4.2 Analisis Model Heterogenitas Spasial
Jika lingkungan terfragmentasi dalam a bagian, maka jumlah manusia dan nyamuk pada tiap bagian menjadi Na dan Ma. Dari Persamaan 3.1 berikut :
= [ − ] −
= [ − ] −
, maka sistem persamaan yang menggambarkan dinamika pada manusia yang
terjangkit nyamuk di setiap bagian adalah :
= − −
= − −
. 4.2
4.2.1 Analisis Model Migrasi
Model Migrasi pada persamaan 3.3 berikut : =
− − +
− − 1
= − −
.
Dengan memberikan nilai a = 2 maka diperoleh:
= 2 −
− +
− =
2 − −
+ −
= 2 −
− =
2 − −
4.3
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http:www.software602.com
didefinisikan , , , =
− −
+ −
, , , = −
− +
− , , , =
− −
, , , = −
− .
4.4 Analisis sistem persamaan 4.3 diatas dengan langkah-langkah seperti
yang akan dijelaskan berikut ini, sedangkan untuk nilai-nilainya dapat dilihat pada Lampiran 2. Dengan melakukan pelinearan persamaan 4.4, maka diperoleh
matriks Jacobi:
=
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎡
⎦ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎤
=
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎡− − + −
− + 2 −
2 − 2 −
2 − −
− −
− ⎦
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎤
Sistem persamaan memiliki empat titik tetap yaitu: T
1
0,0,0,0
, T
2
, ,
, , T
3
dan T
4
. Untuk T
3
dan T
4
dapat dilihat pada Lampiran 2.
Kestabilan sistem persamaan diperoleh dengan menganalisa nilai eigen J pada titik tetapnya. Pelinearan pada titik tetap T
1
0, 0, 0, 0 diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
= − +
− + 2
2 2
2 −
−
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http:www.software602.com
Nilai eigen dari matriks Jacobi dapat ditentukan dengan menyelesaikan − | = 0. Dan dengan menggunakan software Mathematica 7.0, diperoleh
nilai eigen yang merupakan akar dari persamaan polinomial berderajat empat, yaitu :
+ + + −
+ + + 2 + + 2 − = 0
.
Nilai eigen dapat diekspresikan sebagai berikut:
λ
,
=
±
dan
λ
,
=
±
Dari hasil evaluasi pada tersebut, jika
+ − 4 −
dengan semua parameter bernilai positif, maka + akan bernilai positif. Sehingga :
−4 −
−4 +
4 .
Jadi nilai eigen akan negatif jika maka untuk:
a. + − 4 −
0, sehingga λ 0, i = 1, 2, 3, 4 b. + − 4
− 0, sehingga λ i = 1, 2, 3, 4 kompleks dengan
Re λ 0. Jika sistem memenuhi kondisi tersebut, maka pada titik tetap T
1
akan stabil. Untuk pelinearan titik tetap T
2
, ,
, ,
dengan menggunakan software Mathematica 7.0 diperoleh persamaan: +
+ +
+ = 0. Nilai eigen dapat diekspresikan sebagai berikut:
λ
,
=
±
dan λ
,
=
±
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http:www.software602.com
dengan : a
1
= + 2
+ 2 b
1
= + 2
+ 2 + + 4 + + 4
+ c
1
= + 2
+ 2 −
a
2
= 4 + 2
+ 2 b
2
= 24 + 2
+ 2 + + + 4 + + 4
+ c
2
= + 2 4
+ 2 + + 2
− 4 .
Sehingga dari hasil evaluasi pada tersebut, nilai eigen akan negatif jika − 4
0. Karena semua parameter bernilai positif maka
bernilai positif. Sehingga: −4
−4
+ 2
3
+ 2
3
+ 2
3
+ 2
3
2
4
−
−4
2
4
−
Karena semua parameter bernilai positif maka bernilai positif. Sehingga :
−4
2
4
−
−
2
+ 4 4
Sehingga dari hasil evaluasi pada tersebut, nilai eigen akan negatif jika , maka untuk:
a. − 4
0, sehingga λ 0, i = 1, 2, 3, 4 b.
− 4 0, sehingga λ i = 1, 2, 3, 4 kompleks dengan Re λ 0.
Jika sistem memenuhi kondisi tersebut, maka pada titik tetap T
2
akan stabil. Jika nilai-nilai parameter disubstitusikan pada persamaan 3.1, maka
diperoleh nilai-nilai yang dituliskan dalam Tabel 2 berikut:
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http:www.software602.com
Tabel 2 Nilai Eigen Model Migrasi
Parameter Titik tetap
Tx
1
, x
2
, y
1
, y
2
Nilai Eigen Kestabilan
β = 0.0005 N = 250
M = 500 γ = 0.33
μ = 4 0, 0, 0, 0
= -4.00219 = -0.528881
= -0.32893 = 0
Stabil
-1528.2, -6083.29, -59.033, -793.454
= -3.2803 = -0.384192
= -0.00051663 = 0
Stabil
-5767.86, -5767.86, -646, -646
= -1.86805 = 0.652522
= -0.114544 = 0
Sadel takstabil
-6083.29, -1528.2 -793.454, -59.033
= -1.85214 = 0.86355
= -0.403524 = 0
Sadel takstabil
β = 0.0025 N = 250
M = 500 γ = 0.33
μ = 4 0, 0, 0, 0
= -4.05394 = -0.505883
= -0.30018 = 0
Stabil
-185.871, -543.868, -32.8597, -128.741
= -3.69943 = -0.250688
= -0.0411985 = 0
Stabil
-471.073, -471.073, -104.319, -104.319
= -3.25108 = 0.278776
= -0.18842 = 0
Sadel takstabil
-543.868, -185.871, -128.741, -32.8597
= -3.15977 = 0.421886
= -0.358442 = 0
Sadel takstabil
β = 0.005 N = 250
M = 500 γ = 0.33
μ = 4 0, 0, 0, 0
= -4.20699 = -0.468502
= -0.184508 = 0
Stabil
-68.1962, -68.1962, -23.2973, -23.2973
= -4.01581 = -0.337259
= 0.0670277 = 0
Sadel takstabil
β = 0.05 N = 250
M = 500 γ = 0.33
μ = 4 0, 0, 0, 0
= -11.2326 = 6.8031
= -0.430457 = 0
Sadel takstabil
-0.610794, 118.175, -1.92342, 149.079
= -11.2311 = -7.88316
= 6.92704 = 0
Sadel takstabil
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http:www.software602.com
119.727, 119.727, 149.863, 149.863
= -10.4995 = -7.93833
= -7.39488 = 0
Stabil
118.175, -0.610794, 149.079, -1.92342
= -10.5539 = -7.24009
= -0.332473 = 0
Stabil
β = 0.5 N = 250
M = 500 γ = 0.33
μ = 4 0, 0, 0, 0
= -90.6214 = 86.1914
= -0.430005 = 0
Sadel takstabil
-0.006373, 124.544, -0.199304, 234.911
= -117.886 = -90.6082
= 86.2813 = 0
Sadel takstabil
124.65, 124.65, 234.923, 234.923
= -118.005 = -117.803
= -66..2993 = 0
Stabil
124.544, -0.006373, 234.911, -0.199304
= -117.919 = -66.2387
= -0.330263 = 0
Stabil
Pada kondisi nyata, kasus tersebut tidak mungkin terjadi.
4.2.2 Analisis Model Kunjungan
Kategori