rentang satu perioda. Jika luas bidang ini dikalikan dengan (2/T 0 ), yang berarti dibagi (T 0 /2), akan

diperoleh a n . Di sini T 0 harus dibagi dua karena dalam satu perioda T 0 terdapat dua kali gelombang penuh berfrekuensi n ω 0 .

Integral ∫ y ( t ) sin( n ω

− T / 2 0 t ) dt 0 adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva y ( t ) sin( n ω 0 t ) dengan sumbu-x dalam rentang satu perioda. Jika luas ini dikalikan dengan (2/T 0 ) akan diperoleh b n . Seperti halnya

penghitungan a n , T 0 harus dibagi dua karena dalam satu perioda T 0 terdapat dua kali gelombang penuh berfrekuensi n ω 0 .

Dengan penafsiran hitungan integral sebagai luas bidang, maka pencarian koefisien Fourier dapat didekati dengan perhitungan luas bidang. Hal ini sangat membantu karena perhitungan analitis hanya dapat dilakukan jika sinyal nonsinus yang hendak dicari komponen-

112 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga 112 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga

Prosedur Pendekatan Numerik. Pendekatan numerik integral sinyal y(t) dalam rentang p ≤ t ≤ q dilakukan sebagai berikut.

1. Kita bagi rentang p ≤ t ≤ q ke dalam m segmen dengan lebar masing-masing ∆ t k ; ∆ t k bisa sama untuk semua segmen bisa juga tidak, tergantung dari keperluan. Integral y(t) dalam rentang p ≤ t ≤ q dihitung sebagai jumlah luas seluruh segmen dalam rentang tersebut. Setiap segmen dianggap sebagai trapesium; sisi kiri suatu segmen merupakan sisi kanan segmen di sebelah kirinya, dan sisi kanan suatu segmen menjadi sisi kiri segmen di sebelah kanannya. Jika sisi kanan segmen (trapesium) adalah A k maka sisi kirinya

adalah A k- 1 , maka luas segmen ke-k adalah

L k = ( A k + A k − 1 ) × ∆ t k / 2 (7.1)

Jadi integral f(t) dalam rentang p ≤ x ≤ q adalah

f ( t ) dt ≈ ∑ L k

2. Nilai ∆ t k dipilih sedemikian rupa sehingga error yang terjadi masih berada dalam batas-batas toleransi yang kita terima. Jika sinyal diberikan dalam bentuk grafik, untuk mencari koefisien Fourier dari harmonisa ke-n, satu perioda dibagi menjadi tidak kurang dari 10 × n segmen agar pembacaan cukup teliti dan error yang terjadi tidak lebih dari 5%. Untuk harmonisa ke-5 misalnya, satu perioda dibagi menjadi 50 segmen. Ketentuan ini tidaklah mutlak; kita dapat memilih jumlah segmen sedemikian rupa sehingga pembacaan mudah dilakukan namun cukup teliti.

3. Relasi untuk memperoleh nilai koefisien Fourier menjadi seperti berikut:

k cos( n ω 0 t ) + A cos( a n k ω t k =

L kan

− 1 ) ] ∆ t k ∑ kbn

A k sin( n ω 0 t ) + A k − 1 sin( n ω 0 t k L

0 k 1 2 T 0 / = 2 (7.3)

4. Formula untuk sudut fasa adalah

ϕ = tan − 1 n n   (7.4)

5. Perlu disadari bahwa angka-angka yang diperoleh pada pendekatan numerik bisa berbeda dengan nilai yang diperoleh secara analitis.

Jika misalkan secara analitis seharusnya diperoleh a 1 = 0 dan b 1 = 150, pada pendekatan numerik mungkin diperoleh angka yang sedikit menyimpang, misalnya a 1 = 0,01 dan b 1 = 150,2.

6. Amplitudo dari setiap komponen harmonisa adalah A = a 2 + b n 2 n n . Sudut fasa dihitung dalam satuan radian ataupun derajat dengan

mengingat letak kuadran dari vektor amplitudo seperti telah dibahas pada waktu kita membahas spektrum sinyal. Persamaan sinyal nonsinus adalah

n cos( ω 0 t − ϕ n )  (7.5)

Berikut ini kita lihat sinyal periodik yang diberikan dalam bentuk kurva yang tak mudah dicari persamaannya. Prosedur pendekatan numerik dilakukan dengan membaca kurva yang memerlukan kecermatan. Hasil pembacaan kita muatkan dalam suatu tabel seperti pada contoh berikut ini.

114 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga

CONTOH-7.1:

200 y [volt]

[detik] t

Carilah komponen searah, fundamental, dan harmonisa ke-3 sinyal periodik y(t) yang dalam satu perioda berbentuk seperti yang diperlihatkan dalam gambar di atas. Perhatikan bahwa gambar ini adalah gambar dalam selang satu periode yang berlangsung dalam 0,02 detik, yang sesuai dengan frekuensi kerja 50 Hz.

Penyelesaian:

Perhitungan diawali dengan menetapkan nilai t dengan interval sebesar ∆ t = 0,0004 detik, kemudian menentukan A k untuk setiap segmen. Sisi kiri segmen pertama terjadi pada t = 0 dan sisi kanannya menjadi sisi kiri segmen ke-dua; dan demikian

selanjutnya dengan segmen-segmen berikutnya. Kita tentukan pula sisi kanan segmen terakhir pada t = T 0 . Hasil perhitungan yang diperoleh dimuatkan dalam Tabel-1.1 (hanya ditampilkan sebagian), dimana sudut fasa dinyatakan dalam satuan radian. Pembulatan sampai 2 angka di belakang koma.

Tabel-7.1. Analisis Harmonisa Sinyal Nonsinus pada Contoh-7.1.

T 0 = 0,02 s Komp.

Fundamental

f 0 = 1/T 0 = 50 Hz Harmonisa ke-3 t A k

∆ t k = 0,0004 s searah

Jumlah L k 0,398

a 1 ,b 1 0,36

a 3 ,b 3 − 21,18 21,13

Ampli-1, ϕ 1 150,05

Ampli-3, ϕ 3 29,92 -0,78 Tabel ini memberikan

Sesungguhnya kurva yang diberikan mengandung pula harmonisa ke- dua. Apabila harmonisa ke-dua dihitung , akan memberikan hasil

a 2 = 49 , 43 dan b 2 = − 0 , 36 amplitudo A 2 = 49 , 43 dan ϕ 2 = − 0 , 01

116 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga

Dengan demikian uraian sampai dengan harmonisa ke-3 dari sinyal yang diberikan adalah

y ( t ) = 19 , 90 + 150 , 05 cos( 2 π f 0 t − 1 , 57 ) + 49 , 43 cos( 4 π f 0 t + 0 , 01 ) +

29 , 92 cos( 6 π f 0 t + 0 , 78 )