Elemen Linier Dengan Sinyal Nonsinus

7.2. Elemen Linier Dengan Sinyal Nonsinus

Hubungan tegangan dan arus elemen-elemen linier R, L, C, pada sinyal sinus di kawasan waktu berlaku pula untuk sinyal periodik nonsinus.

CONTOH-7.2: Satu kapasitor C mendapatkan tegangan nonsinus v = 100 sin( ω t + 0 , 5 ) + 20 sin( 3 ω t − 0 , 2 ) + 10 sin( 5 ω t + 1 , 5 ) V

(a) Tentukan arus yang mengalir pada kapasitor. (b) Jika C = 30 µ F, dan frekuensi f = 50 Hz, gambarkan (dengan bantuan komputer) kurva tegangan dan arus kapasitor.

Penyelesaian:

(a) Hubungan tegangan dan arus kapasitor adalah dv

i C = C dt

Oleh karena itu arus kapasitor adalah

d { 100 sin( ω t + 0 , 5 ) + 20 sin( 3 ω t − 0 , 2 ) + 10 sin( 5 ω t + 1 , 5 )

dt

= 100 ω C cos( ω t + 0 , 5 ) + 60 ω C cos( 3 ω t − 0 , 2 ) + 50 ω C cos( 5 ω t + 1 , 5 ) = 100 ω C sin( ω t + 2 , 07 ) + 60 ω C sin( 3 ω t + 1 , 37 ) + 50 ω C sin( 5 ω t + 3 , 07 ) A

(b) Kurva tegangan dan arus adalah seperti di bawah ini. 150

[V] v C 100

5 [A]

50 i 2,5

0 0 0 0.005 0.01 0.015 detik 0.02

-50 − 2,5 -100

− 5 -150

Kurva tegangan dan arus pada contoh ini merupakan fungsi-fungsi nonsinus yang simetris terhadap sumbu mendatar. Nilai rata-rata fungsi periodik demikian ini adalah nol. Pendekatan numerik memberikan nilai rata-rata

rr = 5 × 10 A. Nilai Rata-Rata. Sesuai dengan definisi untuk nilai rata-rata, nilai rata-

v rr = 1 , 8 × 10 − 14 V dan

rata sinyal nonsinus y(t) dengan perioda T 0 adalah

Y rr =

T 0 ∫ y ( t ) dt 0 (7.6)

Nilai rata-rata sinyal nonsinus adalah komponen searah dari sinyal tersebut.

Nilai Efektif. Definisi nilai efektif sinyal periodik y(t) dengan perioda T 0 adalah

rms =

y ( t ) dt (7.7)

Dengan demikian maka nilai efektif sinyal sinus y 1 = Y m 1 sin( ω t + θ ) adalah

m rms

sin (

∫ m 1 ω t + θ ) dt =

(7.8) T 0 0 2

Nilai efektif sinyal nonsinus y ( t ) = Y 0 + ∑ Y mn sin( n ω 0 t + θ n ) adalah

 rms =

∫  Y 0 + ∑ Y mn sin( n ω 0 t + θ n )  dt T 0 0

n = 1  Jika ruas kiri dan kanan dikuadratkan, kita dapatkan

1   Y 2 rms =

∫   Y 0 + ∑ Y mn sin( n ω 0 t + θ n )   dt T atau 0 0

 n = 1  118 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga

2 rms =

Y 2 ∫ 2  0 ∑ mn sin ( n ω 0 t + θ 

0 n T ) 0   dt n

 0 ∑ mn

Y sin( n ω t + θ )

1 T  + 2 Y m 1 sin( ω 0 t + θ 1 ) ∑ Y mn sin( n ω 0 t + θ )  + ∫ 

n = 2  dt 

  + 2 Y m 2 sin( 2 ω 0 t + θ 2 ) ∑ Y mn sin( n ω 0 t + θ n ) 

 n = 3     + .......... .......... .......... ...

 Melalui kesamaan trigonometri

2 sin α sin β = cos( α − b ) − cos( α + β ) dan karena Y 0 bernilai tetap maka suku ke-dua ruas kanan (7.8)

merupakan penjumlahan nilai rata-rata fungsi sinus yang masing-masing memiliki nilai rata-rata nol, sehingga suku ke-dua ini bernilai nol. Oleh karena itu (7.9) dapat kita tulis

 Y rms

 Y 2 2 2 =  T ∫ 0 0 + ∑ Y nm sin ( n ω 0 t + θ n )  dt (7.10)

 n = 1  atau

Y 2 rms = Y 2 dt +

Y 2 ∫ 2 0 ∑∫ nm sin ( n ω

T 0 T 0 0 t + θ n ) n dt = 1 (7.11)

= Y 2 0 + ∑ Y 2 nrms

Persamaan (7.11) menunjukkan bahwa kuadrat nilai efektif sinyal non sinus sama dengan jumlah kuadrat komponen searah dan kuadrat semua nilai efektif konponen sinus. Kita perlu mencari formulasi yang mudah untuk menghitung nilai efektif ini. Kita bisa memandang sinyal nonsinus

sebagai terdiri dari tiga macam komponen yaitu komponen searah (y 0 ), 119 sebagai terdiri dari tiga macam komponen yaitu komponen searah (y 0 ), 119

Akan tetapi kita juga dapat memandang sinyal nonsinus sebagai terdiri dari dua komponen saja, yaitu komponen fundamental dan komponen harmonisa total di mana komponen yang kedua ini mencakup komponen searah. Alasan untuk berbuat demikian ini adalah bahwa dalam proses transfer energi, komponen searah dan harmonisa memiliki peran yang sama; hal ini akan kita lihat kemudian. Dalam pembahasan selanjutnya kita menggunakan cara pandang yang ke-dua ini. Dengan cara pandang ini suatu sinyal nonsinus dinyatakan sebagai

y = y 1 + y h (7.12)

dengan y 1 = Y 1 m sin( ω 0 t + θ 1 )

y h = Y 0 + ∑ Y nm sin( n ω 0 t + θ n ) .

dan

Dengan demikian maka relasi (1.11) menjadi Y 2 rms = Y 2 + 1 2 rms Y hrms (7.13)

Dalam praktik, komponen harmonisa y h dihitung tidak melibatkan seluruh komponen harmonisa melainkan dihitung dalam lebar pita spektrum tertentu. Persamaan sinyal dijumlahkan sampai pada frekuensi

tertinggi yang ditentukan yaitu k ω 0 ; sinyal dengan frekuensi di atas batas frekuensi tertinggi ini dianggap memiliki amplitudo yang sudah cukup kecil untuk diabaikan.

CONTOH-7.2: Suatu tegangan berbentuk gelombang gigi gergaji memiliki nilai maksimum 20 volt, dengan frekuensi 20 siklus per detik. Hitunglah nilai tegangan efektif dengan: (a) relasi nilai efektif; (b) uraian harmonisa.

Penyelesaian:

120 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga

(a) Perioda sinyal 0,05 detik dengan persamaan: v ( t ) = 400 t . Nilai efektif:

V rms =

∫ ( 400 t ) dt =  t  ≈ 11 , 55 V 0 , 05 0 0 , 05  3 

(b) Uraian sinyal ini sampai harmonisa ke-7 adalah diberikan dalam

contoh di Bab-3, yaitu v ( t ) = 10 − 6 , 366 sin ω 0 t − 3 , 183 sin 2 ω 0 t − 2 , 122 sin 3 ω 0 t − 1 , 592 sin 4 ω 0 t

− 1 , 273 sin 5 ω 0 t − 1 , 061 sin 6 ω 0 t − 0 , 909 sin 7 ω 0 t V

Persamaan ini memberikan nilai efektif tegangan fundamental, tegangan harmonisa, dan tegangan total sebagai berikut.

V 1 rms =

V V 2 V 2 2 rms 2 = 1 rms + hrms = 4 , 49 + 10 , 35 ≈ 11 , 4 V

Contoh ini menunjukkan bahwa sinyal gigi gergaji memiliki nilai efektif harmonisa jauh lebih tinggi dari nilai efektif komponen fundamentalnya.

CONTOH-7.3: Uraian dari penyearahan setengah gelombang arus sinus

i = sin ω 0 t A sampai dengan harmonisa ke-10 adalah:

i ( t ) = 0 , 318 + 0 , 5 cos( ω 0 t − 1 , 57 ) + 0 , 212 cos( 2 ω 0 t ) + 0 , 042 cos( 4 ω 0 t ) +

0 , 018 cos( 6 ω 0 t ) + 0 . 010 cos( 8 ω 0 t ) + 0 . 007 cos( 10 ω 0 t ) A

Hitung nilai efektif komponen arus fundamental, arus harmonisa, dan arus total.

Penyelesaian:

Nilai efektif arus fundamental, arus harmonisa dan arus total berturut-turut adalah

I 1 rms = = 0 , 354 A

I hrms = 0 , 318 +

2 2 2 2 2 = 0, 3 54 A

I 2 2 2 rms 2 = I 1 rms + I hrms = 0 , 354 + 0 , 354 ≈ 0 , 5 A Contoh-7.3 ini menunjukkan bahwa pada penyearah setengah gelombang

nilai efektif komponen fundamental sama dengan nilai efektif komponen harmonisanya.

CONTOH-7.4: Tegangan pada sebuah kapasitor 20 µ

F terdiri dari dua komponen yaitu v 1 = 200 sin ω t dan v 15 = 20 sin 15 ω t . Jika

diketahui frekuensi fundamental adalah 50 Hz, hitunglah: (a) nilai

efektif arus yang diberikan oleh v 1 ; (b) nilai efektif arus yang diberikan oleh v 15 ; (c) arus efektif total; (d) gambarkan kurva ketiga arus tersebut sebagai fungsi waktu.

Penyelesaian:

V. Arus yang diberikan oleh tegangan ini adalah

a). Komponen tegangan pertama adalah v 1 = 200 sin( 100 π t )

1 = 20 × 10 dv 1 / dt = 20 × 10 × 200 × 100 π cos 100 π t = 1 , 257 cos 100 π t

Nilai efektifnya adalah: I 1 rms =

= 0 , 89 A

V. Arus yang diberikan oleh tegangan ini adalah

b). Komponen tegangan ke-dua adalah v 15 = 20 sin( 1500 π t )

i 15 = 20 × 10 − 6 dv / dt 20 10 − 15 6 = × × 20 × 1500 π sin 1500 π t

= 1 , 885 cos 1500 π t

Nilai efektifnya adalah: I 15 rms =

= 1 , 33 A

c). Tegangan gabungan adalah v = 200 sin( 100 π t ) + 20 sin( 1500 π t )

122 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Sistem Tenaga

Arus yang diberikan tegangan gabungan ini adalah

i = 20 × 10 − 6 dv / dt = 20 × 10 − 6 d ( v 1 + v 15 ) dt

= 1 , 257 cos 100 π t + 1 , 885 cos 1500 t Arus ini merupakan jumlah dari dua komponen arus yang

berbeda frekuensi. Kurva arus ini pastilah berbentuk nonsinus. Nilai efektif masing-masing komponen telah dihitung di jawaban (a) dan (b). Nilai efektif sinyal non sinus ini adalah

I rms = I 2 1 2 rms + I 15 rms = 0 , 89 2 + 1 , 33 2 = 1 , 60 A d). Kurva ketiga arus tersebut di atas adalah sebagai berikut.

A, mengalir pada beban yang terdiri dari resistor 100 Ω yang tersambung seri dengan induktor 0,5 H. Pada frekuensi 50 Hz: (a) gambarkan kurva

CONTOH-7.5: Arus i = 2 sin ω t + 0 , 2 sin 3 ω t

tegangan dan arus beban; (b) tentukan nilai efektif tegangan beban dan arus beban.

Penyelesaian: (a) Arus beban adalah

i = 2 sin ω t + 0 , 2 sin 3 ω t . Tegangan beban adalah

= 200 sin ω t + 20 sin 3 ω t + ω cos ω t + 0 , 3 ω cos 3 ω t V Kurva tegangan dan arus beban dibuat dengan sumbu mendatar

dalam detik. Karena frekuensi 50 Hz, satu perioda adalah 0,02 detik.

(b). Nilai efektif arus beban adalah

rms = I 1 rms + I 3 rms =

+ = 1 , 42 A

2 2 Tegangan beban adalah v = 200 sin ω t + 20 sin 3 ω t + ω cos ω t + 0 , 3 ω cos 3 ω t V

Nilai efektif tegangan beban, dengan ω =100 π , adalah

V rms ω = + = 272 V